2022年高中数学解析几何专题 .pdf

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1、1 高中解析几何专题精编版1. 天津文设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2。点( , )P a b满足212| |.PFF F求椭圆的离心率e； 设 直 线PF2与 椭 圆 相 交 于 A， B 两 点 ， 假 设 直 线PF2与 圆22(1)(3)16xy相交于 M ，N两点，且5|8MNAB，求椭圆的方程。【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、 直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，总分值 13 分。解：设12(,0),( ,0

2、)(0)FcFcc，因为212| |PFF F，所以22()2acbc，整理得2210,1cccaaa得舍或11,.22cea所以解：由知2 ,3ac bc，可得椭圆方程为2223412xyc ，直线 FF2的方程为3().yxcA， B 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组2223412,3().xycyxc消 去y并 整 理 ， 得2580 xcx。解得1280,5xxc，得方程组的解21128,0,53 ,3 3.5xcxycyc不妨设83 3,55Acc，(0,3 )Bc ，所以2283 316|3.555ABcccc于是5| 2 .8MNABc圆心1, 3到直线 PF2的距离|33

3、3 |3 | 2|.22ccd因为222|42MNd，所以223(2)16.4cc整理得2712520cc，得267c舍 ，或2.c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2 所以椭圆方程为221.1612xy2. 已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为 2 2 ,0 ，斜率为 I 的直线l与椭圆 G交与 A、B两点，以 AB为底边作等腰三角形，顶点为P-3,2 . I 求椭圆 G的方程；II 求PAB的面积 . 【解析】解： 由已知得622,.3cca解得2 3.a又2224.bac所以椭圆

4、G的方程为221.124xy设直线 l 的方程为.mxy由141222yxmxy得. 01236422mmxx设 A、B的坐标分别为),)(,(),(212211xxyxyxAB中点为 E),(00yx，则,432210mxxx400mmxy因为 AB是等腰 PAB的底边，所以 PE AB. 所以 PE的斜率.143342mmk解得 m=2 。此时方程为.01242xx解得.0, 321xx所以.2, 121yy所以|AB|=23. 此时，点 P 3，2到直线 AB ：02yx的距离,2232|223|d所以 PAB的面积 S=.29|21dAB精选学习资料 - - - - - - - - -

5、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页3 3. ( 全国大纲文 )已知 O为坐标原点， F 为椭圆22:12yCx在 y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为- 2 的直线l与 C 交与A、B 两点，点P 满足0.OAOBOP证明：点P在 C上；II 设点 P关于 O的对称点为 Q ，证明： A、P、B、Q四点在同一圆上。【解析】22解： I F 0，1 ，l的方程为21yx，代入2212yx并化简得242 210.xx 2 分设112233(,),(,),(,),A x yB xyP xy则122626,44xx1212122,2()21,2xxyyxx由题意得312

6、3122(),()1.2xxxyyy所以点 P的坐标为2(, 1).2经验证，点 P的坐标为2(,1)2满足方程221,2yx故点 P在椭圆 C上。II 由2(, 1)2P和题设知，2(,1)2QPQ的垂直一部分线1l 的方程为2.2yx设 AB的中点为 M ，则2 1(,)42M，AB的垂直平分线为2l 的方程为21.24yx由、得12,ll 的交点为2 1(,)88N精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页4 2222122222213 11|()( 1),28883 2|1(2)|,23 2|,422113 3|(

7、)(),482883 11|,8NPABxxAMMNNAAMMN故|NP|=|NA| 。又|NP|=|NQ| ，|NA|=|NB| ，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ| ，由此知 A、P、B、Q四点在以 N为圆心， NA为半径的圆上。4. 全国新文在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆 C上I 求圆 C的方程；II 假设圆 C与直线0 xya交于 A，B两点，且,OAOB求 a 的值【解析】解：曲线162xxy与 y 轴的交点为 0，1，与 x 轴的交点为).0 ,223(),0,223故可设 C的圆心为 3，t ，则有,)22()1(32222tt解得 t=1

8、. 则圆 C的半径为.3)1(322t所以圆 C的方程为.9)1() 3(22yx设 A11,yx，B22, yx，其坐标满足方程组：.9)1()3(,022yxayx消去 y，得到方程.012)82(222aaxax由已知可得，判别式.0416562aa因此，,441656)28(22, 1aaax从而2120,422121aaxxaxx由于 OA OB ，可得,02121yyxx又,2211axyaxy所以.0)(222121axxaxx由，得1a，满足,0故.1a5. 辽宁文如图，已知椭圆C1的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N在 x 轴精选学习资料 - - - - - - -

