2022年高中不等式集 .pdf

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1、精品资料欢迎下载必修五第三章不等式命题人：李发第一节不等关系与不等式与等量关系一样，不等量关系也是自然界中普遍存在着的一种基本的数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也有重要作用.那么，怎样来描述这种不等关系呢？在数学中，用不等式来表示这种不等关系. 一、不等式不等式的定义：用不等号、 、 、 、等表示不等关系的式子叫做不等式,而用、号连接的不等式叫做严格不等式；用、号连接的不等式叫做非严格不等式. 两个不等式的关系：( )0f x与( )0g x或( )0f x与( )0g x叫做同向不等式；( )0f x与( )0g x或( )0g x与( )0fx叫做异向不

2、等式；同解不等式：解集相等的几个不等式叫做同解不等式. 证明不等式：证明不等式成立的过程叫做证明不等式. 二、不等式的基本性质：（对称性） ：abba（传递性） ：,ab bcac;,ab bcac（可加性）：不等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.abacbc；【同向可加性：,ab c da c b d；异向可减性：,ab c da cb d； 】（可积性） ：,0ab cacbc；,0ab cacbc；【同向且同正的不等式可以相乘，但不能相除：若0,0abcd，则acbd； 】【异向同正不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则abcd； 】（乘方法则）

3、：0(,1)nnababnNn且同正不等式（开方法则） ：0(,1)nnabab nNn且同正不等式（同向正数可乘性） ：,0ab cacbc； （异向正数可除性）0,0ababcdcd （倒数法则） ：11110;0abababab【若0,abab， 则11ab； 若0,abab， 则11ab】例题讲解、1、 对于实数cba,中， 给出下列命题： 若ab， 则22acbc； 若22ac bc， 则ab； 若0a b， 则22aab b；若0ab， 则11ab； 若0a b， 则baab； 若0a b， 则ab； 若0ca b， 则abcacb；若11,abab，则0,0ab.其中正确的命题是

4、（答：） ；2、已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是（答：137xy） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页精品资料欢迎下载3、已知cba，且,0cba则ac的取值范围是（答：12,2）三、不等式大小比较的常用方法：有比较才有鉴别.客观事物的不等关系最终都必须在两个实数的不等关系上.怎样描述两个实数的不等关系呢？在数学中，描述两个实数的不等关系，其形式为abab、，其解主要采用的方法是比较法. 所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）来确定a与b的大小关系的方法.常见的方法有作差法和作商法.

5、 1、作差法：0abab；0abab；0abab； （作差变形（分解因式、配方判号定论）2、作商法：1;aabb1;aabb1;aabb（作商变形与 1 比较定论）用于分数指数幂的代数式3、分析法：4、平方法：5、分子（或分母）有理化：6、利用函数的单调性：7、寻找中间量或放缩法：8、图象法：例题讲解：1、设0, 10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小答：当1a时，11loglog22aatt（1t时取等号）；当01a时，11loglog22aatt（1t时取等号）；2、设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（答：pq） ；精选学习资料 - - - - - -

6、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页精品资料欢迎下载3、比较 1+3logx与) 10(2log2xxx且的大小答：当01x或43x时， 1+3logx2log2x；当413x时，1 log3 2log2xx；当43x时， 1+3logx2log2x第二节几种重要的不等式一、基本定理定理 1：如果,a bR，那么222abab（当且仅当ab时取号） . 定理2（基本不等式） ：如果00ab，那么2abab.（当且仅当ab时取到等号）.基本不等式给出了两个正数的和与积之间的不等关系，具有将“和式”化为“积式以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，主要用于证明

7、不等式.创造使用基本不等式的条件的手段一般为：通过分离变量、拆项、配凑因式等，使和或积为定值，等号能够成立.【变形公式：2a bab，2.2a bab表述为两个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均.】用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意使用的三个条件“一正、二定、三相等, 和定积最大，积定和最小”. 定理 3（三个正数的算术几何平均不等式）：如果00,0abc，那么33abcabc（当且仅当abc时取到等号） .表述为三个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均. 例题讲解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

