浙大2000年-2002年数学分析考研试题及解答(共26页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上浙江大学2000年数学分析考研试题及解答一、(1)求极限;解 ;或。(2)设,求.解 由条件,得 ,反复使用此结果,;于是 , ;, ,当时,;当时,不存在。二、(1)设在可导,证明: .证明 由,得对任意,存在 ,当时,成立;因为,对上述及确定的,存在正整数,当时,便有,于是,从而,即得,故有 .(2)设函数在上连续, 在内二阶可导, 则存在, 使得.证明 :由于.作辅助函数, 于是.在上对运用拉格朗日中值定理, , 使得 .再在上对运用拉格朗日中值定理, , 使得 .三、(1)求幂级数的和,求级数的和。解 由于,由于,所以的收敛半径;为了求出它的和,对幂级数,逐项
2、求导数,就有,因而, 。在上式中取,就得。(2)、证明 黎曼函数在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。(这种性质,也称为无穷次可微。) 证明令,显然,都在上连续;对任何,当时,而收敛,所以,()都在上一致收敛,故在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。由于是任意的,所以在内是连续的,并在这区间内有任意阶连续导函数。显然在内非一致收敛,在内不一致连续。假若在内一致连续,则有存在且有限,在中令,取极限,得,矛盾。四、(1)设方程组确定了可微函数试求 。解 由解出,;就可得. (2)设,求 。解 , .五、若在0,1上连续,证明;由此计算 .证:作变量替换,有.解上述方程,就得到所证结
3、论. 利用此公式可得: 于是 =.(2)求以为顶,以为底,以柱面为侧面的曲顶柱体的体积。解 设,则 。(3)求曲面积分,其中是半球面的上侧。解 记,(取下侧),则,由高斯公式知, 。六、(1)设是周期为的函数,且,;写出它的傅里叶级数. (2)将,展开成Fourier级数, (3)求的和; (4)计算.解 (1) 由傅里叶系数的定义,注意到是偶函数, ,用分部积分法计算,, ,所以 . (2) 由(1)的结果及展开定理,容易知道 ,; (3)在上式中取得, ; 因为 , 所以 。(4),由,知对于任意在上一致收敛于,且,;根据逐项积分定理,可以逐项积分,又 ,故.浙江大学2001年数学分析考研
4、试题及解答一、 (1)用“语言”证明 。证明 因为, 对任意给定的,解不等式,得,只要取 ,当时,便有 ,于是 。 (2) 求极限。解 ,由,得 。(3)设 ,且,求。解 由题设条件,知,从而,故 。二、设是可微函数,且满足,求。解 在中,取,得,在方程两边对求导数,得,取,得 。三、在极坐标变换,之下,变换方程.解 , ,;,于是;从而原方程化为,或。四、(1)求由半径为的球面与顶点在球心,顶角为的圆锥面所围成区域的体积,()。解 建立适当的空间直角坐标系,可设球面方程为,顶角为的圆锥面为, 两曲面在上半空间的交线方程为 ,记,由上下对称性,曲面所围区域的体积为 . (2)求曲面积分,其中是
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