2022年高中数学知识点大全 .pdf

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1、1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素， 及元素的 “ 确定性、互异性、无序性 ” 。如：集合，A、B、C 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。3. 注意下列性质：n （1）集合 a1，a2，, ，an 的所有子集的个数是2；（2）若，；（ 3 ） 德 摩 根 定 律 ：，的解集为 M，若且，求实数你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于 x 的不等式的取值范围。 （， ，），5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“ 或，“ 且和“ 非若为

2、真，当且仅当 p、q 均为真若为真，当且仅当 p、q 至少有一个为真若为真，当且仅当 p 为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。 ）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB ，是否注意到 A 中元素的任意性和B 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定

3、义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是（答： 0，4）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f(x)的定义域是 a，b，则函数的定义域是 _ 。（答： a，）如：f 令，求，则1 的 反 函 数（ 答 ：）反函数存在的条件是什么？（一一对应函数,或在定义域求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为 A，值域为 C，则，（，则如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（外层） （f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函

4、数函数图象关于原点对称若总成立x)为偶函数函数图象关于 y 轴对称注意如下结论：（1） 在公共定义域f(x)与的图象关于 x 轴对称f(x)与的图象关于原点对称f(x)与的图象关于直线对称f(x)与的图象关于直线对称f(x)与的图象关于点 (a，0)对称将图象左移个单位右移个单位上移)个单位下移个单位注意如下 “ 翻折” 变换：再对称到左侧。先画 Y 轴右侧图象，把 X 轴下方图象折到上方；（1）一次函数：（2）反比例函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页推广为是中心 O (a ，b)的双曲线。（3）二次函数图象

5、为抛物线顶点坐标为，对称轴开口方向：，向上，函数 ymin ，向下，4a4a 应用：“ 三个二次 ” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间 m，n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。，时，两根 x1、x2 为二次函数2 的两个交点，也是二次不等式如：二次方程的两根都大于一根大于 k，一根小于（4）指数函数：（5）对数函数x ，由图象记性质！（注意底数的限定！）k （6）“ 对勾函数请结合图象写出其定义域：值域：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页单调区间：

6、最值：20. 你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：，a a m n a 对数运算：，对数恒等式： aNn logcbn 对数换底公式：logcam )，a m mn 1 m 21. 如何解抽象函数问题？如： （1），f(x)满足，证明 f(x)为奇函数。（先令再令，, ）（2），f(x)满足，证明 f(x)是偶函数。（先令）（3）证明单调性：22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法） ，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。 ）23. 等差数列的定义与性质定义：为常数 )，等差中项： x，A，y 成等差数列前 n 项和性质：是等差数列精选学习资

7、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页（1）若，则；（2）数列，仍为等差数列；Sn，仍为等差数列；（3）若三个数成等差数列，可设为，a，；（4）若 an，bn是等差数列 Sn，Tn 为前 n 项和，则；（5）为等差数列（a，b 为常数，是关于 n 的常数项为0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得 Sn 达到最大值时的n 值。当，由可得 Sn达到最小值时的 n 值。24. 等比数列的定义与性质定义：（q 为常数，） ，等比中项： x、G、y 成等比数列，或（要注意 !）前

8、n 项和：性质：是等比数列（1）若，则（2）Sn，Sn，仍为等比数列25. ？由 Sn求 an时应注意什么（时，时，）求出的通项是否能合写。否则用分段形式表示。26. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？（1）求差（商）法（求差法）222 S5 数 列满 足， 求 an （ 求 商 法 ）如：满足（2）累乘法an，求（3）等差型递推公式由，求 an，用迭加法（4）等比型递推公式、d 为常数，（用构造法：待定系数法）数列中，（5）倒数法例如：，求27. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。精选学习资料 - - - - - -

9、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页如：是公差为 d 的等差数列，求（2）错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前 n 项和，可由求 Sn，其中 q 为的公比。如：（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。已知，则（由28. 你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 p 元，每期利率为 r，n 期后，本利和为：等差问题若按复利， 如贷款问题 按揭贷款的每期还款计算模型 （按揭贷款 分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款） p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（

