2022年集合间基本关系示范优秀教案 .pdf

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1、1 / 9 1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、 有理数的集合等)出发 ,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时 ,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法 ,如类比等 . 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn 图 ,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如与的区别 . 三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力. 2.在具体

2、情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn 图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点教学重点 :理解集合间包含与相等的含义. 教学难点 :理解空集的含义. 课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.实数有相等、大小关系,如 5=5,53 等等 ,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生) 欲知谁正确 ,让我们一起来观察、研探. 思路 2.复习元素与集合的关系 属于与不属于的关系,填空 :(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系,如57,22, 试想集合间是否有类似的

3、“ 大小 ” 关系呢？( 答案：(1);(2);(3) 推进新课新知探究提出问题(1)观察下面几个例子: A=1,2,3,B=1,2,3,4,5; 设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合; 设 C=x|x 是两条边相等的三角形,D=x|x是等腰三角形; E=2,4,6,F=6,4,2. 你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子中集合A 是集合 B 的子集 ,例子中集合E 是集合 F 的子集 ,同样是子集 ,有什么区别？(3)结合例子 ,类比实数中的结论: “若 a b, 且 b a, 则 a=b”,在集合中 ,你发现了什么结论? (4)按升国旗时

4、 ,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然 .试想一下 ,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用 Venn 图表示例子中集合A 和集合 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 / 9 (6)已知 AB,试用 Venn 图表示集合A 和 B 的关系 . (7)任何方程的解都能组成集合,那么 x2+1=0 的实数根也能组成集合,你能用 Venn 图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合

5、没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“ 若 a b, 且 b c, 则 a c”相类比 ,在集合中 ,你能得出什么结论? 活动： 教师从以下方面引导学生: (1)观察两个集合间元素的特点. (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定 :如果 AB,但存在xB,且 xA,我们称集合A是集合 B 的真子集 ,记作 AB(或 BA). (3)实数中的 “”类比集合中的. (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出 :为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图. (5)

6、封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制 . (6)分类讨论 :当 AB 时,AB 或 A=B. (7)方程 x2+1=0 没有实数解 . (8)空集记为,并规定 :空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A). (9)类比子集 . 讨论结果：(1)集合 A 中的元素都在集合B 中; 集合 A 中的元素都在集合B 中; 集合 C 中的元素都在集合D 中; 集合 E 中的元素都在集合F 中 . 可以发现 :对于任意两个集合A,B 有下列关系 :集合 A 中的元素都在集合B 中;或集合 B 中的元素都在集合A 中. (2)例子中 AB,但有一个元素4 B,且 4A;而例子

7、中集合E 和集合 F 中的元素完全相同. (3)若 AB,且 BA,则 A=B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图 1121 所示表示集合A,如图 1122所示表示集合B. 图 1-1-2-1图 1-1-2-2 (6)如图 1-1-2-3 和图 1-1-2-4 所示 . 图 1-1-2-3图 1-1-2-4 (7)不能 .因为方程x2+1=0 没有实数解 . (8)空集 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 / 9 (9)若 AB,BC,则 AC;若 AB,BC,则 AC. 应

8、用示例思路 1 1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格 .若用 A 表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C 均不是空集 . (1)则下列包含关系哪些成立？AB,BA,AC,CA. (2)试用 Venn 图表示集合A、B、C 间的关系 . 活动： 学生思考集合间的关系以及Venn 图的表示形式 .当集合 A 中的元素都属于集合B 时,则 AB 成立 ,否则 AB 不成立 .用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点 : (1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格; 长度合格的产品不一定

9、是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合A、B、C 间的关系来画出Venn图 . 解： (1)包含关系成立的有:BA,CA. (2)集合 A、B、C 间的关系用Venn 图表示 ,如图 1-1-2-5 所示 . 图 1-1-2-5 变式训练课本 P7练习 3. 点评： 本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合A、 B 之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B 中的元素 ,再分析集合A、B 中的元素之间的关系,得:当集合 A 中的元素都属于集合B 时,有 AB;当集合 A 中的元素都属于集合B,当集合 B 中至少有一个元素不属于集合

10、A 时 ,有 AB;当集合 A 中的元素都属于集合B,并且集合B 中的元素也都属于集合A 时,有 A=B; 当集合 A 中至少有一个元素不属于集合B,并且集合 B 中至少有一个元素也不属于集合A 时,有 AB,且 BA, 即集合 A、B 互不包含 . 2.写出集合 a,b 的所有子集 ,并指出哪些是它的真子集. 活动： 学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集 .按集合 a,b 的子集所含元素的个数分类讨论. 解： 集合 a,b 的所有子集为,a,b,a,b.真子集为,a,b. 变式训练2007 山东济宁一模,1 已知集合 P=1,2, 那么满足

