2022年高中数学求值域的10种方法 .pdf

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1、第1页共 12 页求 函 数值 域 的 十种 方 法一直接 法 观察 法 ：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1求函数1yx的值域。【解析】 0 x，11x，函数1yx的值域为1,)。【练习】1求以下函数的值域：32( 11)yxx；xxf42)(；1xxy；4112xy，2, 1 ,0 , 1x。【参考答案】 1,5；2,)；(,1)(1,)；4 1,0,3。二配方 法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2( )( )( )F xafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。例 2求函数242yxx 1,1x的值域。【解析】2242(2)6yxxx。1

2、1x，321x，21(2)9x，23(2)65x，35y。函数242yxx 1,1x的值域为 3,5。例 3求函数)4,0(422xxxy的值域。【解析】 此题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4, 0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4, 0)(xf，从而得出：0,2y。说明： 在求解值域 (最值 )时，遇到分式、 根式、 对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，此题为：0)(xf。例 4假设,42yx0,0 yx，试求yxlglg的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

3、 - -第 1 页，共 12 页第2页共 12 页【分析与解】 此题可看成第一象限内动点( , )P x y在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lglglglg (42 )lg 2(1)2xyxyxyyyy而，y=1 时，yxlglg取最大值2lg。【练习】2求以下函数的最大值、最小值与值域：142xxy； 4, 3, 142xxxy； 1 ,0, 142xxxy； 5, 0, 142xxxy；5xxxy422，4,41x；6223yxx。【参考答案】 3,)； 2,1； 2,1； 3,6；

4、5736,4；60,2三反函 数 法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型： 分子、 分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5求函数12xxy的值域。分析与解： 由于此题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2，故函数的值域为(,2)(2,)。【练习】1求函数2332xyx的值域。2求函数axbycxd，0,dcxc的值域。【参考答案】 122(,)(,)33；(,)(,)aacc。四别 离变 量 法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用

5、别离常数法， 此类问题一般也可以利用反函数法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页第3页共 12 页例 6：求函数125xyx的值域。解：177(25)112222525225xxyxxx，72025x，12y，函数125xyx的值域为1|2y y。适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数 )的形式。例 7：求函数122xxxxy的值域。分析与解 ：观察分子、 分母中均含有xx2项，可利用别离变量法；则有22221111xxxxyxxxx21113()24x。不妨令

6、：)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf。注意：在此题中假设出现应排除0)(xf，因为)(xf作为分母 .所以4( )0,3g x故1,31y。另解：观察知道此题中分子较为简单，可令222111xxtxxxx，求出t的值域，进而可得到y的值域。【练习】1求函数132222xxxxy的值域。【参考答案】110(2,3五、换 元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元 ；当根式里是二次式时，用三角换元 。例

7、8：求函数212yxx的值域。解：令12tx0t，则212tx，22151()24yttt。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页第4页共 12 页当12t，即38x时，max54y，无最小值。函数212yxx的值域为5(,4。例 9：求函数221(1)yxx的值域。解：因21(1)0 x，即2(1)1x。故可令1cos,0,x，1cossincos11cosy21)4sin(2。4544,0，2sin()124，02 sin()1124故所求函数的值域为21 , 0。例 10.求函数34221xxyxx的值域。解：原

8、函数可变形为：222121211xxyxx可令 X=tan，则有222221sin2 ,cos11xxxx11sin2cos2sin424y当28k时，max14y当28k时，min14y而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例 11. 求函数(sin1)(cos1)yxx，,12 2x的值域。解：(sin1)(cos1)yxxsincossincos1xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页第5页共 12 页令sincosxxt，则21sin cos(1)2xxt2211(1)1(1)22yttt由s

9、incos2 sin()4txxx且,12 2x可得：222t当2t时，max322y，当22t时，3242y故所求函数的值域为32 3,2422。例 12. 求函数245yxx的值域。解：由250 x，可得|5x故可令5 cos,0,x5cos45sin10sin()44y05444当4时，max410y当时，min45y故所求函数的值域为：45, 410精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页第6页共 12 页六 、判 别 式 法： 把函数转化成关于x的二次方程( ,)0F x y；通过方程有实数根，判别式0，从而求

10、得原函数的值域，形如21112222a xb xcya xb xc1a、2a不同时为零的函数的值域，常用此方法求解。例 13：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，xR，2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，1113y函数2231xxyxx的值域为11|13yy七 、函数 的 单 调 性 法：确定函数在定义域或某个定义域的子集上的单调性，求出函数的值域。例 14：求函数12yxx的值域。解：当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，函数12yxx在定义域1(,2上是增函数。

