2022年高中数学考试必备的知识点整理 2.pdf

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1、名师总结优秀知识点高中数学考试必备的知识点整理温馨提示： 在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。必修一：一、集合的运算：交集：定义：由集合A和集合 B中的公共元素组成的集合叫交集，记为AB并集：定义：由属于集合A或属于集合 B的元素组成的集合叫并集，记为AB补集：定义：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为UC A二、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m ? an = am + n， （2）nmnmaaa， （3）( a

2、m ) n = am n （4）( ab ) n = an? b n（5）nnnbaba（6）a 0 = 1 ( a0) （7）nnaa1（8）mnmnaa（9）1nmmnaa2、根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa ；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 5. 指数式与对数式的互化：logbaNbaN (0,1,0)aaN.6、对数的运算法则：（1）ab = N b = logaN （2）log a 1 = 0 （3）log aa = 1 （4）log aab = b （5）alogaN= N （6）log a (MN) = log a M + log a

3、N （7） log a (NM) = log a M -log a N （8） log aN b = b log aN （9） 换底公式：log aN = aNbbloglog（10）推论 ：loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). （11）log aN = aNlog1（12）常用对数： lg N = log 10N （13）自然对数： ln A = log e A 必修 4：1、特殊角的三角函数值角030456090180270360角的弧度数0 643223 2Sin0 2122231 0 -1 0 精选学习资料 - - - - - - - - -

4、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师总结优秀知识点Cos1 2322210 -1 0 1 tan 0 331 3不存在0 不存在0 2、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把看成锐角）公式一： Sin（+2k）=Sin公式二： Sin（+）=-Sin Cos（+2k）=Cos Cos（+）=-Costan （+2k）=tan tan（+）=tan公式三： Sin（-）=-Sin 公式四： Sin（- ）=SinCos（-）= Cos Cos（- ）=-Costan （-）=-tan tan（- ）=-tan 公式五： Sin（2- ）=Cos 公式六： Sin（

5、2+）=Cos Cos（2- ）=Sin Cos（2+）=-Sin 3、两角和与角差的正弦、余 弦和正切公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(4. 二倍角的正弦、余 弦和正切公式cossin22sin1cos2sin21sincos2cos22222tan1tan22tan22cos1sin222cos1cos22sin21cossin5、向量公式：ab)0,(222121yxyyxx（ab0,1221yxyx）22222

6、cos22)(bbaabbaababa222221212121cosyxyxyyxxbaba（求向量的夹角）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师总结优秀知识点0baba 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 ： 设),(yxa则22222yxayxa或平面内两点间的距离公式：)()(22212221yyxxa高中数学必修 5 知识点归纳第一章解三角形1、正弦定理：在C 中，a、b 、c分别为角、 C的对边， R 为C 的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2

7、sinbR，2sincRC ；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC ；sinsinsinsinsinsinabcabcCC（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。 ）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）3 、 余 弦 定 理 ： 在C 中 ， 有2222c o sabcb c，2222cosbacac，2222coscababC4、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab（余弦定理解决的题型

8、：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 .）5、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac6、 如何判断三角形的形状： 设a、b 、c是C 的角、C 的对边，则： 若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C附：三角形的五个“心” ；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点7、 （1）测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问题在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航

9、行时航速与航向等问题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解在解决与测量问题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化（2）解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师总结优秀知识点已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解第二章数列1、数列：按照一定顺序的一列数称为数列。2、项：首项

10、: 数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数（a1）数列记为na：naaaa321、通项：na 4 、已知nS求na的公式：)2() 1(111nssnasannn 注 ： danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）. 等差 na 前 n 项和ndandBnAnSn221222d可以为零也可不为零为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列. （不是非零，即不可能有等比数列）5、数列：按照一定顺序排列着的一列数6、数列的项：数列

11、中的每一个数7、有穷数列：项数有限的数列8、无穷数列：项数无限的数列9、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an） 10、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大值 . (2)当1a0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时 , 注意转化思想的应用。等比数列1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示：1nnaqa（注：等比数列中不会出现值为 0的项；同号位上的

12、值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa) nncqa(qc,为非零常数 ). 正数列 na 成等比的充要条件是数列 nxalog（1n）成等比数列 .2、等比中项：在a与 b 中间插入一个数 G ，使a，G ，b 成等比数列，则 G 称为a与 b 的等比中项若2Gab，则称 G 为a与b 的等比中项（注：由2Gab不能得出a，G ，b 成等比，由a， G ， b2Gab）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师总结优秀知识点3、通

