2022年高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答案 .pdf

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1、第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：1)元素的确定性如：世界上最高的山2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y 3)元素的无序性 : 如： a,b,c 和 a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 1） 列举法： a,b,c 2） 描述

2、法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x2= 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：BA有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 AB 或BA 2“相等”关系：A=B (5 5，且 55，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,

3、1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 :如果 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页如果AB, BC ,那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集

4、记作AB（读作A 交 B ） ，即 AB= x|xA，且 xB由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集 记作： AB（读作 A 并 B），即 AB =x|xA，或 xB)设 S 是一个集合， A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合， 叫做 S 中子集A 的补集 （或余集）记作ACS，即CSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2S A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页性质AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA ABABB

5、 (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A(CuA)=U A(CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合 a，b， c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x 0，则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A=12xx，B=x xa，若 AB，则a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6.

6、 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，A C= ，求 m 的值(1)已知 A= x -3x5,B=x xa ,若满足 A B,则实数 a 的取值范围是; (2)已知集合 = x x2+x-6=0,集合= y ay+1=0,若满足 B A,则实数 a 所能取的一切值为 . （3） 已知集合5|xaxA，xxB|2，且满足BA，求实数a的取值范围。二、函数的有关概念1函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集

7、合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应， 那么就称f：A B为从集合A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真

8、数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例2) 2值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合 C， 叫做函

9、数y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法A、描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页一般地，设A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B

10、 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(x

11、A) 称为f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性 (局部性质 ) （1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)， 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为y=f(x) 的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函

12、数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2D，且 x1)252(2aafB)23(f)252(2aafC)23(f)252(2aafD)23(f)252(2aaf3已知5)2(22xaxy在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（）A.2aB.2aC.6aD.6a4设( )f x是奇函数，且在(0,)内是增函数，又( 3)0f，则( )0 x f x的解集是（）A| 303xxx或B|303x xx或C|33x xx或D| 300

13、3xxx或5已知3( )4f xaxbx其中,a b为常数，若( 2)2f，则(2)f的值等于 ( ) A2B4C6D106函数33( )11f xxx,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是（）A(,( )af aB( ,()a faC( ,( )af aD(,()afa二、填空题1设( )f x是R上的奇函数，且当0,x时，3( )(1)f xxx，则当(,0)x时( )f x_。2若函数( )2f xa xb在0,x上为增函数 ,则实数,a b的取值范围是。3已知221)(xxxf，那么)41()4()31()3()21()2() 1(fffffff_ 。4若1( )2axf x

14、x在区间( 2,)上是增函数，则a的取值范围是。5函数4( )(3,6)2f xxx的值域为 _ 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页三、解答题1已知函数( )fx的定义域是),0(，且满足()( )( )f xyf xf y,1( )12f, 如果对于0 xy,都有( )( )f xfy, （1）求(1)f；（2）解不等式2)3()(xfxf。2当1 ,0 x时，求函数223)62()(axaxxf的最小值。3已知22( )444f xxaxaa在区间0,1内有一最大值5，求a的值 . 4已知函数223)(xa

15、xxf的最大值不大于61，又当1 11,( )4 28xfx时， 求a的值。（数学 1 必修）第一章（上）提高训练C 组 一、选择题1. D 01, 0, 0XX1.B 全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；仅跳远及格的人数为40 x人；仅铅球及格的人数为31x人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为4人 。4031450 xxx，25x。3. C 由ARA得，2()40,4,0,mmm而04m；4. D 选项 A：仅有一个子集，选项B：仅说明集合,A B无公共元素，选项 C：无真子集，选项D 的证明：(),ABASAAS即而，AS；同理BS， ABS；5. D （1）()()()UUU

16、UC AC BCABCU；（2）()()()UUUUC AC BCABC U；（3）证明：(),AABA即A而，A；同理B， AB；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页6. B 21:,44kM奇数；2:,44kN整数，整数的范围大于奇数的范围7B 0,1 ,1,0AB二、填空题1.| 19xx22|43,|211MyyxxxRy yx（）22|28,|199Ny yxxxRyyx（）2. 9, 4, 1 , 0 ,2, 3, 6,11110,5,2,1m或（10的约数）3. 11IN，1IC N4. 1 2 3

