2022年高中数学考点知识点总结 .pdf

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1、一、不等式选讲考情解读本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想 考查形式以解答题为主，难度中等1对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义， 借助于数轴的直观解法； 二是根据绝对值的意义， 采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法 要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法2使用绝对值三角

2、不等式求最值很方便，如|x2| |x4| |(x2)(x4)| 6. 3易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术一几何平均不等式、柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件. 不等式与线性规划考情解读(1) 在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题， 线性规划主要考查直接求最优解和已知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页最优解求参数的值或取值范围问题(2) 多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中

3、档题1四类不等式的解法(1) 一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0) ，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2) 简单分式不等式的解法变形 ?fxgx0(0(1 时，af(x)ag(x)?f(x)g(x) ；当 0aag(x)?f(x)1 时，logaf(x)logag(x) ?f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；当 0alogag(x) ?f(x)0，g(x)0. 2五个重要不等式(1)|a| 0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR ) (3)ab2ab(a0，b0)(4)ab(

4、ab2)2(a，bR) (5) a2b22ab2ab2abab(a0，b0)3二元一次不等式 ( 组)和简单的线性规划(1) 线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页域、最优解等(2) 解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值4两个常用结论(1)ax2bxc0(a0) 恒成立的条件是a0，0.(2)ax2bxc0(a0) 恒成立的条件是a0，0.1几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点

5、值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标， 即二次函数的零点； 分式不等式可转化为整式不等式 (组) 来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能， 常常用于比较数 (式) 的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、 “拆项” 、 “凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一

6、正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可3线性规划问题的基本步骤(1) 定域画出不等式 (组) 所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2) 平移画出目标函数等于0 时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点， 根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页(3) 求值利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值 . 第 2 讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及

7、圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力1证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、 圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡2证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

8、- - - - - - -第 4 页，共 37 页第 3 讲坐标系与参数方程考情解读高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程； 参数方程与普通方程的互化， 常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识高考中以解答题形式出现，中档难度1主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题2规律方法方程解决直线、 圆和圆锥曲线的有关问题， 将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的

9、，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时， 若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度3极坐标方程与普通方程互化核心公式xcos ysin ，2x2y2tan yxx0. 4 过点A(0，0) 倾斜角为的直线方程为0sin0sin.特别地，过点A(a,0) ，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页a. 平行于极轴且过点A(b，2)的直线l的极坐标方程为sin b. 5圆心在点A(0，0) ，半径为r的圆的方程为r22

10、2020cos(0) 6重点掌握直线的参数方程xx0tcos yy0tsin (t为参数 )，理解参数t的几何意义 . 第 4 讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1) 高考对函数的三要素， 函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下(2) 函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数 常以填空题的形式出现， 且常与新定义问题相结合，难度较大1判断函数单调性的常用方法(1) 能画出图象的一般用

11、数形结合法去观察(2) 由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题(3) 对于解析式较复杂的一般用导数法(4) 对于抽象函数一般用定义法2函数奇偶性的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 37 页函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分 (一半) 区间上，是简化问题的一种途径 尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|) f(x) 3函数图象的对称性(1) 若函数yf(x) 满足f(ax) f(ax)，即f(x

12、) f(2ax) ，则f(x)的图象关于直线xa对称提醒：函数yf(ax) 与yf(ax)的图象对称轴为x0，并非直线xa. (2) 若f(x) 满足f(ax)f(bx) ，则函数f(x)的图象关于直线xab2对称(3) 若函数yf(x) 满足f(x)2bf(2ax)，则该函数图象关于点(a，b) 成中心对称4二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中5指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、

13、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0 比较或与 1 比较6解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页第讲函数的应用考情解读(1) 函数零点所在区间、 零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现(2) 函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问

14、题1函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(x) ，我们把使f(x)0 的实数x叫做函数f(x)的零点(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) f(x) g(x) 的零点就是方程f(x) g(x) 的根，即函数yf(x) 的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(3) 零点存在性定理如果函数yf(x)在区间 a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) f(b)0，那么，函数yf(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c) 0，这个c也就是方程f(x)0 的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点(4) 二分法求函数零点的近似