10、如一年）后为第一次还款日， 如此下去，第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还 x 元，满足nn p贷款数， r 利率， n还款期数29. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ，半径为 R 吗？112 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页（，S扇）22 30. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义，如：若，则，的大小顺序是 8 又如：求函数（的定义域和值域。，如图：），31. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？，的增区间为，对称点为减区间为，图

11、象的对称点为，0，对称轴为y x 的增区间为，减区间为，图象的对称点为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页，对称轴为，或正弦型函数的图象和性质要熟记。（1）振幅 |A|，周期若，则为对称轴。的增区间为若，则 x0，0 为对称点，反之也对。（2）五点作图：令依次为 0， ，求出 x 与 y，依点22 （x，y）作图象。（3）根据图象求解析式。 （求 A、值）如图列出解条件组求、值正切型函数，35. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值， 再判定角的范围。， ，求 x 值。， ， ， ）（如：36.

12、 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数的值域是（时，2，时，2）37. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：，k) （1）点 P（x，y）（x ，y ） ，则平移至（2） 曲线 f(x，沿向量， k)平移后的方程为，如：函数图象？（的图象经过怎样的变换才能得到的横坐 标 伸长到 原 来的2 倍左平移个单位个单位上平移1 纵坐标缩短到原来的倍）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页如：称为 1 的代换。2 化为的三角函数 “ 奇变，偶不变，符号看象限” ，“

13、奇” 、” 偶” 指k取奇、偶数。如：又如：函数，则 y 的值为B. 负值C. 非负值D. 正值A. 正值或负值（，）39. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：令令，应用以上公式对三角函数式化简。 （化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。 ）具 体 方 法 ：（ 1 ） 角 的 变 换 ： 如，（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。，求的值。，（由已知得：如：已知又2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

14、 -第 9 页，共 21 页）32 40. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理：（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）正弦定理：1C ，41. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。，反余弦：，反正切：，反正弦：42. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量 既有大小又有方向的量。（2）向量的模 有向线段的长度， |a| （3）单位向量，|a| 长度相等（5）相等的向量在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不方向相同改变。（6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。b存在唯一实数，使（7）向量的加、减法如图

15、：（4）零向量 0，（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e1，e2 是平面内的两个不共线向量， a为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得 a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页，e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。i，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得，称(x，y)为向量 a 的坐标，记作：，即为向量的坐标表示。设，y1，y2 ，若，则，1 1 1 1 则，2121 ，A、B 两点间距离公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

16、- - - -第 11 页，共 21 页43. 平面向量的数量积（1）叫做向量 a 与 b 的数量积（或为向量 a 与 b 的夹角，数量积的几何意义：a b 等于|a|与 b 在 a的方向上的射影的乘积。（2）数量积的运算法则，y1 x2，注意：数量积不满足结合律（3）重要性质：设，y1，y2 aa或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页（，惟一确定），线段的定比分点2 2 a b 2 1 21 22 22 |a| |b| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

17、13 页，共 21 页设 P1x1，y1，P2x2，y2，分点 Px，y，设 P1、P2 是直线 l 上两点， P点在l 上且不同于 P1、P2，若存在一实数，使，则叫做 P 分有向线段P1P2所成的比（，P 在线段如：，C3，则重心 G 的坐标是，. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、（2），（3），（4）（5），（6），或46. 利用均值不等式：，；2ab；求最值时，你是否注意到“a，且“ 等号成立 ” 时的条件，积 (ab)或和其中之一为定值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：，（平方平均数 算术几何调合）当且仅当时等号成立。，当且仅当时取等号。，则47. 不等式证明的基本方法都掌握了

18、吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。111111 （如：证明）n 的一般步骤是什么？（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）49. 用“ 穿轴法 ” 解高次不等式 “ 奇穿，偶切 ” ，从最大根的右上方开始如：50. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页讨论51. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。 ） 23 ）52.会用不等式证明较简单的不

