2022年高一辅导分段函数与单调性打印版 .pdf

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1、1 1.在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫分段函数. 2.分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集学点一分段函数图象已知函数20( )1000 xxf xxx（1）画出函数的图象； （ 2）求 f(1),f(-3),f f(-3),ff f(-3) 的值 . 【分析】给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式. （1）函数f(x) 在不同区间上的关系都是常见的基本初等函数关系，因而可利用常见函数的图象作图 . （2）根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值. 方法思想 分类讨论思想在分段函数中的应用(2014 高考

2、浙江卷 )设函数f(x)x22x2，x0，x2，x0.若 f(f(a)2，则 a_解析 若 a0，则 f(a) a20，f(f(a) (a22a2)22，此方程无解答案 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 若 本 例 中 的 “ f(f(a) 2” 变 为“f(f(a)2”，其他条件不变，求实数a 的取值范围解： 由题意得f（ a）0，f2（ a） 2，解得 f(a) 2.由a0，a22a 2 2或a0，a22，解得 a2.名师点评 (1)解答本题利用了分类讨论思想，分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解

3、(或分割 )成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略因 f(x)为分段函数，由于f(a)和 a 正负不确定，应分情况讨论(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求(3)(2015榆林模拟 )已知 f(x)12x1，x0，（ x1）2，x0，使 f(x) 1 成立的 x 的取值范围是_(3)由题意知x0，12x11或x0，（ x1）21，解得 4x0 或 00，则不等式f(x)f( 1)的解集是 () A(3， 1)(3， ) B(3， 1)(2， ) C(3， ) D(， 3)(1，3) 解析： 选 A.f(1) 3，f(x)

4、3，当 x0 时，x2 4x60 时，x63，解得 x(3， )，故不等式的解集为(3， 1)(3， )，故选 A.7若函数f(x)在闭区间 1， 2上的图象如图所示，则此函数的解析式为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 解析： 由题图可知，当1x0 时， f(x)x 1；当 0 x2 时， f(x)12x，所以 f(x)x1， 1x012x，0 x2.答案： f(x)x1， 1x012x，0 x23定义新运算“”：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2.设函数 f(x)(1x)x(2x)， x2， 2，

5、则函数f(x)的值域为 _解析： 由题意知f(x)x2， x2，1，x32，x（ 1，2，当 x2，1时， f(x)4， 1；当 x (1，2时， f(x)(1，6故当 x2，2时， f(x)4， 6答案： 4，6 学点三分段函数的解析式如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2,BC=1, BAD=45 ,直线 MN AD 交 AD于 M,交折线 ABCD 于 N,记 AM=x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为 x的函数 ,并写出函数的定义域和值域. 【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意 ,此题应对N 分别在AB，BC，CD三段上分三种情况写出函数的

6、解析式. 如图所示 ,在边长为 4的正方形 ABCD 的边上有一点P,沿着折线 BCDA 由点 B(起点 )向点 A( 终精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 点)运动 .设点 P 运动的路程为x,ABP 的面积为 y. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)画出 y=f(x) 的图象 . 1.怎样正确地理解分段函数？对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数，称为分段函数， 不能认为它是几个函数， 它只是一个函数的表达式，只是在表达形式上同以前学过的函数不同，在表示时，用“ ”表示出各段解析式

7、关系. 2.如何加强对分段函数的认识？首先对分段函数的定义要理解并掌握，其次从简单的分段函数入手多认识、多识记. 教材中通过例题的形式给出了“分段函数”的概念，从而说明：对于一个函数来说，对应法则可以由一个解析式来表示，也可以由几个解析式来表示；用图象表示时， 既可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、几条曲线等. 映射函数映射两集合A、B 设 A，B 是两个非空的数集设 A，B 是两个非空的集合对应关系f：AB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，

8、在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称 f：AB 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应 f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射记法yf(x)(xA)对应 f：AB 是一个映射(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A到 B的一个映射， A、B 若不是数集，则这个映射便不是函数(2015 长春模拟 )下列对应关系：A 1 ，4， 9，B3， 2， 1，1， 2，3， f：xx 的平方根；A R，BR，f：x x 的倒数；A R，BR，f：x x2 2；A 1，0，1，B 1，0，1，f：A 中的数平方其中是 A 到 B 的映射的是 () AB

9、CD答案： C 1已知 a， b 为两个不相等的实数，集合M a24a， 1 ，Nb2 4b1， 2，f：xx 表示把 M 中的元素x 映射到集合N 中仍为 x，则 ab 等于 () A1 B2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 C3 D4 解析： 选 D.由已知可得MN，故a24a 2b24b 1 1?a24a20，b24b20，所以 a，b 是方程 x24x2 0的两根，故ab4.例5 ： 已 知 ： 集 合 , , Ma b c， 1,0,1 N， 映 射:fMN满 足( )( )( )0f af bf

