2022年高中数学竞赛专题讲座---复数 2.pdf

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1、复数专题一复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握例 1 设数列,21nzzz是首项为48，公比为)26(41i的等比复数列（ 1）求4z（ 2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成,21naaa，试求3a（ 3）求无穷级数naaa21的和解： （1）)6sin6(cos21)26(41iirirz2124834（ 2）使r为实数的最小自然数是6，数列,21naaa是首项为48，公比为6r的等比数列所以433a（ 3）这个级数是公比816r的无穷等比级数，从而和3128)81(148例 2今定义复数列,21naaa如下，nnkaaaiaia1121,31,1

2、（)2n，k为正的常数问复数na的辐角的正切与哪一个值最接近？（当n时）分析：寻求na的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论解：1na的辐角记作，212111)1(akkkakaaannnn（ 1）当1k时，innaanan)31() 1(211，所以)( 131tannnn（ 2）当1k时，211111)1 (akkkaannnkkkkknnn13)13(1111)()10(1) 1(13313) 13(1tan1nkkkkkkknnn例 3 （1）设在复数列,10nzzz之间有如下关系：), 3 ,2, 1)(11nzzzznnnn，其中) 1(是常复数当1,010zz时，试将nz的值用

3、表示（ 2）若（ 1）中的i 31，求在圆10| z（z是复数）的内部总共含有nz的个数解： （1）)(0112zzzz,21223)(zzzz1211)(nnnnnzzzz于是，从1得，11nnz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2yxO0P1P2PyxO)(zA)(B)(zC（ 2）)3sin3(cos231ii，所以)3sin3(cos2ninnn, 要使nz在圆10| z的内部， 它的充分必要条件是10,z， 100|2nz 即1 0 0nnzz， 而)23c o s21(3121nnnnnzz，100)23

4、cos21(3121nnn又nnn2123cos21221)21 (221nnn，能适合300)21(2n的n只是4, 3, 2, 1 ,0在逐个验证这五个点确信都在圆10| z的内部，故符合条件的点共有5个例 4设平面上有点,10PP，如图所示，其中，线段,21100PPPPOP，的长成首项为1，公比为r的等比数列（ 1）若10r，则当n时，nP与哪一点无限接近？（ 2）将（ 1）中的极限点用Q表示若固定21r而变动时，点Q所描述的是怎样的曲线？解： （1）)sin(cosir，此时，若将表示点nP的复数记作nz，则有nnnzz1，其中1z就是原点O于是)1(11112nnnz|1|1|11

5、|11nnnrz, 因此，若10r，令n，则0|11|nz，nz所表示的点与11所表示的点最靠近（ 2）11z，则有zz1，21r固定，做变动，点总在以原点为圆心的圆周上但因21|，故有2|1|zz于是当点在以原点为中心，21为半径的圆上，点11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上例 5 设在复平面上: （ 1）原点为O，表示复数Z的点为A，点B由|OAkAB，OAAB,的交角为所确定。试求表示点B的复数。这里k是实数。（ 2）点列,210nAAAA由下述方式确定：0A取)0,0(，1A取)0 ,1 (，), 3 ,2, 1(1nAn由|2|11nnnnAAAA，以及nnnnAAAA11,

6、的夹角所定义。试求被表示为nA复数nz。（ 3）若（ 2）中，2，且记12311nzzzS，nzzzS2422，将212iSS化简。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页解： （1）将表示B的复数记作，则对有关系ABOC的点C表示为复数，就是z，从而)sin(cosikzz，所以zikksin)cos1(。（ 2）OQAAOPAAnnnn11,所表示的点QP,，则用复数分别表示为nnnnzzzz11,。由POQ， 推 出nnzz12)si n) ( c o s(1izznn， 因 此 ， 数 列1nnzz是 首 项 为1