15、值，二分法求方程的近似解2函数模型解决函数模型的实际应用题， 首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是 (1) 阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2) 数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3) 解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4) 实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页1函数与方程(1) 函数f(x)有零点 ? 方程f(x)0 有根? 函数f(x) 的图象与x轴有交点(2

16、) 函数f(x)的零点存在性定理：如果函数f(x) 在区间 a，b 上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c) 0. 如果函数f(x) 在区间 a，b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x) 在区间 a，b 上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，那么，函数f(x) 在区间 (a，b)内不一定没有零点2函数综合题的求解往往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化

17、归为基本问题来解决3应用函数模型解决实际问题的一般程序读题?建模?求解?反馈与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页第讲导数及其应用考情解读(1) 导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点 (2) 利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用1导数的几何意义函数yf(x)在点

18、xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0) f(x0)(xx0)2导数与函数单调性的关系(1)f(x)0 是f(x) 为增函数的充分不必要条件，如函数f(x) x3在(， ) 上单调递增，但f(x) 0. (2)f(x)0 是f(x) 为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0 时，则f(x) 为常函数，函数不具有单调性3函数的极值与最值(1) 函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2) 函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3

19、) 闭区间上连续的函数一定有最值， 开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值. 1函数单调性的应用(1) 若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0 在区间 (a，b) 上恒成立；(2) 若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0 在区间 (a，b) 上恒成立；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页(3) 可导函数f(x)在区间 (a，b)上为增函数是f(x)0 的必要不充分条件2可导函数极值的理解(1) 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小

20、值大于极大值；(2) 对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x) 0” 是 “f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点3利用导数解决优化问题的步骤(1) 审题设未知数； (2) 结合题意列出函数关系式；(3) 确定函数的定义域； (4) 在定义域内求极值、最值；(5) 下结论. 第 3 讲直线与圆考情解读考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系 ( 特别是弦长问题 )，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出

21、现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识1直线方程的五种形式(1) 点斜式：yy1k(xx1)( 直线过点P1(x1，y1) ，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线 )(2) 斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线 )(3) 两点式：yy1y2y1xx1x2x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页(4) 截距式：xayb1(a、b分别为直线的横、 纵截距，且a

22、0，b0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5) 一般式：AxByC0( 其中A，B不同时为 0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1) 两直线平行l1l2?k1k2. (2) 两直线垂直l1l2?k1k21. 提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3三种距离公式(1)A(x1，y1) ，B(x2，y2) 两点间的距离：ABx2x12y2y12. (2) 点到直线的距离：d|Ax0By0C|A2B2(其中点P(x0，y0)，直线方程：AxByC0)(3) 两平行线间的距离：d|C2C1|A2B2(其中两平行线方程

23、分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20) 提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等4圆的方程的两种形式(1) 圆的标准方程： (xa)2(yb)2r2. (2) 圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1) 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页(2) 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法. 1由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求

24、直线方程时， 由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况， 尤其在选择点斜式、 斜截式时要注意斜率不存在的情况2确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1) 直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形( 半弦长，弦心距，圆半径 )；(2) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3) 圆心在任一弦的中垂线上；(4) 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5) 圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称3直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；

25、 圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题4过两圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0. 5两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页第 4 讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读(1) 以填空题的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质( 特别是离心率 )，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，

26、属于基础题(2) 以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、 性质及标准方程的求解， 直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大1对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础2椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2By21，其中A、B是不等的常数，AB0 时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0 时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1) ，B

27、(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p24；(2)ABx1x2p2psin2(为弦AB的倾斜角 )；(3)SAOBp22sin ；(4)1FA1FB为定值2p；(5) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 第 5 讲圆锥曲线中的热点问题考情解读(1) 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大(2) 求轨迹方程也是高考的热点与重点， 若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第问中1直线与圆锥曲线的位置关系(1) 直线与椭圆的