10、c，那么映射:fMN的个数是多少？思路提示：满足( )( )( )0f af bf c，则只可能00001( 1)0，即( )f a、( )f b、( )f c中可以全部为0，或0,1, 1各取一个解：( ),( ),( )f aNf bNf cN，且( )( )( )0f af bf c有00001( 1)0当( )( )( )0f af bf c时，只有一个映射；当( )( )( )f af bf c、中恰有一个为0，而另两个分别为1，1时，有326个映射因此所求的映射的个数为1 67 评注：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想例 9集合3, 4A，5, 6,7B，那么可建立从A到B的映射

11、个数是 _，从B到A的映射个数是 _答案：9,8提示：从A到B可分两步进行： 第一步A中的元素3可有 3 种对应方法（可对应5 或 6或 7） ，第二步A中的元素4也有这 3 种对应方法 则不同的映射种数1339N 反之从B到A，道理相同，有22228N种不同映射例 10 如果函数3( )()f xxa对任意xR都有(1)(1)fxfx， 试求(2)( 2)ff的值解：对任意xR，总有(1)(1)fxfx，当0 x时应有(10)(1 0)ff，即(1)(1)ff(1)0f又3( )()f xxa，3(1)(1)fa故有3(1)0a（，则1a3( )(1)f xx33(2)( 2)(21)( 2

12、1)26ff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 函数相等问题2下面各组函数中为相同函数的是() Af(x)（x1）2，g(x)x1 Bf(x)x21，g(x)x 1x1 Cf(x)ln ex与 g(x)eln xDf(x)x0与 g(x)1x0解析： 选 D.函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)|x1|与 g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项 B、C 中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选 D.1.有以下判断：f(x)|x|x与 g(x)1，（ x0） 1，（ x0）表示同一函数；函数

13、yf(x)的图象与直线x1 的交点最多有1 个；f(x)x2 2x1 与 g(t)t22t1 是同一函数；若 f(x)|x1|x|，则 ff120. 其中正确判断的序号是_解析： 对于 ，由于函数f(x) |x|x的定义域为x|x R 且x 0 ，而函数g(x) 1，（ x0）1，（ x0）的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若 x 1 不是 yf(x)定义域内的值， 则直线 x1 与 yf(x)的图象没有交点，若 x1 是 yf(x)定义域内的值， 由函数的定义可知， 直线 x1 与 yf(x)的图象只有一个交点，即 yf(x)的图象与直线x1 最多有一个交点；对于 ，f(x)与 g(

14、t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与 g(t)表示同一函数；对于 ，由于 f12121 120，ff12f(0)1.综上可知，正确的判断是， .答案： 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：yxx；f2：y 1. (2)f1：y1，x1，2，1x2，3，x2；f2：(3)f1：y2x； f2：如图所示解(1)不同函数 f1(x)的定义域为 xR|x0， f2(x)的定义域为R.(2)同一函数， x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们

15、是同一函数的不同表示方式(3)同一函数理由同(2)规律方法 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外， 函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1， h(m)2m1 均表示同一函数x x11x2x2y 123 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 函数单调性问题(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值

16、x1，x2当 x1x2时， 都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D上是增函数当 x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 y1x的单调递减区间是(， 0) (0， )() (2)对于函数f(x)，xD，若 x1，x2D，且 (x1x2) f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在 D 上是增函数 () (3)函数 y|x|是 R 上的增函数() (4)函数 yf(x)在 1， )上是增函数，则函数的单调递增区间是1， )() (5)函数

17、f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0， )() (6)函数 y1 x21 x2的最大值为1.() 1(2014 北京 )下列函数中，在区间(0， )上为增函数的是() Ayx 1 By(x1)2Cy2xD ylog0.5(x 1) 答案A 解析A 项，函数yx1在1， )上为增函数，所以函数在(0， )上为增函数，故正确； B 项，函数y(x 1)2在(，1)上为减函数，在1， )上为增函数，故错误；C 项，函数 y2x(12)x在 R 上为减函数， 故错误； D 项，函数 ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误4已知函数f(x) x22ax3 在区间 1,2上具有单调性，

18、则实数a 的取值范围为_答案(， 12， ) 解析函数 f(x)x22ax3 的图象开口向上，对称轴为直线xa，画精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a， )上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间 1,2上具有单调性，只需a1 或 a2，从而 a(，12， ). 题型一函数单调性的判断例 1(1)判断函数f(x)axx21(a0)在 x (1,1)上的单调性(2)求函数 yx2x6的单调区间解(1)设 1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211ax2x221ax

19、1x22ax1 ax2x21ax2x211 x221a x2x1x1x21x211 x221. 1x1x20，x1x210， (x211)(x221)0. 又a0， f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在(1,1)上为减函数(2)令 ux2x6，yx2x6可以看作有yu与 ux2x6 的复合函数由 ux2x60，得 x3 或 x2. ux2x6 在(， 3上是减函数，在2， )上是增函数，而yu在0， )上是增函数yx2x6的单调减区间为(， 3，单调增区间为2， )思维升华(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性方法：利用定义 (基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号