11、QP 的集合 Q 的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 分析 :集合 P=1,2 含有 2 个元素 ,其子集有22=4 个, 又集合 QP,所以集合Q 有 4 个. 答案： A 点评： 本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏. 思考 :集合 A 中含有 n 个元素 ,那么集合A 有多少个子集？多少个真子集？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 / 9 解： 当 n=0 时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20; 当

12、n=1 时,即含有一个元素的集合如a 的子集为,a, 即子集的个数是2=21; 当 n=2 时,即含有一个元素的集合如a,b 的子集为,a,b,a,b,即子集的个数是4=22. 集合 A 中含有 n 个元素 ,那么集合A 有 2n个子集 ,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合 A 有(2n-1)个真子集 . 思路 2 1.2006 上海高考 ,理 1 已知集合A=-1,3,2m-1, 集合 B=3,m2. 若 BA,则实数 m=_. 活动： 先让学生思考BA 的含义 ,根据 BA,知集合 B 中的元素都属于集合A,集合元素的互异性 ,列出方程求实数m 的值 .因为 BA,所以 3A,m2A

13、.对 m2的值分类讨论. 解： BA,3A,m2A. m2=-1(舍去 )或 m2=2m-1. 解得 m=1.m=1. 答案： 1 点评： 本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m 的值后 ,再代入验证 . 讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式 . 变式训练已知集合M=x|2-x2 ,由于 NM,则 N=或 N,要对集合 N 是否为空集分类讨论. 解： 由题意得 M=x|x2 ,则 N=或 N. 当 N=时,关于 x 的方程 ax=1 中无解 ,则有

14、 a=0; 当 N时,关于 x 的方程 ax=1 中有解 ,则 a0, 此时 x=a1,又 NM,a1 M.a12. 0a21.综上所得 ,实数 a 的取值范围是a=0 或 0a21,即实数 a 的取值范围是a|0 a21 2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:,a,a,b,a,b,c. (2)由(1)你发现集合M 中含有 n 个元素 ,则集合 M 有多少个子集？活动： 学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当 n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 答案： (1)的子集有 :,即有 1 个子集 ; a

15、的子集有 :、a, 即a 有 2 个子集 ; a,b 的子集有 :、a 、b 、a,b, 即a,b 有 4 个子集 ; a,b,c 的子集有 :、a 、b 、 c 、a,b 、a,c 、 b,c 、a,b,c, 即a,b,c 有 8 个子集 . (2)由(1)可得 :当 n=0 时,有 1=20个子集 ; 当 n=1 时,集合 M 有 2=21个子集 ; 当 n=2 时,集合 M 有 4=22个子集 ; 当 n=3 时,集合 M 有 8=23个子集 ; 因此含有n 个元素的集合M 有 2n个子集 . 变式训练已知集合 A2,3,7, 且 A 中至多有一个奇数,则这样的集合A 有() A.3 个

16、B.4 个C.5 个D.6 个分析 :对集合 A 所含元素的个数分类讨论. A=或2 或3 或7 或2,3 或2,7 共有 6 个 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 / 9 答案： D 点评： 本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合 M 中含有n 个元素 ,则集合 M 有 2n个子集 ,有 2n-1 个真子集 ,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象. 知能训练课本 P7练习 1、2. 【补充练习】1.判断正误 : (1)空集没有子集

17、. ( ) (2)空集是任何一个集合的真子集. ( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( ) (4)若 BA,那么凡不属于集合A 的元素 ,则必不属于B. ( ) 分析 :关于判断题应确实把握好概念的实质. 解： 该题的 5 个命题 ,只有 (4)是正确的 ,其余全错 . 对于 (1)、(2)来讲 ,由规定 :空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于 (3)来讲 ,可举反例 ,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于 (4)来讲 ,当 xB 时必有 xA,则 xA 时也必有 xB. 2.集合 A=x|-1x3,x Z, 写出 A 的真子集 . 分析 :区分子集与真子

18、集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有 n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集 . 解： 因-1x3,x Z,故 x=0,1,2, 即 a=x|-1x3,x Z=0,1,2. 真子集 :、1 、2 、0 、0,1 、0,2 、1,2, 共 7 个. 3.(1)下列命题正确的是( ) A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.1 是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为( ) 1 0,1,2 1,-3=-3,1 0,1,21,0,2 0,1,2 0 A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M=x|

19、3x4,a=,则下列关系正确的是( ) A.aM B.aM C.a M D.aM 分析 :(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确, 无限集的真子集有可能是无限集,如 N 是 R 的真子集 ,排除 A;由于只有一个子集 ,即它本身 ,排除 B;由于 1 不是质数 ,排除 D. (2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系. 应是 10,1,2, 应是0,1,2, 应是0. 故错误的有. (3)M=x|3x4,a=.因 3a4,故 a 是 M 的一个元素 . a 是x|3x2m-1 即 m2m-1, 得 m4. 综上有 m4. 点评： 此问题解决要注意： 不应忽略;

