2022年高中数学双曲线抛物线知识点总结 2.pdf

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1、名师总结优秀知识点双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a)的点的轨迹。方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab简图范围,xaxa yR或,yaya xR或顶点(,0)a(0,)a焦点(,0)c(0,)c渐近线byxaayxb离心率(1)ceea(1)ceea对称轴关于 x 轴、 y 轴及原点对称关于 x 轴、 y 轴及原点对称准线方程2axc2ayca、b、c 的关系222cab考点题型一求双曲线的标准方程1、 给 出 渐 近 线 方 程nyxm的 双 曲 线 方 程 可 设 为2222(0)xymn， 与 双 曲 线22221xyab共渐近线的

2、方程可设为2222(0)xyab。2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例 1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12，离心率为54；（2）焦距为 26，且经过点M（0，12） ；（3）与双曲线221916xy有公共渐进线，且经过点3,2 3A。_ x_ O_ y_ x_ O_ y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师总结优秀知识点解： （1）设双曲线的标准方程为22221xyab或22221yxab(0,0)ab。由题意知， 2b=12，cea=54。b=6，c=10，a=8。标准方程为23

3、6164x或2216436yx。（2）双曲线经过点M（ 0，12） ，M（ 0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。又 2c=26， c=13。222144bca。标准方程为22114425yx。（3）设双曲线的方程为2222xyab3,2 3A在双曲线上222 331916得14所以双曲线方程为224194xy题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c 四者的关系，构造出cea和222cab的关系式。【例 2】双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为2c，直线 l 过点（ a， 0）和（ 0，b） ，且点（

4、1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s45c。求双曲线的离心率e 的取值范围。解：直线l 的方程为1xyab，级 bx+ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a1，得到点（ 1，0）到直线l 的距离122(1)b adab，同理得到点（-1，0）到直线l 的距离222(1)b adab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师总结优秀知识点122222ababsddcab。由 s45c，得2abc45c，即22252a cac。于是得22512ee，即42425250ee。解不等式，得255

5、4e。由于 e10，所以 e 的取值范围是552e。【例3】设F1、F2分别是双曲线22221xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290F AF，且 AF1=3AF2，求双曲线的离心率。解：1290F AF222124AFAFc又 AF1 =3AF2，12222AFAFAFa即2AFa，222222212222910104AFAFAFAFAFac，101042ca即102e。题型三直线与双曲线的位置关系方法思路： 1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即2222220AxByCb xa ya b，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共

6、点和相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长：221212111lkxxyyk【例 4】如图， 已知两定点12(2,0),( 2,0)FF，满足条件212PFPF的点 P的轨迹是曲线 E，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点， 如果6 3AB，且曲线 E 上存在点C，使OAOBmOC，求（1）曲线 E 的方程；（2）直线 AB 的方程；（3）m 的值和 ABC 的面积 S。y x O B A C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师总结优秀知识点解：由双曲线的定义可知，曲线 E 是以12(2

7、,0),( 2,0)FF为焦点的双曲线的左支，且2c， a=1，易知221bca。故直线 E 的方程为221(0)xyx，(2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ), 由题意建立方程组22y=kx-1x -y =1消去 y，得22(1)220kxkx。又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有22212212210,(2 )8(1)0,20,120.1kkkkxxkx xk解得21k。又22212121211()4ABkxxkxxx x222222222(1)(2)1()4211(1)kkkkkkk依题意得2222(1)(2)26 3(1)kkk，整理后得422855250kk，257

8、k或254k。但21k，52k。故直线 AB 的方程为5102xy。（3）设(,)ccC xy，由已知OAOBmOC，得1122(,)(,)(,)ccxyxymxmy，1212(,)(,)(0)ccxxyyxymmm。又12224 51kxxk，212122222()22811kyyk xxkk，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师总结优秀知识点点4 58(,)Cmm。将点 C 的坐标代入曲线E 的方程，的2280641mm，得4m，但当4m时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。4m，C 点的坐标为(5, 2)

9、，C 到 AB 的距离为225(5)212135()12， ABC 的面积116 3323S。一、抛物线高考动向： 抛物线是高考每年必考之点，选择题、 填空题、 解答题皆有， 要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。（一）知识归纳方程22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpy p图形xyOFlxyOFl顶点（0，0）对 称轴x 轴y 轴焦点(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF离 心率e=1 准线:2plx:2plx:2ply:2ply（二）典例讲解题型一抛物线的定义及其标准方程方法思路： 求抛物线标准方程

10、要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2ymx或2(0)xmy m。【例 5】根据下列条件求抛物线的标准方程。xyOFlxyOFl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师总结优秀知识点（1）抛物线的焦点是双曲线22169144xy的左顶点；（2）经过点A（ 2， 3） ；（3）焦点在直线x-2y-4=0上；（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3 与抛物线交于点A， AF=5. 解： （1）双曲线方程可化为221916xy，左顶点是（-3，0）由题意设抛物线方程为22(0)ypx p且3

