2022年高中数学函数的零点教学设计 .pdf
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1、第 4 讲与函数的零点相关的问题函数零点的个数问题1. 函数 f(x)=xcos 2x在区间 0,2 上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析 : 要使 f(x)=xcos 2x=0,则 x=0, 或 cos 2x=0, 而在区间 0,2 上, 通过观察y=cos 2x的函数图象 , 易得满足cos 2x=0 的 x 的值有, 所以零点的个数为5 个. 2.(2015南昌二模 ) 已知函数 f(x)=函数 g(x) 是周期为2 的偶函数 , 且当 x0,1时,g(x)=2x-1, 则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7
2、 (D)8 解析 : 函数 y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与 y=g(x) 图象的交点个数. 在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共 6 个点 . 所以原函数共有6 个零点 . 故选 B. 3.(2015南昌市一模 ) 已知函数f(x)=若关于 x 的方程 ff(x)=0有且只有一个实数解 , 则实数 a的取值范围为. 解析 : 依题意 , 得 a0, 令 f(x)=0,得 lg x=0,即 x=1, 由 ff(x)=0,得 f(x)=1, 当 x0 时, 函数 y=lg x 的图象与直线y=1 有且只有一个交点,则当
3、x0 时, 函数 y=的图象与直线 y=1 没有交点 , 若 a0, 结论成立 ; 若 a0, 则函数 y=的图象与 y 轴交点的纵坐标-a1,得-1a0, 则实数 a 的取值范围为 (-1,0)(0,+ ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页答案 :(-1,0) (0,+ ) 4.(2015北京卷 ) 设函数 f(x)=若 a=1, 则 f(x)的最小值为; 若 f(x)恰有 2 个零点 , 则实数 a 的取值范围是. 解析 : 当 a=1 时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x) 的最小值为 -1
4、. 当 a0 时, 显然函数f(x)无零点 ; 当 0a1 时,易知 f(x) 在(- ,1) 上有一个零点, 要使 f(x)恰有 2 个零点 , 则当 x1 时,f(x)有且只有一个零点, 结合图象可知 ,2a 1, 即 a , 则 a1, 由二次函数的性质可知 , 当 x1 时,f(x)有 2 个零点 , 则要使 f(x)恰有 2 个零点 , 则需要 f(x)在(- ,1) 上无零点, 则 2-a 0, 即 a2. 综上可知 , 满足条件的a 的取值范围是 ,1) 2,+ ). 答案 : -1 ,1) 2,+ ) 确定函数零点所在的区间5.(2015四川成都市一诊) 方程 ln(x+1)-
5、=0(x0) 的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析 : 设 f(x)=ln(x+1)-, 则 f(1)=ln 2-20, 得 f(1)f(2)0,函数 f(x)在区间 (1,2)有零点 , 故选 B. 6.(2015河南郑州市一模) 设函数 f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5, 若实数 a,b 分别是f(x),g(x)的零点 , 则( A ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页(A)g(a)0f(b) (B)0g(a)f(
6、b) (C)f(b)0g(a) (D)f(b)g(a)0 解析 : 考查函数 y=ex与 y=4-2x 的图象 , 得其交点的横坐标a 应满足 0a1; 考查函数 y=ln x与 y=5-2x2的图象 ,得其交点的横坐标b 应满足 1be+2-40,可排除C,D;0a1,g(a)ln 1+2-50)上的最小值 ; (3) 若存在两不等实根x1,x2 ,e,使方程 g(x)=2exf(x) 成立 , 求实数 a 的取值范围 . 解:(1) 当 a=5 时 g(x)=(-x2+5x-3) ex,g(1)=e. g(x)=(-x2+3x+2) ex,故切线的斜率为g(1)=4e. 所以切线方程为y-
7、e=4e(x-1),即 y=4ex-3e. (2)f (x)=ln x+1, x (0, ) ( ,+ ) f (x) - 0 + f(x) 单调递减极小值 ( 最小值 ) 单调递增当 t 时, 在区间 (t,t+2)上 f(x)为增函数 , 所以 f(x)min=f(t)=tln t, 当 0t 时 , 在区间 (t, ) 上 f(x)为减函数 , 在区间 ( ,t+2)上 f(x) 为增函数 , 所以f(x)min=f()=-. (3) 由 g(x)=2exf(x),可得 2xln x=-x2+ax-3, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
8、- -第 3 页,共 23 页a=x+2ln x+, 令 h(x)=x+2ln x+,h (x)=1+-=. x ( ,1) 1 (1,e) h(x) - 0 + h(x) 单调递减极小值 ( 最小值 ) 单调递增h( )= +3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2. h(e)-h()=4-2e+0,于是 (x) 在(0,1)上单调递增 ; 当 x(1,2) 时, (x)0,于是 (x) 在(1,2)上单调递减 ; 依题意有解得 ln 3-1b1,0b=log320 f(-1)=log32-1-log32=-10, 所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=ax+x-b 的零点所在的区
9、间是(-1,0),故选B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页2.(2015凉山州模拟 ) 设函数 f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2, 则有 ( A ) (A)x1x21 (B)x1x2=1 (C)1x1x2(D)x1x2解析 : 由 f(x)=|ln x|-=0, 得|ln x|=, 作函数 y=|ln x|与 y=的图象如图 . 不妨设 x1x2, 由图可知 , x11x2, 则 ln x1|ln x2|, 所以 -ln x1ln x2, 则 ln x1+ln x20, 即 ln (x1x2)0,