13、项公式：若等比数列na的首项是1a，公比是 q，则11nnaa q4、 通项公式的变形：n mnmaa q； 11nnaa q； 11nnaqa； nmnmaqa5、性质：若na是等比数列，且 mnpq（m、n、 p 、*q） ，则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、 p 、*q） ，则2npqaaa6、等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnnaqSaqaa qqqq12nnsaaa7、几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值 . 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使001，nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)

14、2(212利用二次函数的性质求n的值. 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列)()1-(11dadndnaanbdxy（Cd时为一次函数）等比数列nnnqqaqaa111xaqy（指数型函数）数列前 n项和公式对应函数等差数列ndanddnnnaSn)2(22)1(121bxaxy2（0a时为二次函数）等比数列qaqqaqqaSnnn111)1(111baqyx（指数型函数）综合数列的知识点部分1、判断和证明数列是等差 （等比）数列常有三种方法： (1) 定义法 : 对于 n2 的任意自然数 ,验 证)(11nnnnaaaa为 同 一 常 数 。 (2)通 项

15、 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师总结优秀知识点212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。2、数列求和的常用方法公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。裂项相消法 : 适用于1nnaac其中 na 是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。错位相减法 : 适用于nnba其中 na是等差数列，nb是各项不为 0 的等比数列。倒序相加法 : 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法 . 3、常用结论

16、：1+2+3+.+n = 2)1(nn1+3+5+.+(2n-1) =2n2333) 1(2121nnn) 12)(1(613212222nnnn111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn)()11(11qpqppqpq4、求通项的方法：累加法，如：)(1nfaann累乘法，如：)(1nfaann构造法：如：)1(111ABaAABaBAaannnn第三章不等式1、常见用语的符号表示： “不超过”：“超过” ：“超不过”：2、比较大小的方法：0abab；0abab；0abab （利用作差法）技巧：优先考虑加减，后考虑两边平方。回顾：作差法的步骤：作差；变形；定正负；得出结论。3、 不

17、等式的 8 条性质（利用生活上的一些事情去记忆， 例如两（三）人比谁有钱；比谁高）： abba； （两个的游戏）,ab bcac； （第三个是中间人时） abacbc； （C无需任何条件）（三个游戏）,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd； （四人游戏，大 +大，小 +小）0,0abcdacbd； （大大，小小）0,1nnababnn； （分身术）0,1nnabab nn关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。4、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

18、 - -第 7 页，共 14 页名师总结优秀知识点5、一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 解的讨论 . acb42000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx对于 a0 的不等式可以先把a 化为正后用上表来做即可。二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、 二

19、元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和 y 的取值构成有序数对, x y ，所有这样的有序数对, x y 构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC，坐标平面内的点00,xy若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的上方若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的下方9、线性规划：、画直线（边界）虚、实线区别：虚线：/ 实线： / 分边：取特殊点（在线内外）检验注意：直线未经过原点时，优先使用（0,0 ）判定；直线过原点则选择数轴上的点。10、线性约束条件：由x， y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x， y 的线性约束条件。目标函数：欲达到最

20、大值或最小值所涉及的变量x， y的解析式。线性目标函数：目标函数为x， y 的一次解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师总结优秀知识点线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。可行解：满足线性约束条件的解, x y 。可行域：所有可行解组成的集合。最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。11、设a、 b 是两个正数，则2ab称为正数a、b 的算术平均数，ab称为正数a、 b 的几何平均数12、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab13、常用的基本不等式：222

21、,abab a bR ；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR高中数学选修 11 知识点归纳第一章常用逻辑用语1、命题： 可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题；（注意：疑问句、祈使句、感叹句。一般都不是命题；要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可2、命题的条件与结论：“若 p，则 q”的形式的命题中的p 称为命题的条件， q 称为命题的结论。注意：有些命题虽然表面上不是“若p，则 q”的形式，

22、但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若 p，则 q”的形式3、四种命题：原命题为：若p，则 q，逆命题为：若q，则 p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题. 否命题为：若 p，则 q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题. 逆否命题为：若 q，则 p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题. 4、四种命题的相互关系：（一）四种命题之间的相互关系结论：互为逆否的两个命题是等价的。（对角线命题真假性统一）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师总结优秀知识点（二）四种命题的真假性（三）四种命题的