8、 - -第 3 页，共 22 页精品资料欢迎下载1、下列命题中正确的是A 、1yxx的最小值是2 B、2232xyx的最小值是2 C、42 3(0)yxxx的最大值是24 3D、42 3(0)yxxx的最小值是24 3（答： C） ；2、若21xy，则24xy的最小值是（答：22） ；3、正数, x y满足21xy，则yx11的最小值为（答：32 2） ；二、几个著名不等式平均不等式：文字语言：调和平均几何平均算术平均平方平均 . 符号语言：2211222abababab，,a bR（，当且仅当ab时取号） . 常用不等式有：abcR、 、，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）

9、 ；若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）. 222;22ababab222().2a bab例题：如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是（答： 9,）幂平均不等式：222212121.(.) .nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).xy xyR二维形式的柯西不等式：22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立. 三维形式的柯西不等式：22222221231231 1223 3()()() .aaabbba ba ba b一般形式的柯西不等式：22

10、2222212121 12 2(.)(.) (.) .nnn naaabbbaba bab当且仅当0(1,2,)ibin，或存在实数k，使(1,2,)iiakb in时，等号成立 . 向量形式的柯西不等式：设,u r u r是两个向量，则,u r u ru r u r当且仅当u r是零向量，或存在实数k，使ku ru r时，等号成立. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页精品资料欢迎下载排序不等式（排序原理）：设1212.,.nnaaabbb为两组实数 .12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则121

11、11 122.nnnnna ba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b（反序和乱序和顺序和），当且仅当12.naaa或12.nbbb时，反序和等于顺序和. 琴生不等式 : （特例 :凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数( )f x,对于定义域中任意两点1212,()x xxx，有1212()()()22xxf xf xf或1212()()()22xxf xf xf则称( )f x为凸（或凹）函数. 贝努力不等式：如果x是实数，且1,0,xxn为大于 1 的自然数，那么有(1)1nxnx三、证明不等式的几种常用方法比较法（作差，作商法）综合法：一般地，从已知条件出发，利

12、用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法或顺推法或由因导果法. 分析法 :证明命题时我们通常要从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到所需要的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法或执果索因法. 放缩法：舍去或加上一些项，如22131()() ;242aa211111111(1)(1)1nnn nnn nnn；将分子或分母放大（缩小），如*221111221212,(,1)(1)(1)211k N kkkkkkkkkkkkkkkk11111121kkkkkkkkk；等.换元法：问题中含有222

13、222xyRxyR，时，设cos ,sinxRyR反证法：即先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，进行正确的推理，得出和命题的条件相矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立. 构造法函数单调性法数学归纳法：第一步，证明当0nn时命题成立；第二步，假设当0(,)nk kNkn时命题成立，证明1nk时命题成立 . 例题讲解：已知cba，求证：222222cabcabaccbba；已知abcR、 、，求证：)(222222cbaabcaccbba；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页精品资料欢迎下载已

14、知, , ,a b x yR，且11,xyab，求证：xyxayb；若abc、 、是不全相等的正数，求证：lglglglglglg222abbccaabc；已知abcR、 、，求证：2222a bb c22()c aabc abc；若*nN，求证：2(1)1(1)nn21nn；已知| |ab，求证：|abababab；求证：2221111223nL；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页精品资料欢迎下载第三节一元一次不等式与一元二次不等式在初中，我们学习过解一元一次不等式.例如，解不等式210.x解这个不等式，12x，

15、12x是说满足210 x的x都大于12，写成集合的形式就是12x x，我们称这个集合是不等式210 x的解集 . 一、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式. 二、不等式的分类：绝对不等式：32或32；矛盾不等式：23；条件不等式：2210230 xxx、（一元一次不等式、一元二次不等式）; 三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）

16、去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 3、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 4、一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页精品资料欢迎下载5、解不等式组 :求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.【当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.】6、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2