20、、下结论)求解；还可以利用图象灵活解决部分客观题目(2)复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增， 异则减 ”，即 yf(u)与 ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数(1)判断函数f(x)xax(a0)在(0， )上的单调性解(1)设 x1，x2是任意两个正数，且0 x1x2，则 f(x1)f(x2) x1ax1 x2ax2x1x2x1x2(x1x2a)当 0 x1x2a时， 0 x1x2a，又 x1x20，即 f(x1)f(x2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9

21、页，共 16 页1 0所以函数f(x)在(0，a上是减函数；当ax1a，又 x1 x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0)在(0，a上是减函数，在a， )上为增函数题型二利用单调性求参数范围例 2(1)如果函数f(x)ax22x3 在区间 (， 4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是() Aa14Ba14C14a0 D14a0 (2)已知 f(x)2 a x1，x0 成立，那么a 的取值范围是 _答案(1)D(2)32， 2) 解析(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在 (，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数f(x)的对称轴为x1a，因为

22、 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得14a0，a1，2a 11a，解得32a1 ，4a2x 2 x1是 R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 () A(1， ) B4,8) C(4,8) D (1,8) 答案(1)D(2)B 解析(1)由 f(x) x22ax 在 1,2上是减函数可得1,2? a， )，a1. y1x1在(1， )上为减函数，由 g(x)ax 1在1,2上是减函数可得a0，故 01，4a20，a 4a22.解得 4a1 时， f(x)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0. (2)证明任取 x1，x2(0， )，且 x1x2，则x1

23、x21，由于当 x1 时， f(x)0，所以 fx1x20，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)0 时，恒有f(x)1. (1)求证： f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式f(a2a5)2. 思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义 应该构造出f(x2)f(x1)并与 0 比较大小 (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性 “去掉 ”是本题的切入点要构造出 f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设 x1， x2 R，且 x10，当 x0 时， f(x)1，f(x2x1)1.2 分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1) 1，4

24、分 f(x2) f(x1)f(x2x1)10? f(x1)f(x2)，f(x)在 R 上为增函数 6 分(2)解m，nR，不妨设 mn1，f(11)f(1)f(1) 1? f(2)2f(1)1，8 分 f(3)4? f(21)4? f(2)f(1)14? 3f(1)24，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页1 3f(1)2，f(a2a5)2f(1)，11 分f(x)在 R 上为增函数， a2a51? 3a2，即 a(3,2)14 分解函数不等式问题的一般步骤：第一步： (定性 )确定函数f(x)在给定区间上的单调性

25、；第二步： (转化 )将函数不等式转化为f(M)0 时， f(x)1，构造不出 f(x2)f(x1)f(x2x1)1 的形式， 便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为 f(M)0，4 a34a3，得 0f(1)的实数 x 的取值范围是 () A(， 1) B(1， ) C(， 0)(0,1) D (， 0)(1， ) 答案D 解析依题意得1x0，所以 x 的取值范围是x1 或 xf(a3)， 则实数 a的取值范围为_答案(3， 1)(3， ) 解析由已知可得a2a0，a30，a2aa3，解得 3a3.所以实数a 的取值范围为(3，1)(3， )8设函数f(x)ax1x2a在区间 (2

26、， )上是增函数，那么a 的取值范围是_答案1， ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页1 5解析f(x)ax2a22a21x2aa2a21x2a，函数 f(x)在区间 ( 2， )上是增函数2a2 102a2?2a210a1? a1. 9已知函数f(x)1a1x(a0，x0)，(1)求证： f(x)在(0， )上是增函数；(2)若 f(x)在12，2上的值域是 12，2，求 a 的值(1)证明设 x2x10，则 x2x10，x1x20，f(x2) f(x1)(1a1x2)(1a1x1) 1x11x2x2x1x1

27、x20，f(x2)f(x1)，f(x)在(0， )上是增函数(2)解f(x)在12，2上的值域是 12，2，又 f(x)在12， 2上单调递增，f(12)12，f(2)2. 易得 a25. B 组专项能力提升(时间： 25 分钟 ) 11已知函数f(x)a3 x5，x1，2ax， x1是(， )上的减函数，那么a 的取值范围是 () A(0,3) B(0,3 C(0,2) D (0,2 答案D 解析由题意得a30，a352a，解得 00 恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当 a12时， f(x)x12x 2，设 1x1x2，则 f(x2) f(x1)(x2x1)(112x1x2)，1x10,2x1x22，012x1x20，f(x2) f(x1)0，f(x1)0 恒成立? x22xa0 恒成立设 yx22xa，x1， )，则函数 yx22xa(x1)2a1 在区间 1， )上是增函数所以当x1 时， y 取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0 时，函数f(x)0 恒成立，故 a3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页