9、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页5 上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN ，l与C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C ，D I 设12e，求 BC 与 AD 的比值；II 当 e 变化时，是否存在直线l ，使得 BO AN ，并说明理由【解析】解：I 因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa设直线:(| |)lxtta，分别与 C1，C2的方程联立，求得2222( ,),( ,).abA tatB tatba4分当13,22

10、ABebayy时分别用表示 A，B的纵坐标，可知222 |3|:|.2 |4BAybBCADya6 分II t=0 时的 l 不符合题意 .0t时，BO/AN当且仅当 BO的斜率 kBO与 AN的斜率kAN相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线 l ，使得 BO/AN；当212e时，存在直线 l 使得 BO/AN. 12 分6. 江西文已知过抛物线()ypx p的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)A x y和(,)()B xyxx两点，且 AB, 1求该抛物线的方程；2O为

11、坐标原点，C为抛物线上一点，假设OBOAOC，求的值【解析】 19 本小题总分值 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页6 1直线 AB的方程是2 2()2pyx，与22ypx联立，从而有22450,xpxp所以：1254pxx由抛物线定义得：12|9,ABxxp所以 p=4，从而抛物线方程是28 .yx2由224,450pxpxp可简化为212540,1,4,xxxx从而122 2,4 2,yy从而(1, 2 2),(4,42)AB设33(,)(1 2 2)(4,42)(41,422 2)OCxy又22338

12、,2 2(21)8(41),yx 即即2(21)41解得0,2.或7. 山东文 22 本小题总分值 14 分在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy如下图，斜率为(0)k k且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点( 3,)Dm求22mk的最小值；假设2OGOD?OE ，i 求证：直线l过定点；ii 试问点B，G能否关于x轴对称？假设能，求出此时ABG的外接圆方程；假设不能，请说明理由【解 析 】 22 I解： 设 直 线(0)lykxt k的方程为，由题意，0.t由方程组22,1,3ykxtxy得222(31)6330kxk

13、txt，由题意0，所以2231.kt设1122(,),(,)A x yB xy，由韦达定理得1226,31ktxxk所以1222.31tyyk由于 E为线段 AB的中点，因此223,3131EEkttxykk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页7 此时1.3EOEEykxk所以 OE所在直线方程为1,3yxk又由题设知 D -3，m ，令 x=-3，得1mk，即 mk=1 ，所以2222,mkmk当且仅当 m=k=1时上式等号成立，此时由0得02,t因此当102mkt且时，22mk取最小值 2。II i 由I 知 O

14、D所在直线的方程为1,3yxk将其代入椭圆 C的方程，并由0,k解得2231(,)3131kGkk，又2231(,),( 3,)31 31ktEDkkk，由距离公式及0t得22222222222222223191|()(),313131191|( 3)(),391|()(),313131kkOGkkkkODkkktttkOEkkk由2| |,OGODOEtk得因此，直线l的方程为(1).yk x所以，直线( 1,0).l恒过定点ii 由 i 得2231(,)3131kGkk假设 B，G关于 x 轴对称，则2231(,).3131kBkk代入22(1)3131,yk xkkk整理得即426710

15、kk，解得216k舍去或21,k所以 k=1，此时313 1(,),(,)222 2BG关于 x 轴对称。又由 I 得110,1,xy所以 A0，1 。由于ABG的外接圆的圆心在x 轴上，可设ABG的外接圆的圆心为d， 0 ，因此223111(),242ddd解得故ABG的外接圆的半径为2512rd，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页8 所以ABG的外接圆方程为2215().24xy8. 陕西文 17 本小题总分值 12 分设椭圆 C: 222210 xyabab过点 0，4 ，离心率为35求 C的方程；求过点 3

16、，0且斜率为45的直线被 C所截线段的中点坐标。【解析】 17解将 0，4代入 C的方程得2161bb=4 又35cea得222925aba即2169125a，a=5 C的方程为2212516xy过点3,0 且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与的交点为11,x y，22,xy，将直线方程435yx代入的方程，得22312525xx，即2380 xx，解得13412x，23412x， AB 的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即中点为36,25。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。9. 上海文 22 16 分已知椭圆222:1xCym常数1m ，点P是C上的动点