17、）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. 四、一元二次不等式1、一元二次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数是2，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2、解一元二次不等式，最好的办法就是把方程、函数和不等式三者融为一体，借助方程的根以及函数的图象写出不等式的解集.其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的纽带. 一元二次不等式02cbxax和)0(02acbxax及其解法判别式000二次函数的图象2(0)yaxbxc a)(212xxxxacbxaxy)(212xxxxacbxaxycbxaxy2一元二次方程20(

18、0)axbxca有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221没有实根20(0)axbxca21xxxxx或abxx2R20(0)axbxca21xxxx注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间3、解一元二次不等式的关键（ 1）明确20(0)axbxca或20(0)axbxca在判别式0时的解集的结构是关键.在未确定二次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页精品资料欢迎下载项系数a的取值情况下，应该先分0a和0a两种情况进行讨论（

19、2）若给出了一元二次不等式的解集，则可以知道二次项系数a的符号和方程20axbxc的两个根，再由根与系数的关系就知道了abc、 、之间的关系 . （3）解含有字母参数的一元二次不等式，要注意对字母的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；如果判别式大于0，但两根的大小确定时，对两根的大小进行讨论. 4、一元二次不等式的恒成立,能成立 ,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）、在实数集R上，20(0)axbxc恒成立，则0

20、(0)a，且0，反之也成立；不等式20axbx c的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbx c的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立min( );f xa( )f xa恒成立min( ).f xa、在实数集R上，20(0)axbxc恒成立，则0(0)a，且0，反之也成立；、一元二次不等式在某一区间D上恒成立，通过相应二次函数的图象判断函数图象在这个区间上与x轴的相对位置，列出不等式恒成立时满足的条件即可.

21、 恒成立问题若不等式( )f xA在区间D上恒成立 ,则等价于在区间D上minfxA若不等式( )f xB在区间D上恒成立 ,则等价于在区间D上maxfxB例题讲解：1、设实数, x y满足22(1)1xy，当0 xyc时，c的取值范围是（答：21,） ；2、不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围（答：1a） ；3、若不等式) 1(122xmx对满足2m的所有m都成立， 则x的取值范围（答： （712,312） ） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页精品资料欢迎下载4、若不等式nann1) 1(2

22、) 1(对于任意正整数n恒成立， 则实数a的取值范围是（答：3 2,)2） ；5、若不等式22210 xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围 .（答：12m）能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立 ,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立 ,则等价于在区间D上的minfxB. 例题： 已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围（答：1a）恰成立问题若不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D. 第四节不等式的解法1、一元二次

23、不等式的解法【规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.】求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数；二判：判断对应方程的根；三求：求对应方程的根；四画：画出对应函数的图象；五解集：根据图象写出不等式的解集. 2、高次不等式的解法： 【数轴穿根法：分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶不穿），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.】例题：不等式03)4)(23(22xxxx的解为（）A、 11x或2xB、3x或12xC、4x或31x或2xD、4x或3x或12x1、解不等式2(1)(2)0 xx（答：|1x x或2

24、x） ；2、不等式2(2)230 xxx的解集是（答：|3x x或1x） ；3、设函数( )f x、( )g x的定义域都是R，且( )0f x的解集为|12xx，( )0g x的解集为，则不等式( )( )0f xg xg的解集为（答：(,1)2,)U） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页精品资料欢迎下载4、 要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空） 的每一个x的值至少满足不等式2430 xx和2680 xx中的一个，则实数a的取值范围是 . （答：817,)8）3、分式不等式的解法：先移项通分标准化

25、，然后转化成整式不等式. ( )0( )( )0( )f xf xg xg x；( )( )0( )0( )0( )f xg xf xg xg x规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 例题 1、解不等式25123xxx（答：( 1,1)(2,3)U） ；例题 2、关于x的不等式0bax的解集为),1 (，则关于x的不等式02xbax的解集为（答：),2()1,(）. 4、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2( )0( )(0)( )fxf xa afxa2( )0( )(0)( )f xfxa af xa2()0()0()()()0()0()()fxfxfxgxgxgxfxgx或2