28、位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立， 消去一个未知数， 得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0 时，直线与双曲线相交；当0 时，直线与双曲线相切；当0，0)的图象求解析式(1)Aymaxymin2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页Bymaxymin2. (2) 由函数的周期T求，2T. (3) 利用与“五点法”中相对应的特殊点求. 3 函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4求三角函数式最值的方法(1) 将三角函数式化为yAsin(x)B的形式，进而

29、结合三角函数的性质求解(2) 将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解5特别提醒进行三角函数的图象变换时， 要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身 . 第 7 讲三角变换与解三角形考情解读(1) 高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合(2) 利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin() sin cos cos sin . (2)cos() cos cos ? sin sin . (3)tan() tan t

30、an 1? tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页(1)sin 22sin cos . (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2. (3)tan 22tan 1tan2. 3三角恒等式的证明方法(1) 从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2) 等式的两边同时变形为同一个式子(3) 将式子变形后再证明4正弦定理asin Absin Bcsin C2R(2R为ABC外接圆的直径 ) 变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. s

31、in Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R. abcsin Asin Bsin C. 5余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C. 推论： cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab. 变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C. 6面积公式SABC12bcsin A12acsin B12absin C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页7解三角形(1

32、) 已知两角及一边，利用正弦定理求解(2) 已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3) 已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4) 已知三边，利用余弦定理求解. 1求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1) 首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2) 其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3) 再次观察代数式的结构特点2解三角形的两个关键点(1) 正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a2Rsin A，sin Aa2R(其中 2R为三角

33、形外接圆的直径 )，a2b2c22abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2) 三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到sin(AB) sin C，sin AB2cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等3利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页第 8 讲平面向量考情解读(1) 平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小

34、题形式进行考查(2) 平面向量的线性运算和数量积是高考的热点， 有时和三角函数相结合， 凸显向量的工具性，考查处理问题的能力1平面向量中的五个基本概念(1) 零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0. (2) 长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为a|a|. (3) 方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量 )(4) 如果直线l的斜率为k，则a(1 ，k) 是直线l的一个方向向量(5) 向量的投影： |b|cos a，b叫做向量b在向量a方向上的投影2平面向量的两个重要定理(1) 向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.

35、 (2) 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底3平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则(1)ab?ab?x1y2x2y10. (2)ab?ab0?x1x2y1y20. 4平面向量的三个性质(1) 若a(x，y)，则|a| aax2y2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页(2) 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| x2x12y2y12. (

36、3) 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22. 1当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示， 就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量ABOBOA ( 其中O为任意一个点 ) ，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则， 对于非零向量a，b，当|ab| |ab| 时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形， 条件|ab| |ab| 等价于向量a，b互相垂直3两个向量夹角的范围是 0 ， ，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量

37、夹角可能是0 或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系， 在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系 . 第 9 讲等差数列和等比数列考情解读(1) 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现 (2) 数列求和及数列与函数、不等式的综合问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

38、-第 23 页，共 37 页是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力1an与Sn的关系Sna1a2an，anS1，n1，SnSn1，n2.2等差数列和等比数列等差数列等比数列定义anan1常数 (n2)anan1常数(n2) 通项公式ana1(n1)d ana1qn1(q0) 判定方法(1) 定义法(2) 中项公式法： 2an1anan2(n1) ? an 为等差数列(3) 通项公式法：anpnq(p、q为常数) ? an为等差数列(4) 前n项和公式法：SnAn2Bn(A、B为常数 )? an 为等差数列(5)an为等比数列，an0? logaan为等差数列(1) 定义法(2) 中

39、项公式法：a2n1anan 2(n1)(an0)?an为等比数列(3) 通项公式法：ancqn(c、q均是不为 0 的常数，nN*)? an为等比数列(4)an 为等差数列 ?aan 为等比数列 (a0且a1) 性质(1) 若m、n、p、qN*，且mnpq，则am(1) 若m、n、p、qN*，且mnpq，则aman精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 37 页anapaq (2)anam(nm)d (3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列apaq (2)anamqnm (3) 等比数列依次每n项和(Sn0)仍成等比