23、真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系5、充分条件与必要条件定义：的必要条件是的充分条件，是则若pqqpqp,6、充要条件定义： 如果 p 是 q 的充分条件， p 又是 q 的必要条件，则称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作qp注意充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是充分性；二是必要性。充要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断 ：(2)等价法“ p? q”表示 p等价于 q，要证 p? q，只需证它的逆否命题非q? 非 p即可，同理要证 p?q，只需证非 q?非 p 即可，所以 p

24、? q，只需非 q? 非 p. (3)集合法：利用集合间的包含关系进行判断若 A? B，则 p 是 q 的充分条件，由xA，可得 xB；若 A? B，则 p 是 q 的必要条件，要使xB，则 xA 是必不可少的；若 AB，则 p 是 q 的充要条件；若 AB，且 BA，则 p既不是 q 的充分条件，也不是q的必要条件7、常见的几种条件：若qp，但 qp，则p是q的充分不必要条件（也可以说q的充分条件不必要条件是p）若qp，但 qp，则p是q的必要不充分条件（也可以说q的必要不充分条件条是p） ；若qp，且 qp，则p是q的充要条件（也可以说q是p的充要条件） ，记作qp；若qp，且 qp，则p

25、是q的既不充分也不必要条件；重要结论与注意：小范围大范围，但是大范围不能推出小范围8、逻辑联结词：且、或、非且：p 且 q)(qp“同真为真；一假即假”或：p 或 q)(qp“同假为假；一真即真”非：非 p)( p： “p与 p 的真假相反”注意：若)(qp为真，)(qp为假，则你所得到的结论是？“p、q 一真一假”原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师总结优秀知识点9、全称命题 ：陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某种性质的命题，无一例外，强调“整体

26、、全部”全称命题 p：)(,xpMx, 它的否定：p：)(,00 xpMx常见的全称量词：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给、所有的特称命题 ： 陈述某集合中有 (存在)一个元素具有 (不具有 )某种性质的命题，强调“ 个别、部分” 的特殊性特称命题 p：)(,00 xpMx, 它的否定p：)(,xpMx常见的特殊量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的结论：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。10、如何判定全称命题和特称命题的真假？对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x 都验证使 p(x)成立；若要判定为假命题，只需举一个反例对特称命题，若要判定为

27、真命题，只需找一个元素x0 使 p(x0)成立；若要判定为假命题，需证明对每一个x，p(x)不成立11、常见词语的否定词语词语的否定等于不等于大于小于是不是都是不都是（都不是要区分）至多一个至少两个至少一个一个都没有任意某个所有的某些第二章圆锥曲线与方程（一）椭圆1、椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无意义方程为椭圆21212121212121,FFFFMFMFFFMFMFFFMFMF21MFMF=2a（固定）21FF=2c(焦距 ) 222cba（a最大）注：定义中要重视“括号”内的限制条件2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上精选学习资料 - - - - - - -

28、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师总结优秀知识点图形标准方程222210 xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10, b 、20,b10, a 、20,a1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc 、20,Fc焦距222122F Fc cab对称性关于x轴、 y 轴、原点对称离心率22101cbeeaa注意：标准方程是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。如果知道两点坐标， 确不知道焦点在什么轴上， 我们为了方便计算， 就设一般方程为), 0, 0( 1

29、22BABAByAx且3、焦半径：设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出：01exaPF，02exaPF设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出：01eyaPF，02eyaPF归结起来为 “ 左加右减 ” 、 “下加上减” .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师总结优秀知识点（二）双曲线1、双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线212121

30、21212121,FFFFMFMFFFMFMFFFMFMF21MFMF=2a 2c （ 固 定 ）21FF=2c(焦距 )焦距：222abc（c最大）注：定义中要重视“括号”内的限制条件2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在 y 轴上图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围xa 或 xa，yRya或 ya， xR顶点1,0a、2,0a10, a 、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc 、20,Fc焦距222122F Fc cab对称性关于x轴、 y 轴对称，关于原点中心对称离心率2211cbeeaa准线方程2ax

31、c2ayc渐近线方程byxaayxb实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师总结优秀知识点3、等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 4、一般方程：一般方程：)0(122ABByAx. （三）抛物线标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y 轴焦点, 02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0 x0 x0y0y3、求轨迹方程的步骤：设题干中的点的坐标寻找等式得到有关x、y 的等式说明轨迹4、求轨迹的方法有：直接法：当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法 . 待定系数法：已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。定义法： 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页