17、4， ， ，12AB，5. 2,2:4 (2 )Myxx，M代表直线4yx上，但是挖掉点(2,2)，UC M代表直线4yx外，但是包含点(2,2)；N代表直线4yx外，UC N代表直线4yx上，()()(2, 2)UUC MC N。三、解答题1.解：,xAxaba b则或，,Baba b,BC Mab2.解：| 123Bxxa，当20a时，2|4Cx ax，而CB则1234,20,2aaa即而这是矛盾的；当02a时，|04Cxx，而CB，则1234,22aaa1即即2；当2a时，2| 0Cxxa，而CB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

18、第 25 页，共 32 页则223,3aaa即 2； 132a3.解：由0SC A得0S，即1,3,0S，1,3A，32213320 xxxx，1x4.解：含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个；，含有10的子集有92个，9(123 . 10)228160。（数学 1 必修）第一章（中）提高训练C 组 一、选择题1. B ,1,SR TTS2. D 设2x，则20 x，而图象关于1x对称，得1( )(2)2f xfxx，所以1( )2f xx。3. D 1,01,0 xxyxx4. C 作出图象m的移动必须使图象到达最低点5. A 作出图象图象分三种：直线型，例如一次

19、函数的图象：向上弯曲型，例如二次函数2( )f xx的图象；向下弯曲型，例如二次函数2( )f xx的图象；6. C 作出图象也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集二、填空题1.2当2( )4,0af x时，其值域为 -4当2202( )0,24(2)16(2)0aaf xaaa时，则2. 4, 9021,3,49xx得2x即3. 12.naaan2221212()2 (. . .)(. . .)nnfxnxaaaxaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页当12.naaaxn时，( )f x取得最小值4. 21

20、yxx设3(1)(2)ya xx把1 3(,)2 4A代入得1a5. 3由100得2( )110,0,3f xxxx且得三、解答题1.解：令12,(0)xtt，则2221111,2222ttxyttt21(1)12yt，当1t时，max1,1yy所以2.解：222(1)223,(2)(2)30,(*)y xxxxyxyxy显然2y，而（ *）方程必有实数解，则2(2)4(2)(3)0yyy，10(2,3y3. 解：22()()4()31024,f axbaxbaxbxx2222(24 )431024,a xaba xbbxx22124104324aababb得13ab，或17ab52ab。4.

21、 解：显然50a，即5a，则50364(5)(5)0aa a得25160aa,44a. （数学 1 必修）第一章（下）综合训练B 组 一、选择题1. C 选项 A 中的2,x而2x有意义，非关于原点对称，选项B 中的1,x而1x有意义，非关于原点对称，选项D 中的函数仅为偶函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页2. C 对称轴8kx，则58k，或88k，得40k，或64k3. B 2,111yxxx,y是x的减函数，当1,2,02xyy4. A 对称轴1,14,3xaaa1.A （1）反例1( )f xx；（

22、2）不一定0a，开口向下也可；（3）画出图象可知，递增区间有1,0和1,；（ 4）对应法则不同6. B 刚刚开始时，离学校最远，取最大值，先跑步，图象下降得快！二、填空题111(,0,22画出图象2. 21xx设0 x，则0 x，2()1fxxx，()( )fxf x2( )1f xxx,2( )1f xxx3. 2( )1xf xx()( )fxf x( 0)(0),(0)0,0,01afffa即211( ),( 1)(1),0122xfxffbxbxbb4. 15( )f x在区间3,6上也为递增函数，即(6)8,(3)1ff2 ( 6)( 3)2(6)(3)15ffff5. (1, 2