17、，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)。1假设M与A重合，求C的焦点坐标；2假设3m，求|PA的最大值与最小值；3假设|PA的最小值为|MA，求m的取值范围。【解析】 22解：2m，椭圆方程为2214xy，413c左右焦点坐标为 (3,0),(3,0) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页9 3m，椭圆方程为2219xy，设( , )P x y，则222222891|(2)(2)1()( 33)9942xPAxyxxx94x时min2|2PA；3x时max|5PA。 设动点( , )P x y，则222222222

18、222124|(2)(2)1()5()11xmmmPAxyxxmxmmmmm当xm时，|PA取最小值，且2210mm，2221mmm且1m解得112m。10. 四川文 21 本小题共 l2 分过点C(0 ，1)的椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆与x轴交于两点( ,0)A a、(,0)Aa，过点 C的直线 l 与椭圆交于另一点D ，并与 x 轴交于点 P，直线 AC与直线 BD交于点 Q I 当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段CD的长；当点 P异于点 B时，求证：OP OQ为定值本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力解

19、： 由已知得31,2cba，解得2a，所以椭圆方程为2214xy椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为313yx，代入椭圆方程得278 30 xx，解得128 30,7xx，代入直线l的方程得1211,7yy，所以8 31(,)77D，故228 3116|(0)(1)777CD当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为11(0)2ykxkk且代入椭圆方程得22(41)80kxkx解得12280,41kxxk，代入直线l的方程得2122141,41kyyk，所以 D点的坐标为222814(,)41 41kkkk又直线 AC的方程为12xy，又直线BD 的方程为12(2)24kyxk，联

20、立得4 ,21.xkyk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页10 因此( 4 ,21)Qkk，又1(,0)Pk所以1(,0)(4 ,21)4OP OQkkk故OP OQ为定值11. 浙江文22 本小题总分值15 分如图，设 P是抛物线1C ：2xy上的动点。 过点P做圆2C1) 3(:22yx的两条切线，交直线l：3y于,A B两点。求2C 的圆心M到抛物线1C 准线的距离。是否存在点P，使线段AB被抛物线1C 在点P处得切线平分，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。【解析】 22此题主要考查抛物线几何

21、性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。总分值15 分。解：因为抛物线C1的准线方程为：14y所以圆心 M到抛物线 C1准线的距离为：111|( 3) |.44解：设点P的坐标为200(,)xx，抛物线 C1在点 P处的切线交直线l于点D。再设 A，B，D的横坐标分别为,ABCxxx过点200(,)P xx的抛物线 C1的切线方程为：20002()yxxxx1当01x时，过点 P1，1与圆 C2的切线 PA为：151(1)8yx可得17,1,1,215ABDABDxxxxxx当10 x时，过点 P1，1与圆 C2的切线 PA为：151(1)8yx可

22、得DBADBAxxxxxx2, 1,1517, 117,1,1,215ABDABDxxxxxx所以2010 x设切线 PA ，PB的斜率为12,k k ，则2010:()PA yxk xx22020:()PByxkxx3将3y分别代入 1 ， 2 ， 3得22200000012011333(0);(,0)2DABxxxxxxxxxk kxkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页11 从而20012112(3)().ABxxxxkk又201021|3 |11x kxk即22222010010(1)2(3)(3)10

23、xkxx kx同理，22222020020(1)2(3)(3)10 xkxx kx所以12,k k 是方程222220000(1)2(3)(3)10 xkxx kx的两个不相等的根，从而222000121222002(3)(3)1,.11xxxkkkkxx因为02xxxBA所以220001201203111112(3)(),.xxxkkxkkx即从而20022002(3)1(3)1xxxx进而得44008,8xx综上所述，存在点P满足题意，点 P的坐标为4(8,22).12. 重庆文 21 本小题总分值 12 分。 小问 4 分， 小问 8 分如题 21 图， 椭圆的中心为原点0， 离心率 e

24、=22， 一条准线的方程是2 2x求该椭圆的标准方程；设动点P 满足：2OPOMON ，其中 M 、N 是椭圆上的点，直线OM与 ON的斜率之积为12， 问： 是否存在定点 F，使得 PF 与点 P到直线 l ：2 10 x的距离之比为定值；假设存在，求F 的坐标，假设不存在，说明理由。【解析】 21 此题 12 分解： I 由22,2 2,2caeac解得2222,2,2acbac，故椭圆的标准方程为221.42xyII 设1122( , ),(,),(,)P x yM x yN xy，则由2OPOMON 得112212121212( , )(,)2(,)(2,2),2,2.x yxyxyx