40、数列前n项和Snna1an2na1nn12d (1)q1，Sna11qn1qa1anq1q(2)q1，Snna11在等差 (比)数列中，a1，d(q) ，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d( 公比q)这两个基本量的有关运算2等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3等差、等比数列的单调性(1) 等差数列的单调性d0? an 为递增数列，Sn有最小值d0，q1或a10，0q0，0q1或a11时，an为递减数

41、列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 37 页4常用结论(1) 若an ，bn 均是等差数列，Sn是an 的前n项和，则 mankbn，Snn仍为等差数列，其中m，k为常数(2) 若an，bn均是等比数列，则 can(c0)，|an| ，anbn ，manbn(m为常数)，a2n，1an 仍为等比数列(3) 公比不为 1 的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3， ，成等比数列，且公比为a3a2a2a1a2a1qa2a1q. (4) 等比数列 (q1) 中连续k项的和成等比数列

42、，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公差为qk. 等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d. 5易错提醒(1) 应用关系式anS1，n1，SnSn1，n2时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起(2) 三个数a，b，c成等差数列的充要条件是bac2，但三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac. 数列求和及综合应用考情解读高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：(1) 以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查用等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

43、总结 - - - - - - -第 26 页，共 37 页差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题 .(2) 通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题. 1. 数列求和的方法技巧(1) 分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并 . (2) 错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列 anbn 的前n项和，其中 an，bn分别是等差数列和等比数列. (3) 倒序相加法这是在推导等差

44、数列前n项和公式时所用的方法， 也就是将一个数列倒过来排列 (反序) ，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和. (4) 裂项相消法利用通项变形， 将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.这种方法适用于求通项为1anan1的数列的前n项和，其中 an若为等差数列，则1anan11d1an1an1. 常见的裂项公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37 页1nn11n1n1；1nnk1k(1n1nk) ；12n12n112(12n112n

45、1)；1nnk1k(nkn). 2. 数列应用题的模型(1) 等差模型：如果增加 (或减少 ) 的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加 (或减少 ) 的量就是公差 . (2) 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3) 混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型. (4) 生长模型：如果某一个量， 每一期以一个固定的百分数增加( 或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少 ) 时，我们称该模型为生长模型 . 如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等. (5) 递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an

46、1( 或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题. 1. 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键.若是等差数列或等比数列， 则直接运用公式求解， 否则常用下列方法求解：(1)anS1n1SnSn 1n2.(2) 递推关系形如an 1anf(n) ，常用累加法求通项 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 37 页(3) 递推关系形如an1anf(n) ，常用累乘法求通项 . (4) 递推关系形如“an1panq(p、q是常数，且p1，q0) ”的数列求通项， 常用待定系数法 . 可设an

47、1p(an) ，经过比较，求得，则数列 an是一个等比数列 . (5) 递推关系形如“an1panqn(q，p为常数，且p1，q0) ”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型 (4) ，或同除以pn1转为用迭加法求解 . 2. 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1) 错位相减法求和时，将问题转化为等比数列的求和问题求解. (2) 并项求和时，将问题转化为等差数列求和. (3) 分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解. 提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n1 项中的前n项，哪些项构成等比数列， 以及两边需除

48、以代数式时注意要讨论代数式是否为零 . 3. 数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力. 其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在解题中的主要思路： 首先构造等差数列或等比数列模型， 然后用相应的通项公式与求和公式求解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解. 第 3 讲推理与证明考情解读(1) 以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现(2) 直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共

49、 37 页第 10讲空间几何体考情解读(1) 考查空间几何体表面积、体积的计算(2) 考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面成的几何体叫做球体同一个平面截一个球，截面是圆面3空间几何体的两组常用公式(1) 柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 37 页S锥侧12ch(c为底面周长，h为斜高 )；S台侧12(cc)

50、h(c，c分别为上，下底面的周长，h为斜高 )；S球表4R2(R为球的半径 ) (2) 柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体13Sh(S为底面面积，h为高)；V台13(SSSS)h(不要求记忆 )；V球43R3(R为球的半径 ). 1空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积” 多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和2在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量( 球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个