11、2p，p=6.方程为212yx（2）解法一：经过点A（2， 3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x2 2py点A（2， 3）坐标代入，即94p，得 2p29点A（2， 3）坐标代入x2 2py，即 46p，得 2p34所求抛物线的标准方程是y229x或x234y 解法二：由于A（2，-3 ）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2ymx或2xny，代入 A 点坐标求得m=29，n=-34，所求抛物线的标准方程是y229x或x234y （3）令 x=0 得 y=2，令 y=0 得 x=4，直线 x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2 ） ， （4，0） 。焦点为（ 0，-2 ） ，

12、（4，0） 。抛物线方程为28xy或216yx。（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为22(0)ypx p，A（ m，-3） ，由抛物线定义得p52AFm，又2( 3)2pm，1p或9p，故所求抛物线方程为22yx或218yx。题型二抛物线的几何性质方法思路： 1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师总结优秀知识点理，例如若P（x0，y0）为抛物线22(0)ypx p上一点，则02pPFx。2、若过焦点的弦AB ，11(,)A xy，22(,)

13、B xy，则弦长12ABxxp，12xx可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例 6】设 P 是抛物线24yx上的一个动点。（1）求点 P 到点 A（-1，1）的距离与点P 到直线1x的距离之和的最小值；（2）若 B（ 3，2） ，求PBPF的最小值。解： （1）抛物线焦点为F（ 1，0） ，准线方程为1x。P 点到准线1x的距离等于P 点到 F（1，0）的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点 P 到 A（-1，1）的距离与P 到 F（1，0）的距离之和最小。显然 P是 AF 的连线与抛物线的交点，最小值为5AF（ 2）同理PF与 P

14、 点到准线的距离相等，如图：过 B 做 BQ 准线于Q点，交抛物线与P1点。11PQPF，114PBPFPBPQBQ。PBPF的最小值是4。题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例 7】已知抛物线yx2，动弦 AB 的长为 2，求 AB 的中点纵坐标的最小值。分析一：要求AB 中点纵坐标最小值，可求出y1y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯形 ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点

15、为 M(x,y) 由抛物线方程yx2知焦点1F(0,)4,准线方程14y，设点 A、B、M 到准线的距离分别为|AD1|、|BC1| 、 |MN| ， 则 |AD1| |BC1| 2|MN| ， 且1M N= 2 ( y +)4，根据抛物线的定义，有|AD1|AF|、|BC1|BF|,12(y+)4|AF|BF|AB|2，y x A O P F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师总结优秀知识点12(y+)243y4, 即点 M纵坐标的最小值为34。分析二：要求AB中点 M的纵坐标y 的最小值，可列出y 关于某一

16、变量的函数，然后求此函数的最小值。解法二：设抛物线yx2上点 A(a,a2),B(b,b2) ， AB的中点为M(x，y) ，则2,222baybax|AB| 2， (a b)2(a2b2) 4，则 (a b)24ab(a2b2)24a2b24 则 2xab,2y a2b2, 得 ab2x2y, 4x24(2x2 y) 4y2 4(2x2y) 4 整理得14122xxy434114141241141)14(4122xxy即点 M纵坐标的最小值为3/4 。练习：1、以y=32x为渐近线的双曲线的方程是（）、 3y22x2=6 、 9y28x2=1 C 、3y22x2=1 D 、 9y24x2=3

17、6 【答案 D】解析： A 的渐近线为2y=3x，B 的渐近线为2 2y=3xC 的渐近线为2y=3x，只有 D 的渐近线符合题意。2、若双曲线221xy的左支上一点P（a，b）到直线y=x 的距离为2，则 a+b 的值为（）A、12B、12C、2D、2 【答案 A】解析： P在双曲线上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师总结优秀知识点221ab即（ a+b） （a-b）=1 又 P（a，b）到直线y=x 的距离为222ab且ab即2aba+b=123、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x 轴，焦点在直线3412

18、0 xy上，那么抛物线的方程是（）A、216yxB、212yxC、216yxD、212yx【答案 C】解析：令x=0 得 y=3，令 y=0 得 x=4，直线34120 xy与坐标轴的交点为（0， -3 ） ， （4，0） 。焦点为（ 0，-3） ， （ 4，0） 。抛物线方程为212xy或216yx。4、若抛物线y=41x2上一点 P到焦点 F 的距离为 5，则 P点的坐标是A. （4， 4）B.（ 4，4）C.（1679，879） D.（879，1679）【答案 B】解析：抛物线的焦点是（0，1） ，准线是1y，P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。设 P（x，y） ，则 y=4，4164

19、xy5、 若点 A 的坐标为（3， 2） ，F为抛物线xy22的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PFPA取得最小值时点P的坐标是（C ）A （0，0）B （1，1）C （2，2）D)1 ,21(【答案 C】解析：抛物线焦点为F（1，0） ，准线方程为1x。P 点到准线1x的距离等于P 点到 F（1，0）的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点 P 到 A（3，2）的距离与P 到 F（1，0）的距离之和最小。显然 P是 A 到准线的垂线与抛物线的交点，P 的坐标为（ 2， 2）6、已知 A、 B 是抛物线22(0)ypx p上两点， O 为坐标原点，若OA =OB ，且AOB的垂心恰是此抛物线

