2022年高中数学基本公式手册 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高中数学基本公式手册第一章：集合与函数1. 德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 2.UUABAABBABC BC AUAC BUC ABR3.()()card ABcardAcardBcard AB()()card ABCcardAcardBcardCcard AB()()()()cardABcard BCcard CAcard ABC. 4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 一 般 式2( )(0)f xaxbxc a; 顶 点 式2( )()(0)f xa xhk a; 零点式12( )()()

2、(0)f xa xxxxa. 5. 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf x1212()()0( ),f xf xfxa bxx在上是增函数；1212()()()0 xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是减函数 . 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数； 如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 6. 函 数( )yf x的 图 象 的 对 称 性 : 函 数( )yf x的 图 象 关 于 直 线xa对 称()()faxfax( 2)()faxfx. 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称(

3、)()f amxf bmx()()f abmxf mx. 7. 两个函数图象的对称性: 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴)对称 . 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 8. 分数指数幂1mnnmaa（0,am nN，且1n）. 1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 9.log(0,1,0)baNbaN aaN.10. 对数的换底公式logloglogmamNNa. 推论loglogmnaanbbm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

4、总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第二章：不等式30. 常用不等式：（1）,a bR222abab( 当且仅当a b 时取“ =”号 ) （2）,a bR2abab( 当且仅当a b 时取“ =”号 ) （3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR（5）bababa31. 极值定理已知yx,都是正数，则有（1）如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；（2）如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s. 32. 一 元 二

5、 次 不 等 式20(0)axbxc或2(0,40)abac， 如 果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 33. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 34. 无理不等式（1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x . （2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf

6、 xg x或. （3）2( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x. 35. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x;( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页读书之法 ,在

7、循序而渐进 ,熟读而精思第三章：数列11.11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 12. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 13. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 14. 等比差数列na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项

8、和公式为(1) ,11(),1111nnnbn nd qsdqdbn qqqq. 15.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为b). 第四章：三角16. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot. 17. 正弦、余弦的诱导公式212( 1) sin,sin()2( 1)s,nnnco212( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconco18. 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. 22sin()sin

9、()sinsin( 平方正弦公式); 22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab( 辅 助 角所 在 象 限 由 点( , )a b的 象 限 决为偶数为奇数 为偶数 为奇数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思定,tanba ). 积化和差公式sin()sin()sincos2sin()sin()cossin2cos()cos()coscos2cos()cos()sinsin2（特别注意这里的大小关系）19. 二倍角公式sin 2sincos.

10、2222cos2cossin2cos112sin.22tantan21tan. 降幂公式221cos21cos2sin,cos2220. 三角函数的周期公式函数sin()yx， xR及函数cos()yx， x R(A, ,为常数，且A0，0) 的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且A0，0) 的周期T. 通用周期公式：函数sincosmnyxx的周期2Tmn21. 正弦定理2sinsinsinabcRABC. 22. 余弦定理2222cosabcbcA;2222cosbcacaB; 2222coscababC. 余弦定理另一表达形式：222cos2bcaAbc（通常用来求

11、角）23. 面积定理（ 1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示a、b、c 边上的高） . （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 24. 三角形内角和定理在 ABC中，有()222CABABCCAB222()CAB. 第五章：向量25. 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)xy， B22(,)xy). 26. 向量的平行与垂直设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，且 b0，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

12、总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思abb=a 221221110yxx yx yyx. ab(a0)a b=02212121101yxx xy yyx（联想记忆直线平行与垂直的性质）. 27. 线段的定比分公式设111(,)P x y，222(,)P xy，( ,)P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）. 特例：中点坐标公式1212,22xxyyxy28. 三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x

13、 ,y )、33C(x ,y ),则 ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 29. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP ( 图形F 上的任意一点P(x ，y) 在平移后图形F上的对应点为(,)P x y，且PP的坐标为( , )h k).第六章：不等式30. 常用不等式：（1）,a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （2）,a bR2abab( 当且仅当a b时取“ =”号) （3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR（5）bababa31.

