2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.1.1 圆的标准方程 .doc

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1、4.1.1圆的标准方程知识导图学法指导1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程2利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程3结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法高考导航圆的标准方程的求解、圆心坐标及半径长的确定、点与圆的位置关系问题是常考题型，有时也会考查与圆有关的最值问题和对称问题，多以选择题或填空题的形式出现，分值5分.知识点一圆的标准方程1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆定点圆的圆心；定长圆的半径2圆的标准方程1由圆的标准方程可直接得到圆的圆心和半径；反过来，已知圆的圆心和半径即可直接写出圆的标准方程这一点体现了圆的标准方程的直观性2由圆的标准方程来看，

2、要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？知识点二点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrd，|CN|，|CP|5，故点M在圆外；由于(34)2(46)25，故点N在圆上；由于(34)2(56)225，故点P在圆内直径两端点坐标圆心坐标和半径长可得圆的标准方程将各点坐标代入方程判断方法归纳判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断点P(x0，

3、y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2；点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.跟踪训练2若点(3，)在圆x2y216的内部，则a的取值范围是()A0,7)B(，7)C7 D(7，)解析：由已知得a0，且(30)2(0)216，所以0a24.所以点P在圆外，故选A.答案：A5圆心为(2，3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252解析：利用平面几何知识得r，所以圆的方程是(x2)2(y3)213，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6与圆

4、(x2)2(y3)216同圆心且过点P(1,1)的圆的方程为_解析：因为已知圆的圆心为(2，3)，所以所求圆的圆心为(2，3)又r5，所以所求圆的方程为(x2)2(y3)225.答案：(x2)2(y3)2257已知点P(a，a1)在圆x2y225的内部，那么实数a的取值范围是_解析：由a2(a1)225，可得2a22a240，解得4a0)，则圆心坐标是(a，b)，则解得所以圆的标准方程为(x2)2(y1)210.解法二设A(5,2)，B(3，2)因为圆过A(5,2)，B(3，2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线l上，kAB2，kl，又线段AB的中点为(4,0)，所以线段AB的垂直平分线

5、方程为y(x4)，设所求圆的圆心为(a，b)，则有解得所以半径r，故所求圆的标准方程为(x2)2(y1)210.解法三因为圆心在直线2xy30上，所以设圆心坐标为(a,2a3)，因为圆过点(5,2)，(3，2)，所以，解得a2.所以圆心为(2,1)，半径r，故所求圆的标准方程为(x2)2(y1)210.10已知两点A(4,9)，B(6,3)，(1)求以AB为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上，圆内，还是圆外解析：(1)设圆心为C(a，b)，半径为r(r0)，则由C为线段AB的中点得a5，b6.又由两点间的距离公式得r|AC|.所以所求

6、圆的方程为(x5)2(y6)210.(2)分别计算点到圆心C的距离：|MC|；|NC|；|QC|3.因此，点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外能力提升(20分钟，40分)11圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A(x2)2y25 Bx2(y2)25C(x2)2y25 Dx2(y2)25解析：圆(x2)2y25的圆心为(2,0)，(2,0)关于原点的对称点为(2,0)，所以所求圆的圆心为(2,0)，易知所求圆的半径r，所以所求圆的方程为(x2)2y25.答案：A12设点P(x，y)是圆x2(y4)24上任意一点，则的最大值为_解析：因为点P(x，y)是圆x2(y4)24上任意一

7、点，因此表示点(1,1)与该圆上任一点的距离易知点(1,1)在圆x2(y4)24的外部，结合图可得的最大值为22.答案：213已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解析：如图，由题设知|AC|r5，|AB|8，|OA|4.在RtAOC中，|OC|3.设点C的坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3.所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225.14已知圆过点A(1，2)，B(1,4)(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2xy40上的圆的方程解析：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r|AB|为半径则所求圆的方程为x2(y1)210.(2)解法一直线AB的斜率k3，则线段AB的垂直平分线的方程是y1x，即x3y30.由，解得，即圆心的坐标是C(3,2)r2|AC|2(31)2(22)220.所求圆的方程是(x3)2(y2)220.解法二设圆的方程为(xa)2(yb)2R2.则.所求圆的方程为(x3)2(y2)220.