2022年高二平面向量典型例题 .pdf

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1、1 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例 1. 以下说法中正确的选项是 非零向量a与非零向量b共线，向量b与非零向量c共线，则向量a与向量c共线； 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； 向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角； 零向量模为0，没有方向； 始点相同的两个非零向量不平行； 两个向量相等，它们的长度就相等； 假设非零向量AB与CD是共线向量，则A、B 、 C、D四点共线。【答案】【解析】 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的；相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上； 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角

2、或锐角；零向量不是没有方向, 它的方向是任意的； 向量是否共线与始点位置无关； 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；共线向量即平行向量，非零向量AB与CD是共线向量，可能A、B 、C、D四点共线，也可能AB 、CD平行。【总结升华】从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量则必须大小相等、方向相同。举一反三：【变式 1】判断以

3、下各命题是否正确, 并说明理由 : (1) 假设| a |=|b |, 则a= b；(2) 单位向量都相等；(3) 两相等向量假设起点相同, 则终点也相同；(4) 假设a = b，c= b, 则a = c；(5) 假设| a |b |, 则a b；(6) 由于零向量方向不确定, 故它不能与任意向量平行. 【答案】(1) 错；模相等 , 方向未必相同；(2) 错；模相等 , 方向未必相同；(3) 正确；因两向量的模相等, 方向相同 , 故当他们的起点相同时, 则终点必重合；(4) 正确；由定义知是对的；(5) 错；向量不能比较大小；(6) 错；规定 :零向量与任意向量平行. 【变式 2】在复平面

4、中，已知点A2，1 ，B0，2 ，C 2，1 ，O0，0. 给出下面的结论：直线 OC 与直线 BA 平行；ABBCCA；OAOCOB；2ACOBOA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 其中正确结论的个数是A1 B2 C3 D4 【答案】 C 【解析】1122OCk，211022BAk， OCAB，正确；ABBCAC，错误；(0, 2)OAOCOB，正确；2( 4,0)OBOA，( 4,0)AC，正确 . 故选 C. 类型二、平面向量的加减及其线性运算例 2.如图，已知梯形ABCD中，AB/ CD，且AB2CD

5、，M、N分别是CD、AB的中点，设ADa，ABb，试以a、b为基底表示DC、BC、MN.【解析】连结ND，则1122ABDCb；11ABNB22DCbDC/ NB，DCNB1NDAD2BCANab；又11DC24DMb1DNCBDM4MNDMba.【总结升华】此题实质上是平面向量基本定理的应用，由于AD，AB是两个不共线的向量，那么平面内的所有向量都可以用它们表示出来. 此题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的线性运算，变形求解. 举一反三：【变式 1】 在 ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点，假设2ADDB，13CDCACB， 则=_

6、.【答案】23【解析】由图知CDCAADCDCBBD，且20ADBD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 + 2 得：32CDCACB，1233CDCACB，23. 【变式 2】 ABC 中，点 D 在 AB 上，CD平分ACB，假设CBa，CAb，1a，2b，则CDA. 1233ab B. 2133ab C. 3455ab D. 4355ab【答案】B【变式3】如图 ,E为平行四边形ABCD边AD上一点 , 且14AEAD, 设ABa，BCb，假设15AFAC，BFkBE，求k的值 . 【解析】11()55AFA

7、Cab又1()()4BFkBEk AEABkb -a而BFAFa，(1)4kAFk a +b由解得45k. 【变式 4】假设OEF， ，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是AEFOFOEBEFOFOEC EFOFOEDEFOFOE【答案】 B 【变式 5】 已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点， 且2OAOBOC0， 那么AOOD2AOOD3AOOD2AOOD【答案】 A 【解析】因为D为BC边中点，所以由平行四边形法则可知：2OBOCOD，又2OBOCOA，所以ODOAAO. 例3. 设两个非零向量a,b不共线，1假设,2,3().ABa + b BCa + 8b CDa - b

8、求证：A，B，D三点共线 . 2试确定实数k，使ka+ b和ka+b共线 . 【解析】1证明：,2,3(),ABa + b BCa + 8b CDa - b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 23()5()5BDBCCDa + 8ba - ba + bAB；,AB BD共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线 . 2ka+b和ka+b共线，存在实数，使()kka + ba +b，即()(1)kkab，a,b是不共线的两个非零向量，210,10.kkk1k. 【总结升华】证明三点共线问题，可以用向量共线来解决，但应

9、注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线. 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数与方程思想的运用. 举一反三：【变式 1】已知平面内有一点P 及一个 ABC ，假设PAPBPCAB，则A点 P 在 ABC 外部B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上D点 P在线段 AC 上【答案】 D 【解析】PAPBPCAB，0PAPBPCAB，即0PAPBBAPC，0PAPAPC，2PACP，点 P 在线段 AC 上. 【变式 2】假设a、b是两个不共线的向量,AB2ka+b,BCab，2CD

