2022年高中数学知识要点之曲线与方程,圆的方程 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思x y O B A M 曲线与方程、圆的方程江苏郑邦锁1曲线 C 的方程为 :f(x,y) =0曲线 C 上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y)=0 ，即f（x0,y0）=0；且以 f(x,y) =0 的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C 上。依据该定义： 已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y) 的轨迹方程即求点P 的坐标 (x,y) 满足的方程（等式） 。求动点轨迹方程的步骤：建系， 写（设） 出相关点的坐标、线的方程， 动点坐标一般设为(x,y) ，分

2、析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，化简，验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 举例 1方程04) 1(22yxyx所表示的曲线是：（）A B C D 解析：原方程等价于：40122yxyx，或422yx；其中当01yx需422yx有意义， 等式才成立，即422yx，此时它表示直线01yx上不在圆422yx内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。举例 2 已知点 A （ 1，0） ，B（2，0） ，动点 M满足 2MAB= MBA ，求点 M的轨迹方程。解析：如何体现动点M满足的条件2 MAB= MBA 是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2MAB= M

3、BA 的最佳载体是直线MA 、MB的斜率。设 M （x，y） ， MAB= ，则 MBA=2 ，它们是直线MA 、 MB的倾角还是倾角的补角，与点M在 x 轴的上方还是下方有关；以下讨论：若点 M在 x 轴的上方 , ,0),90,0(00y此时，直线MA的倾角为，MB的倾角为-2，,2)2tan(,1tanxyxykMA（2090）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思,2tan)2tan(,)1(112222xyxyxy得：1322yx，1,xMBMA当 2090时, =450，

4、MAB为等腰直角三角形, 此时点 M的坐标为 (2,3)，它满足上述方程当点 M在 x 轴的下方时 , y ，同理可得点M的轨迹方程为)1(1322xyx, 当点 M在线段 AB上时 , 也满足 2MAB= MBA,此时 y=0(-1 ) 综上所求点的轨迹方程为)21(0) 1(1322xyxyx或巩固 1右图的曲线是以原点为圆心，1 为半径的圆的一部分，则它的方程是A （21yx） （21xy）=0 B （21yx） （21xy）=0 C （21yx） （21xy）=0 D （21yx） （21xy）=0 巩固 2已知点 R（- 3，0） ，点 P在 y 轴上，点Q 在 x 轴的正半轴上，点

5、M 在直线 PQ 上，且满足RPPM=0，2PM+3MQ=0，当点 P移动时，求M点的轨迹方程。迁移 正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，点 M 是棱 AB 的中点， 点 P 是平面 ABCD 上的一动点，且点P 到直线 A1D1的距离两倍的平方比到点M 的距离的平方大4，则点 P的轨迹为：A圆B椭圆C双曲线D抛物线2 圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径） ， 圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B 0， C=0, 且 D2+E2-4AF0 ） 。 判断点 P （x0,y0）与M： (x-a)2+(y-b)2= r2的

6、位置关系， 用|PM|与 r 的大小，即： |PM| r(x0- a)2+(y0- b)2 r2P在M 外； |PM| r(x0- a)2+(y0- b)2a2+a- 20，解得： -7a1. 注：本题中a2+a- 20 是极易疏漏的一个潜在要求。 巩固 1 过点 A（3，-2 ） ， B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是。 巩固 2 已知定点M(x0,y0) 在第一象限， 过 M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r1，r2, 则 r1r2= 。 迁移 关于曲线42:1C xy给出下列说法： 关于直线0y对称；关于直线0 x对称；关于点(0,0)对称；关于直线yx对称；是

7、封闭图形，面积小于；是封闭图形，面积大于；则其中正确说法的序号是3涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d来研究。d=r（r为圆的半径）直线与圆相切； 过圆 x2+y2=r2上一点 M(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2； 过圆 x2+y2=r2外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点A、B 连线的直线方程为x0 x+y0y=r2。过A 外一点 P 作圆的切线PQ （Q 为切点），则 |PQ|=22|rPA。dr直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为d-r，最大值为d+r。 举例 1从直线 x- y+3=0 上的点向圆1)2()2(22yx引切线，则切线长

8、的最小值是A.223B.214C.423D. 223-1 解析：圆1)2()2(22yx的圆心 A（- 2，- 2） ，直线 x- y+3=0 上任一点P，过引圆的切线 PQ （Q为切点），则 |PQ|=1|2PA，当且仅当 |PA| 最小时 |PQ| 最小，易见 |PA| 的最小值即 A到直线 x- y+3=0 的距离，为223，此时 |PQ|=214，选 B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思举例 2 能够使得圆222410 xyxy上恰有两个点到直线20 xyc距离等于1

9、的c的一个值为： A2 5C3 D3 5解析： 本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M （1，- 2） ，半径r=2，结合图形容易知道，当且仅当 M到直线l：20 xyc的距离d（ 1，3）时， M上恰有两个点到直线l的距离等于 1，由d=5| c（ 1，3）得：)53 ,5()5,53(c，选 C 。巩固 1 若直线 (1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y22x=0 相切，则a 的值为（）（A）1， 1（B）2， 2（C）1（D） 1 巩固 2直线 l1：y=kx +1 与圆 C：x2+y2+2kx+2my=0的两个交

10、点A、B 关于直线l2：x+y=0对称，则CBCA= 。迁移 实数 x,y 满足24,012222xyyxyx则的取值范围为（）A),34B34,0C34,(D)0,344判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。 M、N 的半径分别为1r、2r，|MN|1r+2r外离， |MN|=1r+2r外切， |1r-2r|MN|1r+2r相交，此时，若M：011122FyExDyx， N：022222FyExDyx， 过两圆交点的圆 （系）的方程为：11122FyExDyx+（22222FyExDyx）=0（N 除外） 。特别地： 当= -1 时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。

11、|MN| =|1r-2r|内切， |MN| 0), 迁移 在平面 ABCD 上建立平面直角坐标系，选C。2、 巩固 1 (x-1)2+(y+1)2= 5， 巩固 2 点 M在第一象限， 过点 M与两坐标轴相切的圆的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思方程可设为： (x- r)2+(y- r)2= r2 , 圆过 M(x0,y0) 点， (x0- r)2+(y0-r)2= r2，整理得：r2-2(x0+y0)r+ x02+y02=0, 由题意知r1，r2为该方程的两根，故r1r2=

12、x02+y02。 迁移 在曲线 C上任取一点M(x0,y0) ， x04+y02=1, |x0| 1, x04x02, x02+y02x04+y02=1,即点 M 在圆x2+y2=1 外，选；3、巩固 1D，巩固 2-1， 迁移 A； 4、巩固 1A ，巩固 2圆 x2+y2+2x+2y3=0 的圆心 A（ - 1，- 1） ，半径为5， M 始终平分 A 的周长即两圆的公共弦是A 的直径， A 在直线： 2(a+1)+2(b+1)y-(a2+b2)+3=0 上，将 a 点坐标代入即得，选B；迁移 xy42)0(x和0y)0(x，5、巩固11， 巩固2易知 ABC为直角三角形，a=6,b=8,c=10,则内切圆半径r=2，以 C 为原点建系，设P(2cos,2sin), PA2+PB2+PC2=80-8sin,最大值为88， 迁移 |PQ|的最大、最小值分别为210，和为102，注：题中参数是同一个，因此点P，Q 是互相有关联的，不是分别在两上圆上的任意点因此借助图形去直观地求解很容易出错。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页