7、0101zz，公比为)sin(cos2i的等比数列。所以1nnzz11)sin(cos2nni（n是正整数）。所以)sin(cos21)sin(cos21ininznn。（ 3）数列,212kkzz仍为等比数列，故可求得niiSS212。专题二 复数与几何1. 有关轨迹问题：例 1已知一圆B及圆外一点A，在圆上任取一点Q，以AQ为边按逆时针作正三角形AQP，求点P的轨迹 . 解：如图：建立复平面， 设aAB， 圆B半径为r.P、Q分别对应复数为1,zz，则raz1. 令3sin3cos0iz，3QAP，01,01zzzzzz. 故razz0,rzrazz00. 故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数

8、为0az，即iaa232，半径为r. 例 2已知复数2121,zzzz在复平面上分别对应点A、B、C，O为复平面的原点. (1) 若iz21231，向量OA逆时针旋转90，模变为原来的2 倍后与向量OC重合，求2z；（ 2）若)(22121zzzz，试判断四边形OACB的形状 . 解： 向量OA逆时针旋转90，模变为原来的2 倍所得的向量对应的复数为iz21，而OC对应的复数为21zz，故21zz=iz21. 故)21(12izz)21)(2123(ii整理可得：iz21322322. (2) )( 22121zzzz,OCBA. 又四边形OACB为平行四边形，四边形OACB为菱形 . 2.

9、复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解. (2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解. 例 3 设复数z满足1z, 求复数2z的辐角主值的最大值与最小值。解：1z可设)20(sincosiz,sin2cos2iz. 设az)2arg(,由于,1sin1,02cos故232a. 令,2cossintgay则可先求出y的最值。由,2cossin,sin2cosyyyy得)(2)sin(12ytgyy其中,1)sin(,212yy, 即,3333,1422yyy3333tga, 故67)2arg(,65)2arg(maxminzz. y

10、 x o C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4方法二 : 由1z，知z对应的点Z在单位圆122yx上，设A（2，0） ，根据复数减法的几何意义，复数2z对应的向量是AZ. （如图），当射线AZ是圆O的切线时，2z对应的向量分别为21AZAZ 和，其中Z1，Z2为切点 .连接OZ1，则11AZOZ，可知1OAZ为直角三角形 .由2,11OAOZ, 故67)2arg(,65)2arg(maxminzz例 4设,1z12CzzzzA求A中辐角主值最大的复数z. 解：12z满足的点在以)0 ,2(为圆心，以1 为半径

11、的圆内（包括圆周），满足1z的点在单位圆内， （包括圆周） ，A对应如图两圆共同部分 .A中辐角主值最大的复数P点对应的复数iiz222245sin45cos例 5 若czz21, 求证：21211zzzz成立的充分必要条件是21zz 、中至少有一个是1. 证： 必要性：212211zzzz,2212211zzzz, 故有2121212111zzzzzzzz. 根据互为共轭的复数间关系有：)1)(1(21212121zzzzzzzz.化简整理得：212122111zzzzzzzz222122211zzzz,0112221zz,1z、2z至少有一个为1 。充分性：以上过程均可逆。结论成立。常用到

12、的与复数的模相关的结论：（ 1）22|zzzz（2）|2121zzzz)(|Nnzznn（ 3）)0(|22121zzzzz（ 4）|212121zzzzzz. （ 5）)( |,|biazzbzzaz,.|2|2|2221221221zzzzzz例 6某草场上有宝 . 取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架. 从绞架走到橡树，记住步数，向右拐90走同样多步打个桩. 然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐90走同样多步，又打一个桩. 在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存. 问应如何取宝 . 解： 取草场为复平面，以两棵树

13、所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点为原点O，建立如图所示的坐标系，设A、B为橡、松二树，其坐标分别为（-1 ，0） ， （1，0）. 令点Z表示绞架，Z1、Z2、Z0分别表示第一个桩、第二个桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z,z1,z2,z0. 由复数减法的几何意义，知1AZ对应的复数为11z；1BZ对应的复数为12z. 依照乘法的几何几何意义，知1AZ可由AZ逆时针旋转90得到 .izz)1(11, 即izz)1(11ZZA x o Z y Z A Z1Z2X O B y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7