14、极值定理已知yx,都是正数，则有（1）如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；（2）如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s. 32. 一 元 二 次 不 等 式20(0)axbxc或2(0,40)abac， 如 果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 33. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

15、- - - - - - -第 5 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思22xaxaxa或xa. 34. 无理不等式（ 1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x . （2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. （3）2( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x. 35. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时, ( )()( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf

16、xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ( )()( )( )fxg xaaf xg x;( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x第七章：解析几何36.斜率公式2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）. 37.直线的四种方程（1）点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P xy、222(,)P xy (12xx). （4）一般式0AxByC(其中

17、 A、B 不同时为0).38.两条直线的平行和垂直（1）若111:lyk xb，222:lyk xb121212,llkk bb;12121llk k. (2)若1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 11112222ABCllABC；1212120llA AB B；39.夹角公式2121tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121kk)12211212tanA BA BA AB B(1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1与 l2的夹

18、角是2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思40.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 直线补充：过2条直线 l1,l2的直线系方程：12llk l41. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程cossinxarybr. （4）圆的直径式方程1212()()()()0 xxxxyyyy( 圆的直径的端点是11(,)A x y、2

19、2(,)B xy). 圆的补充知识：1、 相交弦方程：12l2、 圆的切线方程：见本页49 项42. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 43.椭圆22221(0)xyabab焦半径公式21()aPFe xaexc，22()aPFexaexc. 44. 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| ()|aPFe xexac，22| () |aPFexexac. 45. 抛 物 线pxy22上 的 动 点 可 设 为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)xy， 其 中22ypx. 46. 二次函数2224()24bacbyaxbxca

20、 xaa(0)a的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24bacbaa； （ 2 ） 焦 点 的 坐 标 为241(,)24bacbaa；（ 3） 准 线 方 程 是2414acbya. 47. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y, x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 48. 圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2-

21、,2)0Fx xyy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB. 49. 切线方程快速解法：对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0 x x代2x，用0y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF，这就是曲线的切线方程50.共线向量

22、定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数 使 a=b51. 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC，则四点 P、A、 B 、C是共面1xyz52.空间两个向量的夹角公式 cos a，b=1 12233222222123123a ba ba baaabbb（a123(,)a aa，b123( ,)b b b）. 53.直线AB与平面所成角sin|AB marcAB m(m为平面的法向量 ). 54.二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量） . 55. 设 AC是内的任一条直线，且BC AC ，垂足为

23、C，又设 AO与 AB所成的角为1，AB与 AC所成的角为2，AO与 AC所成的角为则12coscoscos. 56. 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2, 与二面角的棱所成的角是 ，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos ; 1212|180()(当且仅当90时等号成立 ). 57. 空间两点间的距离公式若 A111(,)x y z， B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 58. 点Q到直线l距离221(|)()|ha ba ba( 点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，

24、向量 b=PQ). 59.异面直线间的距离|CD ndn(12,l l是两异面直线， 其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,l l间的距离 ). 60.点B到平面的距离|AB ndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 61.异面直线上两点距离公式2222cosddmnmn( 两条异面直线a、b 所成的角为 ，其公垂线段AA的长度为h. 在直线 a、b 上分别取两点E 、F，A Em,AFn,EFd). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思62.

25、 2222123llll222123coscoscos1（长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、） （立几中长方体对角线长的公式是其特例）. 63. 面积射影（二面角）定理cosSS（大型考试如高考时最好先加以证明）64常见几何体的体积公式：( :v=,v=vsh ssh22棱柱：底面积， h：高）圆柱：v= r h11棱锥圆锥：r h33第八章：排列组合与二项式定理：66. 分类计数原理（加法原理）12nNmmm. 67. 分步计数原理（乘法原理 ）12nNmmm. 68. 排列数公式mnA=) 1()1(mnnn=！)(mnn.(n，m

26、N*，且mn) 69. 排列恒等式（1）1(1)mmnnAnmA; （2）1mmnnnAAnm; （3）11mmnnAnA; （4）11nnnnnnnAAA; （5）11mmmnnnAAmA. 70. 组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21) 1()1(=！)(mnmn(n，mN*，且mn). 71. 组合数的两个性质(1) mnC=mnnC ;(2) mnC+1mnC=mnC1 72. 组合恒等式（1）11mmnnnmCCm; （2）1mmnnnCCnm;（3）11mmnnnCCm; （ 4）nrrnC0=n2; （ 5）1121rnrnrrrrrrCCCCC. 73. 排列数与组合