10、ab, 已知 A、C、D三点共线 ,求实数k的值 . 【答案】7k【解析】(2)()ACABBCka +ba + b3(1)ka +b，2CDab, A,C,D 三点共线 ,AC CD共线 , 令ACCD,不为零 , 3(1)(2 )ka +bab2ab, 3,12 .k7k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 【变式 3】已知向量a、b不共线，(),kkca + bRda - b，如果cd，那么Ak=1 且c与d同向Bk=1 且c与d反向Ck=1 且c与d同向Dk=1 且c与d反向【答案】 D 【解析】cd且a、b

11、不共线，存在唯一实数使c=d，()ka + ba - b1k，11k，故选 D. 【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193 例 2】【变式 4】已知向量,a b，且2 ,56 ,72 ,ABab BCab CDab则一定共线的 A 、 B、D BA、B、C CB、C、 D DA、C、D 【答案】 A 类型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用例 4设向量(1,3)a，(x1,2)b，2c = ab，12dab假设/dc，求使cd成立的实数和x的值 . 【解析】由题知：2(2x1,7)cab，131(x,)222dab/dc，13(21)7()022xx，解得5x3，7(,7)3c，

12、11(,)62d由cd得7(,7)(,)362，72，即14.【总结升华】考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之一,准备掌握公式,灵活运用 . 举一反三：【变式 1】已知( 1,2)a，(1,x)b，假设2ab,2ab是共线向量 , 求实数x的值 ; 【解析】由已知有: 2( 3,4x)ab，2(1,22x)ab，(2) /(2 )abab, 3 (22 )1 (4)0 xx, 解得2x. 【变式 2】设向量 a= 1，2 ，b=2，3 。假设向量ab与向量 c= 4，7共线， 则 =_. 【答案】 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

13、- - - - - -第 5 页，共 8 页6 【解析】(2,23)ab， () /abc，7(2)4(23)2. 故填 2. 【变式 3】如图，在ABC 中， AD AB，3BCBD，| 1AD，则AC AD_. 【答案】3【解析】建系如下图 : 令 BxB，0 ，CxC，yC ，D0，1 ，(,)CBCBCxxy，(,1)BBDx，3BCBD，3()3CBBCxxxy，(13)3CBCxxy，(13),3)BACx，(0,1)AD，则3AC AD. 【变式 4】假设平面向量a、b满足1ab,ab平行于 x 轴，(2,1)b，则a=_. 【答案】 1，1或 3， 1【解析】设a=x，y ，则

14、ab=x+2，y1 ，由题意得221(2)(1)1110yxyxy或13yx. a= 1， 1或 3，1. 【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193 例 3】【变式 5】 假设直线02cyx按向量) 1, 1 (a平移后与圆522yx相切，则 c的值为 A8 或 2 B6 或 4 C4 或 6 D2 或 8 【答案】 A 例 5A，B，C是不共线三点，点O是 A，B，C确定平面内一点，假设222|OAOBOC取最小值时， O是 ABC的A 重心 B垂心 C内心 D外心【答案】 A【解析】设O x，y ，Ax1，y1 ，B x2， y2 ，Cx3，y3则222|SOAOBOC222222

15、112233()()()()()()xxyyxxyyxxyy222212312332()xxxxxxxx222212312332()yyyyyyyy221231233()3()33xxxyyyxyk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 则当1233xxxx且1233yyyy时，minSk，故选 A. 【总结升华】关注三角形的“心”，包括三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心. 举一反三：【变式 1】在ABC中，点O满足OA ABOA AC，则点O在ABC的上A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】 D；【

16、解析】OA ABOA AC，0OA ABOA AC，即()0OAABAC，0OA CB，OACB，所以点O在ABC的高上 . 【变式 2】 平面 ABC及一点 O满足AO ABBO BA，BO BCCO CB， 则点 O是 ABC的 A 重心 B垂心 C内心 D外心【答案】选D.【解析】由AO ABBO BA得()0ABAOBO()()0OBOAOBOA即22|OBOA| |OBOA，同理| |OBOC，故选 D. 【变式 3】平面内ABC及一点O满足|AO ABAO ACABAC，|CO CACO CBCACB，则点O是ABC的A重心B垂心C内心D外心【答案】 C 【解析】对于|AO ABAO ACABAC的理解，其中ABABeAB，即为AB方向上的单位向量. 【变式 4】在ABC中，点O满足0OAOBOC，则点O在ABC的上A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】 B；【解析】如图，以OB 、OC为邻边作平行四边形BDCO，则OBOCODOA，则点A、O、D三点共线，而且在平行四边形BDCO中，点E为BC的中点，所以AE为ABC的中线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页