14、 页同理 ,izz)1(12, 其中点Z0对应的复数为izzz2210. 即Z0为虚轴上的点i. 不论绞架位置在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为的那一点，故宝可取. 例 7 某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km后向左转30，后向前走 1km后向左转30，如此下去，能回到出发点吗？解： 以出发点作为坐标原点O，走第一个1km时所沿的直线作为Ox轴，建立如图所示的复平面. 第一个1km的终点A对应的复数是1，第二个1km的终点B对应的复数是1+(30sin30cosi) ， 第三个 1km的终点C对应的复数是1+(30sin30cosi)+(60sin60cosi)

15、. 如此下去，走第n个 1km时所达到的点对应的复数是1+(30sin30cosi)+(60sin60cosi) +30)1sin(30) 1cos(nin，即 1+(30sin30cosi)+(30sin30cosi)2+ 1)30sin30(cosni =)30sin30(cos1)30sin30(cos1iin当n =12 时， 上述复数为0， 即可回到出发点。专题三 复数与方程1. n次方程一定有n个复数根例 1求1nz的根解： 设)sin(cosirz，根据隶莫佛定理，1)sin(cosninrn，从而方程的根是nin2sin2cos（,3 ,2, 1 ,0n） 注：这n个根的模都等

16、于1，它的辐角按n2增加， 由此可见， 这n个根均位于单位圆上把圆周作了n等分例 2 设在 1 的立方根中，记其中不等于1 的一个根为，问12的值是多少？再问，当n是整数时，13n的值是多少？解：0) 1)(1(123xxxx，于是012213n例 3 （1）设是 1 的 5 次方根（1） ，当1时，求2的值（ 2）以原点位中心，以)0, 1 (为顶点作五边形求与)0 ,1 (相邻的两个顶点的x坐标的值（ 3）试构造一个以232为一个根的整系数二次方程解： （1）21121)1(2221)1(12342, O B Y A C 3030X 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

17、纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6又1，故有12340115，所以12（ 2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形52sin52cosi, 15452sin52cosi,及4是点)0, 1(的相邻两顶点，他们的横坐标都是52cos，于是有124252cos，而由（ 1） ，1得到012，解得251（舍），415（ 3）415，即514，两边平方，518162，所以01242（1）x232（2）（1）2)2(，x242，所以x242，将此式代入（ 1） ，有01) 12(2)12(42xx，于是有0520162xx根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍

18、可以应用到复数范围内例 4设关于x的方程03222aaaxx至少有一个模等于1 的根，确定实数a的值解：03222aaaxx. （1）（ 1）实根的情形：08)(89222aaaaaD，所以0a或8a（2）将1x代入（ 1）式，0322aaa，所以0222aa，解得ia1，因为a是实数，所以不符合条件其次，用1x代入（ 1）整理后有0242aa，解得22a，这是实数，且在（ 2）的范围内，故适合题中条件（ 2）虚根的情形：08)(89222aaaaaD，所以，08a解（ 1）有，4832i aaax， 为使它的模等于1， 只须1)48()43(222aaa， 整理后，022aa，2a（舍）或1

19、a综上，满足条件的a为1,22判断根的个数的问题，可以当解方程有困难时，可以调用不等式，函数单调性等手段来处理问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页例 5 试求满足01|23zz非实数的复数z的个数式中yxyixz,(为实数时)分析：根据yix作为根的条件，求出yx,的关系式，由此对单变数x的函数求导，再求根解： 满足01|23zz（1）的非实数的复数记为：yxyixz,(为实数时，0y)，代入原方程，012)(223yxyix，所以0)3()123(322223yyxiyxxyx，030123322223yyxyx

20、xyx0y，由（3） ，223yx, 将它代入)2(，有01|483xx. 从而，如果0 x，则由（ 4） ，0y这不合题意，为此0 x，（ 1） 当0 x时， 可化为01483xx, （6） 等式左边看成是关于x的函数求导数得0) 16(42x，这表明方程左侧关于x的函数是增函数，又01)0(f，)(limxfx可以推知，方程（6）只有一个正根，在此，由)4(可确定两个复数（ 2）0 x时，)5(式可化为01483xx, （7）所以0)124)(12(2xxx，从而，（ 7）式可以取两个负根：451,21这两个值对应于（4）可确定4 个复数综上，满足（1）的非实复数共有6 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页