10、 所以 x1x20 或-2x+a2x, 或 a1 或 a0. 故选 D. 4.(2014 重庆卷 ) 已知函数 f(x)=且 g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点, 则实数 m的取值范围是( A ) (A) (-,-2 (0, (B) (-,-2(0, (C) (-,-2 (0, (D) (-,-2(0, 解析 :g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数 y=m(x+1) 的图象有两个交点, 在同一直角坐标系内作出函数f(x)=和函数 y=m(x+1) 的图象 , 如图 , 当直线 y=m(x+1) 与 y=-
11、3,x (-1,0和 y=x,x (0,1 都相交时 ,0m ; 当直线 y=m(x+1)与 y=-3,x (-1,0有两个交点时 , 由方程组消元得-3=m(x+1), 即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得 mx2+(2m+3)x+m+2=0,当=9+4m=0,即 m=- 时, 直线 y=m(x+1) 与y=-3 相切 , 当直线 y=m(x+1) 过点 (0,-2)时,m=-2, 所以 m (-,-2.综上 , 实数 m的取值范围是(-,-2(0, ,故选 A. 5.(2014湖北卷 ) 已知 f(x)是定义在R上的奇函数 , 当 x0 时,f(x)=x2-3x. 则函数g(x)
12、=f(x)-x+3的零点的集合为( D ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页(A)1,3 (B)-3,-1,1,3 (C)2-,1,3 (D)-2-,1,3 解析 : 当 x0 时, 函数 g(x) 的零点即方程f(x)=x-3的根 , 由 x2-3x=x-3,解得 x=1 或 3; 当 x0 时 , 由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x), 即 f(x)=-x2-3x. 由 f(x)=x-3得 x=-2-( 正根舍去 ). 故选 D. 6. 已知 x0是函数 f(x)=2x+的一个零点
13、, 若 x1(1,x0),x2 (x0,+ ), 则( B ) (A)f(x1)0,f(x2)0 (B)f(x1)0 (C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 解析 : 函数 y=2x,y=在 (1,+ ) 都为单调增函数, 所以 f(x)=2x+在(1,+ ) 上为单调增函数. 因为 f(x0)=0, 所以 x1 (1,x0),x2(x0,+ ) 时, f(x1)f(x0)=0, 从而答案B正确 . 7.(2015山东模拟 ) 已知函数 f(x)=则下列关于函数y=ff(kx)+1+1(k 0)的零点个数的判断正确的是( C ) (A) 当 k0 时, 有 3 个零点 ; 当 k0 时
14、, 有 4 个零点 ; 当 k0 时, 有 3 个零点(C) 无论 k 为何值 , 均有 3 个零点(D) 无论 k 为何值 , 均有 4 个零点解析 : 令 ff(kx)+1+1=0得, 或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页解得 f(kx)+1=0或 f(kx)+1=; 由 f(kx)+1=0得, 或即 x=0 或 kx= ; 由 f(kx)+1=得, 或即 ekx=1+ ( 无解 ) 或 kx=; 综上所述 ,x=0 或 kx= 或 kx=; 故无论 k 为何值 , 均有 3 个解 . 故选 C. 8.(201
15、5怀化二模 ) 定义域为 R的函数 f(x)=若关于 x 的函数h(x)=f2(x)+af(x)+有 5 个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5, 则+等于 ( C ) (A)15 (B)20 (C)30 (D)35 解析 : 作函数 f(x)=的图象如图 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页则由函数h(x)=f2(x)+af(x)+有 5 个不同的零点知, 1+a+ =0, 解得 a=- , 则解 f2(x)-f(x)+=0得, f(x)=1或 f(x)=; 故若 f(x)=1,则 x=2 或 x=3 或 x
16、=1; 若 f(x)=,则 x=0 或 x=4; 故+=1+4+9+16=30. 故选 C. 9.(2015郑州二模 )已知函数f(x)=函数 g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点 , 则实数 a 的取值范围是 ( A ) (A)-1,3) (B)-3,-1 (C)-3,3) (D)-1,1) 解析 : 因为 f(x)=所以 g(x)=f(x)-2x=而方程 -x+3=0 的解为 3, 方程 x2+4x+3=0 的解为 -1,-3; 若函数 g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点, 则解得 ,-1 a3. 实数 a 的取值范围是-1,3). 故选 A. 精选学习资料 - - - -
17、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页10.(2015呼和浩特一模 ) 若函数 f(x)=ln x+kx-1有两个零点 , 则实数 k 的取值范围是( A ) (A) (-,0) (B) (-,- ) (C) (-,+ ) (D) (-e2,- ) 解析 : 作函数 y=ln x-1与 y=-kx 的图象如图 , 当直线与y=ln x-1相切时 , 设切点 (x,ln x-1), y= , = , 解得 ,x=e2, 故 0-k, 故-k0. 故选 A. 11.(2013安徽卷 ) 若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,
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