20、的焦点，则直线AB的方程是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师总结优秀知识点A、x=p B、x=3p C、x=32p D、x=52p 【答案 D】解析：设A（22yp，y） ，B（22yp，-y） ， F（p，0）是 AOB的垂心，221222yyypypp整理得225yp2522yxpp7、过点 P （4，1） ，且与双曲线221916xy只有一个公共点的直线有条。【答案】两条解析：因为P（ 4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。这两条直线是：41(

21、4)3yx和41(4)3yx8、双曲线 C 与双曲线2212xy有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，则 C 的两条准线之间的距离为。【答案】2 63解析：设双曲线C 的方程为22(0)2xyk k，将点 A 代入，得k=-2。故双曲线C 的方程为：22124yx2a，b=2, 6c所以两条准线之间的距离是222 63ac。9、已知抛物线22(0)ypx p，一条长为 4P 的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到 y 轴的最小距离是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师总结优秀知识点【答案】32p解析：设动

22、弦两个端点为A、B，中点为 C，作 AA ，BB ，CC 垂直于准线的垂线，垂足分别为A 、 B 、 C ，连接 AF、BF，由抛物线定义可知，A F=AA ，BF= BBCC 是梯形ABB A的中位线 CC =1()2AABB= 1()2AFBF12AB=2p 当 AB 经过点 F 时取等号，所以C 点到 y 轴的距离最小值为32p-22pp。10、抛物线212yx的一条弦的中点为M( 2, 3)，则此弦所在的直线方程是。【答案】 2x-y+1=0 解析：设此弦所在的直线l方程为3(2)yk x，l与抛物线的交点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 则124xx将l的方程代入抛物线

23、方程整理得2222(4612)(23)0k xkkxk由韦达定理得2122(4612)4kkxxk解得2k此直线方程为32(2)yx即 2x-y+1=0 11、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的方程。解：由题意知，216c8c又43cea6a22228bca2213628yx12、已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率233e，过点(0,)Ab和 B（a，0）的直线与原点的距离为32。（1）求双曲线的方程；（2）直线(0,0)ykxm km与该双曲线交于不同的两点C、D，且 C、D 两点都在精选学习资料 - - - - - - - - - 名

24、师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师总结优秀知识点以 A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。解： （1）由题设，得2222241332beaabab解得23a，21b双曲线的方程为2213xy。（2）把直线方程ykxm代入双曲线方程，并整理得222(13)6330kxkmxm因为直线与双曲线交于不同的两点，221212360mk设11(,)C xy，22(,)D xy则122613kmxxk，121222()213myyk xxmk设 CD 的中点为00(,)P xy，其中1202xxx，1202yyy，则0231 3kmxk，021 3myk依题意， APC

25、D ，22111 3313APmkkkmkk整理得2341km将式代入式得240mmm4 或 m 0 又23410km，即14mm 的取值范围为m4 或104m。13、已知点A（2，8） ，B （x1，y1） ，C（x2，y2）在抛物线22ypx上， ABC的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC中点 M的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师总结优秀知识点（3）求 BC所在直线的方程. （12 分）解： （1）由点 A（2，8）在抛物线22ypx上，

26、有2822p，解得 p=16. 所以抛物线方程为232yx，焦点 F 的坐标为（ 8，0）. （2）如图，由于F（8， 0）是 ABC的重心，M是 BC的中点，所以F 是线段 AM的定比分点，且2AFFM，设点 M的坐标为00(,)xy，则0022828,01212xy，解得0011,4xy，所以点 M的坐标为（ 11， 4） （3）由于线段BC的中点 M不在 x 轴上，所以BC所在的直线不垂直于x 轴. 设 BC所在直线的方程为：4(11)(0).yk xk由24(11)32yk xyx，消 x 得23232(114)0kyyk，所以1232yyk，由（ 2）的结论得1242yy，解得4.k

27、BC所在直线的方程是44(11)yx即4400 xy。14、如图 , 直线 y=21x 与抛物线y=81x24 交于 A、 B 两点 , 线段 AB 的垂直平分线与直线y=5 交于 Q 点. （1）求点 Q 的坐标；（2）当 P 为抛物线上位于线段AB 下方（含 A、B）的动点时 , 求 OPQ面积的最大值.（14 分）解： (1) 解方程组212148yxyx得1142xy或2284xy即 A(4, 2),B(8,4), 从而 AB的中点为M(2,1). 由AB1k=2，直线 AB的垂直平分线方程y1=-2(x 2). 令 y=5, 得 x=5, Q(5, 5) (2) 直线 OQ的方程为x

28、+y=0, 设 P(x,2148x) 点 P到直线 OQ 的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师总结优秀知识点221418d=83228 2xxxx, 5 2OQSOPQ=12OQ d=2583216xx. P为抛物线上位于线段AB下方的点 , 且 P不在直线 OQ上, 4x434 或 434x8.函数y=x2+8x32 在区间 4,8 上单调递增 , 当 x=8 时, OPQ 的面积取到最大值为 30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页