11、11112222y，函数12yxx的值域为1(,2。例 15. 求函数11yxx的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1,121xyxy，显然21y,y在, 1上为无上界的增函数所以21yyy在, 1上也为无上界的增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页第7页共 12 页所以当 x=1 时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为2,0(适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。原理：同增异减例 16：求函数)4(log221xxy的值域。分析与解： 由于函数本身是由一个对数函数外层函

12、数和二次函数内层函数复合而成，故可令：2( )4 ( ( )0)t xxx t x配方得：2( )(2)4( )0,4)t xxt x所以（由复合函数的单调性同增异减知：),2y。八 、利 用 有 界性：一般用于三角函数型，即利用1 ,1cos,1 , 1sinxx等。例 17：求函数cossin3xyx的值域。解：由原函数式可得：sincos3yxxy，可化为：21sin()3yx xy即23sin ()1yx xyxRsin() 1,1x x即23111yy解得：2244y故函数的值域为22,44注：该题还可以使用数形结合法。coscos0sin3sin3xxyxx，利用直线的斜率解题。例

13、 18：求函数1212xxy的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页第8页共 12 页解：由1212xxy解得121xyy，20 x，101yy，11y函数1212xxy的值域为( 1,1)y。九、 图 像 法 数 形 结合 法 ：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 19：求函数|3|5 |yxx的值域。解：22|3|5|822xyxxx(3)( 35)(5)xxx，|3|5 |yxx的图像如下图，由图像知：函

14、数|3|5|yxx的值域为8,)例 20. 求函数22(2)(8)yxx的值域。解：原函数可化简得：|2 |8|yxx上式可以看成数轴上点Px到定点A2，( 8)B间的距离之和。由上图可知，当点P 在线段 AB 上时，|2|8 | | 10yxxAB当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，|2 |8 | | 10yxxAB故所求函数的值域为：10,例 21. 求函数2261345yxxxx的值域。解：原函数可变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx上式可看成x 轴上的点( ,0)P x到两定点(3,2),( 2,1)AB的距离之和，85-3oyx精选学习资料 - - - -

15、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页第9页共 12 页由图可知当点P 为线段与 x 轴的交点时，22min|(32)(21)43yAB，故所求函数的值域为43,例 22. 求函数2261345yxxxx的值域。解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx上式可看成定点A3，2到点 Px，0的距离与定点)1 ,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：|yAPBP由图可知： 1当点 P 在 x 轴上且不是直线AB 与 x 轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有22| |(32)(21)26APBPAB即：2

16、626y2当点 P 恰好为直线AB 与 x 轴的交点时，有| |26APBPAB综上所述，可知函数的值域为：(26,26例 23、：求函数xxycos2sin3的值域 . 分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212xxyyk，将原函数视为定点 (2，3)到动点)sin,(cosxx的斜率，又知动点)sin,(cosxx满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点 2，3到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：3326,3326y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

17、- -第 9 页，共 12 页第10页共 12 页点评：此题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例 24求函数xxy11的值域。分析与解答：令xu1，xv1，则0, 0 vu，222vu，yvu，原问题转化为：当直线yvu与圆222vu在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图 1 知：当yvu经过点)2,0(时，2m iny；当直线与圆相切时，2222maxOCODy。所以：值域为22y22OVUABCDE十 ：不等 式法：利用基本不等式32,3abab abcabc( , ,)a b cR，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求

18、积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 25. 求函数2211(sin)(cos)4sincosyxxxx的值域。解：原函数变形为：222222222211(sincos)sincos1sec3tancot32 tancot5yxxxxces xxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页第11页共 12 页当且仅当tancotxx即当4xk时()kz，等号成立故原函数的值域为：5,)例 26. 求函数2sinsin 2yxx的值域。解：4sinsincosyxxx24

19、sincosxx42222222316sincos8sinsin(22sin)8(sinsin22sin) /36427yxxxxxxxx当且仅当22sin22sinxx，即当22sin3x时，等号成立。由26427y可得：8 38 399y故原函数的值域为：8 3 8 3,99十 一 、多 种 方 法 综 合 运 用：例 27. 求函数23xyx的值域。解：令2(0)txt，则231xt1当0t时，211112tyttt，当且仅当t=1 ，即1x时取等号，所以102y2当 t=0 时， y=0 。综上所述，函数的值域为：10,2注：先换元，后用不等式法精选学习资料 - - - - - - -

20、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页第12页共 12 页例 28. 求函数234241212xxxxyxx的值域。解：2432424121212xxxxyxxxx2222111xxxx令tan2x，则22221cos1xx21sin12xx2211cossinsinsin122y2117sin416当1sin4时，max1716y当sin1时，min2y此时tan2都存在，故函数的值域为172,16注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页