26、( )0( )( )( )0( )( )f xfxg xg xf xg x()0( )( )()0()( )fxfxg xg xfxg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页精品资料欢迎下载5、指数不等式的解法：当1a时,( )( )( )( )f xg xaaf xg x当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.()(0,0)( ) lglgfxab abf xab6、对数不等式的解法当1

27、a时, ( )0log( )log( )( )0( )( )aafxf xg xg xfxg x当01a时,( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化. 7、含绝对值不等式的解法：基本解法与思想：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法.【 规律：关键是去掉绝对值的符号.】定义法（零点分段法）：(0).(0)aaaaa平方法（不等式两边都是非负时，两边同时平方）：22( )( )( )( ).f xg xfxgx公式法：、

28、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；21xx是指数轴上1x，2x两点间的距离. 、常见类型：(0);xaaxa a(0);xaa(0);xaxaxa a或(0);xaR a当0c时，|axbcaxbc或axbc；|axbccaxbc；当0c时，|axbcxR，|axbcx( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( )( )0)f xg xfxg xf xg xg x或例题 1、解不等式|1|3xx（答：(, 1)(2,)U）例题 2、若不等式|32| | 2|xxa对xR恒成立，则实数a的取值范围为（答：43）

29、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页精品资料欢迎下载含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0| |abab| |abab；ab、异号或有0| |abab| |abab . 例题 3、设2( )13fxxx，实数a满足| 1xa，求证：|( )( )|2(| 1)f xf aa8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：【 零点分段法规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.】例题 1：解不等式125xx分析 :由10 x，20 x， 得1x和2x.2和1把实数集合分成三个区间，即，2

30、, 21,1xxx，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论. 解:当2x时，得2(1)(2)5xxx，解得：32x当21x时，得21,(1)(2)5xxx，解得：21x当1x时，得1,(1)(2)5.xxx解得：12x综上，原不等式的解集为32xx说明 :(1) 原不等式的解集应为各种情况的并集;(2) 这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值. 例题 2、对任何实数x，若不等式12xxk恒成立，则实数k的取值范围为( ) (A) 3k(B) 3k(C) 3k(D) 3k分析 :设12yxx，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是minky，于是题转

31、化为求y的最小值 . 解:1x、2x的几何意义分别为数轴上点x到-1 和 2 的距离1x-2x的几何意义为数轴上点x到1与2的距离之差，如图可得其最小值为3，故选（ B）. 变式训练：02-1x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页精品资料欢迎下载1、解关于x的不等式23810 xx解：原不等式等价于2103810 xx，即2238103810 xxxx1263xxx或 原不等式的解集为( 6, 2)( 1,3)U2、解关于x的不等式1223x解：原不等式等价于2301232xx325744xx3、解关于x的不等式2

32、12xx解：原不等式可化为22(21)(2)xx则22(21)(2)0 xx即(3)(31)0 xx解得：133x 原不等式的解集为1(,3)34、解关于x的不等式2121()xmmR解：当210m时，即12m，因210 x，故原不等式的解集是空集。 当210m时，即12m，原不等式等价于(21)2121mxm.解得：1mxm综上，当12m时，原不等式解集为空集;当12m时，不等式解集为1xmxm5、解关于x的不等式2131xxx解：当3x时，得3(21)(3) 1xxxx，无解当132x，得132(21)31xxxx，解得：3142x当12x时，得122131xxxx，解得：12x综上所述，

33、原不等式的解集为3 1(, )4 29、含参数的不等式的解法:解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页精品资料欢迎下载讨论的标准有：讨论a与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小.求解的方法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 例题 1：若2log13a，则a的取值范围是（答：1a或203a） ；例题 2：解

34、不等式2()1axx aRax（答：0a时，|x0 x；0a时，1|x xa或0 x；0a时，1|0 xxa或0 x）提醒： （1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值. 如关于x的不等式0bax的解集为)1 ,(，则不等式02baxx的解集为（答：（12 ） ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页精品资料欢迎下载第五节线性规划问题在现实生产、生活和科学研究中，各式各样的系统工程举不胜举.在工程的实施过程中，经常会遇到资源的使