19、等问例如：解不等式（解集为53. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“ ”问题）如：恒成立的最小值恒成立的最大值能成立的最小值例如：对于一切实数 x，若恒成立，则 a的取值范围是（设，它表示数轴上到两定点和 3 距离之和，即或者：，）54. 熟记下列公式了吗？（1）l 直线的倾斜角，P1x1，y1，P2x2，y2 是 l 上两点，直线 l 的方向向量，k （2）直线方程：点斜式：（k 存在）斜截式：截距式：一般式：（A、B 不同时为零）（3）点 Px0，y0 到直线 l：的距离（4）l1 到 l2 的到角公式：55. 如何判断两直线平行、垂直？与 l2 的夹角公式：

20、l2（反之不一定成立）l2 56. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“ 垂径定理” 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页57. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？联立方程组关于 x（或 y）的一元二次方程相交；相切；相离58. 分清圆锥曲线的定义椭圆，第一定义双曲线，抛物线椭圆；双曲线；抛物线x2y2222 abx2y2222 ，b xyx2y2 为与双曲线有相同焦点的双曲线系abab 60. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二

21、次项系数是否为零？ 0 的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在0下进行。 ）弦长公式22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页2 2 1 61. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？x2y2 如：ab ，通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。62. 有关中点弦问题可考虑用 “ 代点法 ” 。2 2 如：椭圆与直线交于 M、N 两点，原点与 MN 中点连线的斜率为2m ，则的值为 2n 答案：m2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

22、- -第 17 页，共 21 页63. 如何求解 “ 对称” 问题？（1）证明曲线 C：F（x，y）0 关于点 M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线 C 上任意一点，设 A （x ，y ）为 A 关于点 M 的对称点。，） 22 只要证明，也在曲线 C 上，即（由（2）点 A、A 关于直线 l 对称中点在 l 上中点坐标满足 l 方程64.圆的参数方程为（为参数）椭圆的参数方程为（为参数）65. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）66. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线线

23、面面面线线线面面面线面平行的判定：判定性质线线线面面面ab，面，面线面平行的性质：面，面，b 三垂线定理（及逆定理） ：PA面，AO 为 PO在PO；aAO 线面垂直：ab，ac，b，面面垂直：a面，面面面，ab a面，b面b 面a，面a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页P a a68. 三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角 ，0 90（2）直线与平面所成的角 ，0 900 时，b或（3）二面角：二面角的平面角，（三垂线定理法： A 作或证 AB于 B，作 BO棱于 O，连 AO，则 AO棱 l， AOB

24、为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。69. 空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法） 。D C 如：正方形 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 a，则：（1）点 C 到面 AB1C1 的距离为 _ ；A （2）点 B 到面 ACB1 的距离为 _ ；（3）直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为 _ ；（4）面 AB1C 与面 A 1 精选学习资料 - - - - - -

25、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页DC 1 的距离为 _ ；（5）点 B 到直线 A1C1 的距离为 _ 。C1 11 70. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱 底面为正多边形的直棱柱正棱锥 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，和它们各包含哪些元素？S正棱锥侧（C底面周长， h 为斜高）2 V 锥底面积 高 3 71. 球有哪些性质？（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（3）如图， 为纬度角，它是线面成角；为

26、经度角，它是面面成角。（4）S球，V 球（5）球（mi 为各类办法中的方法数）分步计数原理：（mi 为各步骤中的方法数）（2）排列：从 n 个不同元素中，任取m（m n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有排列的个数记为Am n. 规 定 ：（3）组合：从 n 个不同元素中任取m（m n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合，所有组合个数记为Cm n. 规 定 ：（4）组合数性质：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页73. 解排列

27、与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。74. 二项式定理二项展开式的通项公式：，Cr n 为二项式系数（区别于该项的系数）性质：，1，2，, ，n （1）对称性：1nn（2）系数和： C0 （奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和）75. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？（1）必然事件，不可能事件，（2）包含关系：，“A 发生必导致 B 发生” 称 B 包含 A。A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页