23、)2320,12kkk三、解答题1解：（ 1）定义域为1,00,1，则22xx，21( ),xf xx()( )fxf x21( )xf xx为奇函数。（2）()( )fxf x且()( )fxf x( )f x既是奇函数又是偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页2证明： (1)设12xx，则120 xx，而()( )( )f abf af b11221222()()()()()f xf xxxf xxf xf x函数( )yfx是R上的减函数 ; (2) 由()( )( )f abf af b得()( )(

24、)f xxf xfx即( )()(0)f xfxf，而(0)0f()( )fxfx，即函数( )yf x是奇函数。3解：( )f x是偶函数 , ( )g x是奇函数，()( )fxfx，且()( )gxg x而1( )( )1f xg xx,得1()()1fxgxx, 即11( )( )11f xg xxx，21( )1fxx，2( )1xg xx。4解：（ 1）当0a时，2( )| 1f xxx为偶函数，当0a时，2( )| 1f xxxa为非奇非偶函数；（2）当xa时，2213( )1(),24f xxxaxa当12a时，min13( )()24f xfa，当12a时，min( )f x

25、不存在；当xa时，2213( )1(),24f xxxaxa当12a时，2min( )( )1f xf aa，当12a时，min13( )()24f xfa。（数学 1 必修）第一章（下）提高训练C 组 一、选择题1. D ( )fxxaxaxaxaf x，画出( )h x的图象可观察到它关于原点对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页或当0 x时，0 x，则22()()( );hxxxxxh x当0 x时，0 x，则22()()( );hxxxxxh x()( )hxh x2. C 225332(1)222aaa

26、，2335()( )(2)222fff aa3. B 对称轴2,24,2xaaa4. D 由( )0 x f x得0( )0 xf x或0( )0 xf x而( 3)0,(3)0ff即0( )( 3)xf xf或0( )(3)xf xf5. D 令3( )( )4F xf xaxbx，则3( )F xaxbx为奇函数( 2)( 2)46,(2)(2)46,(2)10FfFff6. B 3333()1111( )fxxxxxf x为偶函数( ,( )a f a一定在图象上，而( )()f afa，( ,()a fa一定在图象上二、填空题13(1)xx设0 x，则0 x，33()(1)(1)fxx

27、xxx()( )fxf x3( )(1)f xxx2. 0a且0b画出图象，考虑开口向上向下和左右平移3. 72221)(xxxf，2111(),( )()11ff xfxxx1111(1),(2)( )1,(3)( )1,(4)( )12234fffffff4. 1(,)2设122,xx则12()()f xf x，而12()()f xf x121221121212121122()(21)022(2)(2)(2)(2)axaxaxxaxxxxaxxxxxx，则210a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页5. 1,

28、4区间3,6是函数4( )2f xx的递减区间，把3,6分别代入得最大、小值三、解答题1 解：（ 1）令1xy，则(1)(1)(1),(1)0ffff（2）1()(3)2 ()2fxfxf11()( )(3)( )0(1)22fxffxff3()()(1)22xxfff，3()(1)22xxff则0230, 1023122xxxxx。2 解：对称轴31,xa当310a，即13a时，0,1是( )f x的递增区间，2min( )(0)3f xfa；当311a，即23a时，0,1是( )f x的递减区间，2min( )(1)363f xfaa；当0311a，即1233a时，2min( )(31)6

29、61f xfaaa。3解：对称轴2ax，当0,2a即0a时，0,1是( )f x的递减区间，则2max( )(0)45f xfaa，得1a或5a，而0a，即5a；当1,2a即2a时，0,1是( )f x的递增区间，则2max( )(1)45f xfa，得1a或1a，而2a，即a不存在；当01,2a即02a时，则max5( )()45,24af xfaa，即54a；5a或54。4解：2223111( )(),( ),1123666af xxaf xaa得，对称轴3ax，当314a时，1 1,4 2是( )f x的递减区间，而1( )8f x，即min131( )(),12288af xfa与314a矛盾，即不存在；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页当314a时，对称轴3ax，而11433a，且111342328即min131( )(),12288af xfa，而314a，即1a1a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页