35、用、人力的调配、施工的安排等问题，归纳起来，这些问题绝大部分都是线性规划问题.解决这些问题需要哪些必备的常识呢？一、用二元一次不等式（组）表示平面区域：1、 二元一次不等式0CByAx在平面直角坐标系中表示直线0CByAx某一侧所有点组成的平面区域 .（虚线表示区域不包括边界直线）. 进一步验证结论的正确性：（我们知道二元一次方程可以和一次函数进行相互转化，即二元一次方程在平面直角坐标中表示一条直线）如图，在直线20 xy上方任取一点( ,)P x y，过P作平行于y轴的直线交直线20 xy于点( ,2)A xx，点P在直线上方点P在点A上方2yx，即20 xy，点P为直线20 xy上方的任意

36、一点，对于直线20 xy上方任意点( ,)P x y，都有2yx，即20 xy；同理，对于直线20 xy左下方任意点( ,)x y，都有2yx，即20 xy又平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方满足不等式20 xy的点在直线的上方，我们称不等式20 xy表示的是直线20 xy上方的平面区域；同样，不等式20 xy表示的是直线20 xy下方的平面区域20 xy22xyO( , )P x y?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页精品资料欢迎下载得出结论：一般地，直线ykxb把平面分成两个区域（如图）：ykxb

37、表示直线上方的平面区域；ykxb表示直线下方的平面区域说明：（1）ykxb表示直线及直线上方的平面区域；ykxb表示直线及直线下方的平面区域（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线2、二元一次不等式所表示的平面区域的判断：【方法一：取点定域法】由于直线0AxByC的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同 .所以，在实际判断时， 往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy（如原点），由00AxByC的正负即可判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. 【方法二：结论法】根据0AxByC(或0)，观察B的符号与不等式

38、开口的符号，若同号，0AxByC(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方. 3、画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤：【即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.】“直线定界” ，即画出边界直线0AxByC，注意根据不等式是否取到等号确定直线是实线还是虚线；“特殊点定域” ，即取特殊点00(,)xy，由00AxByC的正负即可判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域. 4、 二元一次不等式所表示的平面区域的规律：一般地，若0AxByC， 则0B表示直线0AxByC上方的区域；0B表示直线0AxByC下方的区域【同号在上，异号在下】；若0

39、AxByC，则0B表示直线0AxByC下方的区域；0B表示直线0AxByC上方的区域；【同号在下，异号在上】；例题 1、画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21yx； （2）20 xy解： （1） （2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例 2、将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y轴） ：xyO下半平面ykx b上半平面ykx bykxb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页精品资料欢迎下载解： （1）0 x；（ 2）6522xy；（3）yx情境：我们已经知道了二元一次

40、不等式的几何意义那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)xyxy的几何意义又如何呢？根 据 前 面 的 讨 论 ， 不 等 式 表 示 直 线104yx及 其 下 方 的 平 面 区 域 ； 不 等 式 表 示 直 线43200 xy及其下方的平面区域因此，同时满足这两个不等式的点( , )x y的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图所示）如果再加上约束条件0,0 xy，那么，它们的公共区域为图中的阴影部分例 3、画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）2124yxxy（ 2）004380 xyxy解： （1）不等式21yx表示直线21yx及其下方的平面区域；不等式24xy表示

41、直线24xy上方的平面区域；这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域（2） 原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380 xy所表示的平面区域位于第一象限内的部分5、二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 二、线性规划问题1、线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 线性目标函数：( , )Zf x y线性约束条件：不等式组A叫做线性约束条件；可行解：满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解；可行域：由所有可行解组成的集合B叫做可行域；最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值

42、的可行解叫做最优解；如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点 .【由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误.】2、线性规划问题应用题的求解步骤：(1) 审题仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？【先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；】(2) 转化设元写出约束条件和目标函数; 图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页精品资料欢迎下载(3) 作图作出相应的图象（注意特殊点与边界）(4) 求解关键是明确目标函数所表示的直