27、数的关系是：mmnnAm C！ . 74. 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式：rrnrnrbaCT1)210(nr，. 式子()naxbycz中pqnp qx y z的系数：pqpqnp qnnpC Ca b c式子()pnqbaxx中常数项的系数：用比例法第九章：概率75. 等可能性事件的概率()mP An. 76. 互斥事件A ， B分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) 77.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 精选学习资料 - - - - - -

28、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思78. 独立事件A ， B同时发生的概率P(AB)= P(A) P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1).kknknnP kC PP81. 离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）0(1,2,)iPi; （2）121PP. 82. 数学期望1122nnEx Px Px P83. 数学期望的性质： （1）()( )E abaEb； （2）若( ,)B

29、n p，则Enp. 84. 方差2221122nnDxEpxEpxEp85. 标准差=D. 86. 方差的性质(1)22()DEE;(2)2D aba D； （3）若( ,)B n p，则(1)Dnpp. 87. 正态分布密度函数22261,2 6xfxex式中的实数 ，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 88. 标准正态分布密度函数221,2 6xfxex. 89. 对于2( ,)N，取值小于x 的概率xF x. 12201xxPxxPxxxP21F xF x21xx. 90. 回归直线方程yabx，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxa

30、ybx. 91. 相关系数12211()()niiinniiiixxyyrxxyy1222211()()niiinniiiixxyyxnxyny. |r|1，且 |r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.第十章：极限92. 特殊数列的极限（1）0| 1lim11| 11nnqqqqq不存在或.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）1101100()lim()()kkkktttnttkkta nanaaktb nbnbbkt不存在. （3）111lim1

31、1nnaqaSqq（S无穷等比数列11na q (| 1q) 的和） . 93.0lim( )xxf xa00lim( )lim( )xxxxf xf xa.这是函数极限存在的一个充要条件. 94.函数的夹逼性定理如果函数 f(x) ，g(x)，h(x)在点 x0的附近满足：（1）( )( )( )g xf xh x;（2）00lim( ),lim( )xxxxg xah xa（常数） ,则0lim( )xxf xa. 本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 95.两个重要的极限（ 1）0sinlim1xxx； （2）1lim 1xxex(e=2.718281845 ). 96.)(xf在0

32、x处的导数（或变化率或微商）000000()()()limlimxxxxfxxf xyfxyxx. 97. 瞬时速度00()( )( )limlimttss tts ts ttt. 98. 瞬时加速度00()( )( )limlimttvv ttv tav ttt.第十一章：导数99.)(xf在),(ba的导数( )dydffxydxdx00()( )limlimxxyf xxf xxx. 100. 函 数)(xfy在 点0 x处 的 导 数 是 曲 线)(xfy在)(,(00 xfxP处 的 切 线 的 斜 率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 101. 几种常见函数的

33、导数(1) 0C（C为常数） . (2) 1()()nnxnxnQ. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；1(log)logaaxex. (6) xxee )(; aaaxxln)(. 102. 复合函数的求导法则设函数( )ux在点x处有导数( )xux，函数)(ufy在点x处的对应点U 处有导数( )uyfu，则复合函数( ( )yfx在点x处有导数，且xuxyyu，或写作( ( )( )( )xfxfux. 103. 可导函数)(xfy的微分dxxfdy)(.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

34、- - -第 11 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第十二章：复数104.,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）105. 复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab. 106. 复数的四则运算法则(1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd.107. 复平面上的两点间的距离公式22122121|()()dzzxxyy（111zxyi，222zxy i）. 1

35、08.向量的垂直非零复数1zabi，2zcdi对应的向量分别是1OZ，2OZ，则12OZOZ12zz的实部为零21zz为纯虚数2221212|zzzz2221212|zzzz1212| |zzzz0acbd12ziz( 为非零实数).109. 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc， 若240bac,则21,242bbacxa;若240bac,则122bxxa;若240bac，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页