2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 .doc

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1、24.1平面向量数量积的物理背景及其含义考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量数量积的概念及其物理意义bb平面向量投影的概念aa平面向量数量积的性质及运算律bb知识导图学法指导1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用2向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角零向量与任一向量的数量积为0.几何意义|a|cos (|b

2、|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积性质(1)abab0；(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；(3)aa|a|2或|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|运算律交换律：abba结合律：(a)b(ab)a(b)分配律：(ab)cacbc关于向量数量积应注意的问题(1)若向量与的夹角为，0时，与同向；时，与反向；时，.(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cos的符号所决定，而向量的加减法和实

3、数与向量的积的结果仍是向量(4)符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同()(2)两个向量的数量积是向量()(3)设向量a与b的夹角为，则cos 0ab0.()答案：(1)(2)(3)2已知单位向量a，b的夹角为60，则ab()A. B.C1 D解析：由向量的数量积公式ab|a|b|cos 11.答案：A3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|()A. B.C. D4解析：|a3b|2a26ab9b216cos 60913，所以|a3b|.答案：C4已知向

4、量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为_解析：设a与b的夹角为，cos ，又0，.答案：类型一向量数量积的计算及其几何意义例1(1)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A.B.C.D.(2)已知|a|3，|b|5，且ab12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_【解析】(1)设a，b，则ab，|a|b|1.(ba)，(ba)，a(ba)ab，abb2.(2)设a与b的夹角为，则有ab|a|b|cos 12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos ；向量b在向量a方向上的投影为

5、|b|cos 4.【答案】(1)B(2)4(1)先求，再利用向量的数量积定义计算(2)向量在向量方向上的投影为|cos，向量在向量方向上的投影为|cos.方法归纳向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算跟踪训练1本例1中，若DE的中点为G，求.解析：()，所以211cos12012.由已知先求，再利用公式求 .类型二向量模的有关计算例2(1)已知平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|()A. B2C4 D12(2)向量a

6、，b满足|a|1，|ab|，a与b的夹角为60，则|b|()A. B.C. D.【解析】(1)|a2b|2.(2)由题意得|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos60，即1|b|2|b|，解得|b|.【答案】(1)B(2)B求向量的模，先平方，利用公式求，再开方方法归纳求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练2(1)设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，|a|1，则|b|_；(2)已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_解析：(

7、1)因为abc0，所以c(ab)因为(ab)c，所以c(ab)0，所以(ab)(ab)0，所以a2b20，所以|b|a|1.(2)因为(2)，所以(2)|220，又|1，所以，所以|2|.答案：(1)1(2)将所给向量式两边平方，然后利用向量数量积的运算律及向量数量积的定义求解类型三向量的夹角与垂直例3(1)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.(2)已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab).求|b|；当ab时，求向量a与b的夹角的值【解析】(1)设a，b的夹角为，因为a(2ab)，所以a(2ab)0，所以2|a|2ab0，即2

8、|a|2|a|b|cos 0.因为|b|4|a|，所以2|a|24|a|2cos 0，所以cos ，所以.(2)因为(ab)(ab)，即a2b2，所以|b|2|a|21，故|b|.因为cos ，又0180，故45.【答案】(1)C(2)见解析(1)利用(2)(2)0，化简求解(2)利用()()化简，求|，再利用数量积变形公式求角方法归纳求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤：(2)注意：在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值跟踪训练3(1)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_；(2)已知向量a，b，且|a|1，

9、|b|2，(a2b)(3ab)，求向量a与b夹角的大小求|a2b|的值解析：(1)设a与b的夹角为，依题意有：(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因为0，故.(2)设a与b的夹角为，由已知得(a2b)(3ab)3a25ab2b2310cos 80，所以cos ，又0180，所以60，即a与b的夹角为60.因为|a2b|2a24ab4b2141613，所以|a2b|.答案：(1)(2)见解析(1)将等式(2)()6化简，求得夹角(2)利用向量垂直的性质：0求解2.4.1基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1若|m|4，|n|6，m与n的夹角为4

10、5，则mn()A12 B12C12 D12解析：mn|m|n|cos 46cos 452412.答案：B2已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|()A12 B3C6 D3解析：ab|a|b|cos 13512，又|a|4，解得|b|6.答案：C3已知向量a，b满足|a|2，|b|3，a(ba)1，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：因为|a|2，a(ba)1，所以a(ba)aba2ab221，所以ab3.又因为|b|3，设a与b的夹角为，则cos .又0，所以.答案：C4若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模是()A2 B4C6 D

11、12解析：(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672.|a|22|a|240.解得|a|6或|a|4(舍去)答案：C5若ab0，则a与b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.解析：因为ab0，所以cos 0，所以.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6如图所示，在RtABC中，A90，AB1，则的值是_解析：方法一|cos(180B)|cosB|1.方法二|1，即为单位向量，|cosB，而|cosB|，所以|1.答案：17已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为_解析：设a与b的夹角为，cos ，又因为0

12、，所以.答案：8已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为_解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos 3cos.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求：(1)a2b2；(2)(2ab)(a3b)解析：(1)a2b2|a|2|b|232427.(2)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|223253434260.10(1)已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|，|3ab|；(2)已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值；(3)如图，已知在ABCD中，A

13、B3，AD1，DAB，求对角线AC和BD的长解析：(1)ab|a|b|cos55，|ab| 5，|ab|5，|3ab|5.(2)|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，又|3a2b|5，32512ab25，则ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400.故|3ab|20.(3)设a，b，则|a|3，|b|1，a与b的夹角.ab|a|b|cos .又ab，ab，|，|.AC，BD.能力提升(20分钟，40分)11已知O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若()(2)0，则ABC是()A以AB为底边的等腰三角形B以BC为

14、底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形解析：设BC的中点为M，则化简()(2)0，得到()(2)20，则0，AM是ABC的边BC上的中线，也是高，故ABC是以BC为底边的等腰三角形答案：B12设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：(ab)c(ca)b0；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中为正确命题的是_(填序号)解析：(ab)c表示与向量c共线的向量，(ca)b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以错误；(bc)a(ca)bc0，即(bc)a(ca)b与c垂直，故错误；显然正确答案：13已知向量a，b的夹角为30，且|a|，|b|1，求向量pab与qab的夹角的余弦值解析：pq(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2312.|p|ab|，|q|ab|1，cos .14已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解析：(1)由题意知|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，cos ，.(2)易知ab1，则(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.