43、线与可行域边界直线斜率间的关系；(5) 作答就应用题提出的问题作出回答【利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数nymxz的最大（小）时，直线0nymx往右（左）平移则值随之增大（小） ，这样就可以在可行域中确定最优解.】3、利用线性规划求目标函数zAxBy ( ,A B为常数）的最值：【方法一：角点法】如果目标函数zAxBy（xy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值【方法二：画

44、移定求】第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0lAxBy，平移直线0l（据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解( , )x y；第四步，将最优解( ,)x y代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法：利用z的几何意义：AzyxBB，zB为直线的纵截距. 若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值 . 4、常见的目标函数的类型：“截

45、距”型：;zAxBy“斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()() .zxayb在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化. 5、对于整点最优解问题，当解方程组得到的解不是整数时，可以用下面的方法求解平移直线法：现在可行域内打网格，再描整点，平移直线，最先或最后经过整点的点的坐标就是最优解. 检验优值法：当可行域内整点较少时，可以将整点坐标逐一代入目标函数求解并比较得到最优解. 6、对于线性规划中的参数问题，需要注意最值是已知的，或者只有一个，或者也可能有无穷多个，目标函数中含有参数.这个参

46、数往往与直线的斜率有关，解题时应该充分利用斜率这一特征加以转化. 目标函数与最值都是已知的，约束条件中含有参数.这时平面区域则是变动的，抓住目标函数与最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最有解在该区域内即可. 7、对于目标函数非线性的最有解问题，需要注意数形结合思想的应用. 若目标函数形如22()()zx ay b，可以化为求可行域内的点( ,)x y与( , )a b之间距离平方的最值问题；若目标函数形如ybzxa，可以化为求可行域内的点( ,)x y与( , )a b连线的斜率的最值问题；若目标函数形如z Ax By C，可以化为求可行域内的点( , )x y到直

47、线0Ax By C的距离的22AB倍的最值问题；、问题情境精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页精品资料欢迎下载问题：在约束条件410432000 xyxyxy下，如何求目标函数2Pxy的最大值？、建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图所示其次，将目标函数2Pxy变形为2yxP的形式，它表示一条直线，斜率为2，且在y轴上的截距为P再次，平移直线2yxP，当它经过两直线410 xy与4320 xy的交点5(,5)4A时，直线在y轴上的截距最大，如图所示因此，当5,54xy时，目标函数取得最

48、大值5257.54这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题其中5(,5)4是使目标函数取得最大值的一组有序数对，它叫做这个问题的最优解对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决 【说明：平移直线2yxP时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点） 】例 4、设2zxy，式中变量, x y满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值解： 由题意， 变量,x y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点(0,0)不在公共区域内当0,0 xy时，20zx y，即点(0,0)在直线0l：20

49、x y上，作一组平行于0l的直线l：2x y t，tR当l在0l的右上方时，直线l上的点( ,)x y满足20 xy，即0t，而且，直线l往右平移时，t随之增大由图象可知，当直线l经过点(5,2)A时，对应的t最大，当直线l经过点(1,1)B时，对应的t最小max25212z，min2 1 13z说明： 1线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个例 5、 （1）已知1224abab，求42tab的取值范围；OyxACB43 0 xy1x3525 0 xy精选学习资料 - - - - - - - -

50、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页精品资料欢迎下载（2）设2( )f xaxbx，且1( 1)2f，2(1)4f，求( 2)f的取值范围；解： （1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线0l：420ab，作一组平行线l：42abt由图知l由0l向右下方平移时，t随之增大，反之减小，当l经过A点时t取最小值，当l经过C点时t取最大值由14abab和22abab分别得3 1(,)2 2A，(3,1)C，min3142522t，max432 110t，5,10t（2）( 1)fab，(1)fab，( 2)42fab，由（ 1）知，( 2)5,10f前面我们用图