20、找 A 中的元素 ;分类讨论思想的运用. 拓展提升问题 :已知 AB,且 AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,则满足上述条件的集合A 共有多少个？活动： 学生思考 AB,且 AC 所表达的含义 .AB 说明集合 A 是集合 B 的子集 ,即集合 A中元素属于集合B,同理有集合A 中元素属于集合C.因此集合 A 中的元素是集合B 和集合 C的公共元素 . 思路 1:写出由集合B 和集合 C 的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A; 思路 2:分析题意 ,仅求满足条件的集合A 的个数 ,转化为求集合B 和集合 C 的公共元素所组成的集合的子集个数. 解法 一：因AB,AC,B=0

21、,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此, 满足AB,有:,0,1,2,3,4, 0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4, 共 25=32(个). 又满足 AC 的集合 A 有:,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4, 0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共 24=16(个 ). 其

22、中同时满足AB,AC 的有 8 个:,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4,实际上到此就可看出 ,上述解法太繁 . 解法二： 题目只求集合A 的个数 ,而未让说明A 的具体元素 ,故可将问题等价转化为B、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个 ). 点评： 有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握 ,其应用非常广泛. 课堂小结本节课学习了 : 子集、真子集、空集、Venn 图等概念 ; 能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集; 清楚两个集合包含关系的确定,主要靠

23、其元素与集合关系来说明. 作业课本 P11习题 1.1A 组 5. 设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中, 要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 / 9 备课资料备选例题【例 1】下面的Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四

24、边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合 A、B、C、D、E 分别是哪种图形的集合？图 1-1-2-6 思路分析： 结合 Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定. 解： 梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故 A= 四边形 ; 梯形不是平行四边形、菱形、正方形 ,而菱形、正方形是平行四边形,故 B= 梯形 ,C= 平行四边形 ; 正方形是菱形,故E= 正方形 , 即 A= 四边形 ,B= 梯形 ,C= 平行四边形 ,D= 菱形 ,E= 正方形 . 【例 2】2006 全国高中数学联赛山东赛区预赛,3 设集合 A=x|x|2-3|x|+2=0,B=x

25、|(a-2)x=2,则满足 BA 的 a的值共有 ( ) A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个分析 :由已知得 A=x|x|=1 或|x|=2=-2,-1,1,2,集合 B 是关于 x 的方程 (a-2)x=2 的解集 , BA, B=或 B. 当 B=时,关于 x 的方程 (a-2)x=2 无解 ,a-2=0. a=2.当 B时,关于 x 的方程 (a-2)x=2 的解 x=22aA, 22a=-2 或22a=-1 或22a=1 或22a=2. 解得 a=1 或 0 或 4 或 3,综上所得 ,a 的值共有5 个. 答案： D 【例 3】 2005 天津高考 ,文 1 集合 A=x|0

26、x3且 xN的真子集的个数是( ) A.16 B.8 C.7 D.4 分析 :A=x|0 x3且 xN=0,1,2, 则 A 的真子集有23-1=7 个. 答案： C 【例 4】已知集合A=x|1 x3,B=x|(x-1)(x-a)=0, 试判断集合B 是不是集合A 的子集？是否存在实数a 使 A=B 成立？解析 :先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性,可知此时应考虑a的取值是否为 1,要使集合 B 成为集合 A 的子集 ,集合 B 的元素在数轴上的对应点必须在集合A 对应的线段上 ,从而确定字母a 的分类标准 . 当 a=1 时,B=1, 所以 B 是 A 的子集 ;当

27、1a3时,B 也是 A 的子集 ;当 a3 时,B 不是 A的子集 .综上可知 ,当 1a3 时,B 是 A 的子集 . 由于集合 B 最多只有两个元素,而集合 A 有无数个元素,故不存在实数a,使 B=A. 点评：分类讨论思想 ,就是科学合理地划分类别,通过 “ 各个击破 ”,再求整体解决(即先化整为零,再聚零为整 )的策略思想 .类别的划分必须满足互斥、无漏、 最简的要求 ,探索划分的数量界限是分类讨论的关键. 思考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 / 9 (1)空集中没有元素,怎么还是集合? (2)符号 “

28、 ” 和“” 有什么区别 ? 剖析 :(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如 ,根据集合元素的性质,方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于x1=0,x2+4=0 等方程来说 ,它们的解集中没有元素 .也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念的背景 .由此看出 ,空集的概念是一个规定.又例如 ,不等式 |x|0 的解集也是不含任何元素,就称不等式 |x|0 的解集是空集 . (2)难点是经常把这两个符号混淆,其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围,并加以对比 .符号只能适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,其右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1Z,21Z;符号只能适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,表示集合与集合之间的关系,如11,0,x|x0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页