2022年高中数学奥赛系列辅导材料赋值法在函数方程中的应用 2.pdf

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1、赋值法在函数方程中的应用赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。一、判断函数的奇偶性例 1 若f（xy）f（x）f（y）中令 xy0，得f（0）0。又在f（xy）f（x）f（y）令 yx，f（xx）f（x）f（x） ，即f（0）f（x）f（x） ，又f（0）0. 所以f（x）f（x） 。由于f（x）不恒为零，所以f（x）是奇函数。例 2 已知函数 yf（x） （xR，x0） ，对任意非零实数x1x2都有f（x1x2）f（x1）f（x2） ，试判断f（x）的奇偶性。解：取 x11，x21 得f（1

2、）= f（1）（1） ，所以f（1）=0 又取 x1=x2=1，得f（1）=f（1）f（1） ，所以f（1）=0 再取 x1=x，x2=1，则有f（x）= f（x） ，即f（x）=f（x）因为f（x）为非零函数，所以f（x）为偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页例 3对任意 x、yR，有（xy）f（xy）=2f（x） f（y） ，且f（0）0，判断f（x）的奇偶性。解：令 x=y=0 得f（0）f（0）=2f2（0） ，因为f（0）0，所以f（0）=1，又令 x=0 得f（y）f（y）=2f（y） ，即f（y）

3、=f（y） 。取 x=y，得f（x）=f（y）. 所以函数 y=f（x） 。二、讨论函数的单调性例 4设f（x）定义于实数集R上，当 x0 时，f（x）1，且对任意 x，yR，有f（xy）= f（x）f（y） ，求证f（x）在 R上为增函数。证明：由f（xy）=f（x）f（y）中取 x=y=0 得f（0）=f2（0） 。若f（0）=0，令 x0，y=0，则f（x）=0，与f（x）1 矛盾。所以f（0）0，即有f（0）=1。当 x0时，f（x） 10， 当 x10， 而0)(1)(xfxf，又 x=0 时，f（0）=0，所以f（x）R，f（x）0。设 x1x2，则 x10，f（x2x1）1，所以

4、f（x2）= fx1（x2x1）=f（x1） f（x2x1）f（x1） ，所以 y=（x）在 R上为增函数。三、求函数的值域例 5 已知函数f（x） 在定义域 xR上是增函数，且满足f（xy）=f（x）f（y） （x、yR） ，求f（x）的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页解：因为 x=y=1 时， （1）=2f（1） ，所以f（1）=0 又因为（ x）在定义域 R上是增函数，所以x1x20 时，令 x1=mx2（m1 ） ，则f（x1）f0。得以对于 x1 有f（x）0。又设 x1=mx20（0m1 ） ，则

5、 0 x1x2。所以由函数在 R上递增可得f（x1）f（x2）0, 即f（mx2）f（x2）=f（m ）f（x2）f（x2）=f（m ）0。所以对于 0 x1有f（x）0，使02cf，求证f（x）是周期函数。证明：令2cxa，2cb，代入f（ab）f（ab）=2f（a）f（b）可得：f（xc）=f（x） 。所以f（x2c）= f（xc）c= f（xc）= f（x） ，即f（x2c）= f（x） 。则f（x）是以 2c 为周期的函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页例 7 若对常数 m和任意 x， 等式)(1)(1x

6、fxfmxf成立，求证f（x）是周期函数。证明：将已知式中的x 换成 xm得f（x2m ）=f（xm ）m )(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1xfxfxfxfxfmxfmxf又将上式中 x2m换成 x4m可得)()2(12)2()4(xfmxfmmxfmxf故f（x）是以 4m为周期的函数五、求函数的解析式例 8 设对满足 | x |1 的所有实数 x，函数f（x）满足xxxfxxf1313，求f（x）的解析式。解：将 x 取为13xx代入原等式，有13)(13xxxfxxf，（1）将 x 取为xx13代入原等式，有xxxxfxf1313)(。（2）（1）（ 2） ，且将原等式代入

7、即得) 1|(|227)(23xxxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页例 9 求函数 F（x） ，当 x0，x1 时有定义且满足xxxFxF11)(. 解：xxxFxF11)(， （1）中以xx1代换 x 得xxxxFxxF1211（2）再在（1）中以11x代换 x 得12)(11xxxFxF，（3）（1）（ 2）（ 3）化简得) 1(21)(23xxxxxF. 例 10 f（x）的定义域在非负实数集合上并取非负数值的函数，求满足下列所有条件的f（x） ： （1）fx f（y） f（x）= f（xy） ； （2

8、）f（2）=0； （3）当 0 x2 时，f（x）0. 解： （）令 x=2，t=2 y，由于 y0，故 t 2。f2f（t 2） f（2）=f（t ）. 由（2）得f（2）=0，所以f（t ）=0. 所以当 t 2时，f（x） =0. 由（3）的逆命题知： 当f（x）=0时，x2，综合、得，f（x）=0 x2. （）考虑 0 x2，0y2， （即f（x）f（y）0）时， （1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页两边等于零的特殊情况。设fx （f（y） ）f（x）=0. 因为fx （f（y） ）f（x）=0. 由（）

9、得：xf（y）2，即)(2yfx。设f（xy）=0，由（）得； xy2， 即 x2y， 因为)(2yfx， 且 x2y， 所以yyf2)(2，解得yyf22)(. 所以当 0 x2 时，f（x）=xxf22)(. 所以)2.(0)20( ,22)(xxxxf例 11 设 S表示所有大于 1 的实数构成的集合，确定所有的函数f：SS，满足以下两个条件：（i ）对于 S内的所有 x 和 y，有fx f（y）xf（y）=y f（x） ；（ii ）在区间 1x0 的每一个内，xxf)(是单调递增的。解：令 x=y 得：f（xf（x）xf（x）=xf（x）xf（x） ，又令 xf（x）xf（x）=t，则f（t ）=t，在（ 1）中令 x=t得f（t22t ）=ft f（t ）tf（t ）=t f（t ）tf（t ）=（t 2）t=t22t. 若 t0 ，则（t 2）tt0 ，但1)2()2()(ttttfttf，与xxf)(在 x0时单调递增矛盾。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页同理，t0 ，亦导致矛盾。因此，对任x 恒有xf（x）xf（x）=t=0. 从而1)(xxxf。显然，这一函数满足题设条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页