25、xyyxxxyyy即因为点 M ，N在椭圆2224xy上，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12 2222112224,24xyxy，故222222121212122(44)2(44)xyxxx xyyy y2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).xyxyx xy yx xy y设,OMONkk分别为直线 OM ，ON的斜率，由题设条件知12121,2OMONy ykkx x因此121220,x xy y所以22220.xy所以 P点是椭圆22221(2 5)( 10)xy上的点，

26、该椭圆的右焦点为( 10,0)F，离心率2,:2 102elx直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点( 10,0)F，使得 |PF| 与 P点到直线 l 的距离之比为定值。13. 安徽文17 本小题总分值 13 分设直线.02, 1:, 1:21212211kkkkxkylxkyl满足其中实数I 证明1l 与2l 相交；II 证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.【解析】 17 本小题总分值13 分此题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明， 点在曲线上的判断与证明， 椭圆方程等基本知识， 考查推理论证能力和运算求解能力 . 证明： I 反证法，假设是l1

27、与 l2不相交，则 l1与 l2平行，有 k1=k2，代入k1k2+2=0，得.0221k此与 k1为实数的事实相矛盾 . 从而2121,llkk与即相交. II 方法一由方程组1121xkyxky解得交点 P的坐标),(yx为.,2121212kkkkykkx而. 144228)()2(22222122212121222121222121221222kkkkkkkkkkkkkkkkkkyx此即说明交点.12),(22上在椭圆yxyxP方法二交点 P的坐标),(yx满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页13 .0

28、211,02.1,1.011212121xyxykkxykxykxxkyxky得代入从而故知整理后，得, 1222yx所以交点 P在椭圆.1222上yx14. 福建文 18 本小题总分值 12 分如图，直线 l ：y=x+b 与抛物线 C：x2=4y 相切于点A。I 求实数 b 的值；11求以点 A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。 【解析】 18本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，总分值12 分。解： I 由22,4404yxbxxbxy得， *因为直线l与抛物线 C相切，所以2( 4)4 ( 4 )0,b解得 b=-1。II

29、 由 I 可知21,(*)440bxx故方程即为，解得 x=2，代入24 ,1.xyy得故点 A2，1 ，因为圆 A与抛物线 C的准线相切，所以圆 A的半径 r 等于圆心 A到抛物线的准线 y=-1 的距离，即|1( 1)|2,r所以圆 A的方程为22(2)(1)4.xy15. 湖北文 21 本小题总分值 14 分平面内与两定点1,0Aa、2,0Aa0a连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 、A2两点所成的曲线 C可以是圆、椭圆或双曲线。求曲线 C的方程，并讨论 C的形状与 m值的关系；当1m时，对应的曲线为1C ；对给定的), 0()0 ,1(m，对应的曲线为2C ，设1F 、2

30、F 是2C 的两个焦点。试问：在1C 上，是否存在点N，使得1FN2F 的面积2|Sm a 。假设存在，求tan1FN2F 的值；假设不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页14 【解析】21本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。总分值 14 分解： I 设动点为 M ，其坐标为( ,)x y，当xa时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa即222()mxymaxa，又12(,0),( ,0)AaAA的坐标满足222

31、,mxyma故依题意，曲线 C的方程为222.mxyma当1,m时 曲线 C的方程为22221,xyCama是焦点在 y 轴上的椭圆；当1m时，曲线 C的方程为222xya ，C是圆心在原点的圆；当10m时，曲线 C的方程为22221xyama，C是焦点在 x 轴上的椭圆；当0m时，曲线 C的方程为22221,xyamaC是焦点在 x 轴上的双曲线。II 由 I 知，当 m=-1时，C1的方程为222;xya当( 1,0)(0,)m时，C2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am对于给定的( 1,0)(0,)m，C1上存在点000(,)(0)N xyy使得2|Sm a 的充要

32、条件是22200020,0,121| |.2xyayamym a由得00 |,ya 由得0|.1m aym当|150,0,21m aamm即或1502m时，存在点 N，使 S=|m|a2；当|15,21m aam即-1m0，求证： PA PB 【解析】18本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，总分值 16 分. 解： 1由题设知，),2,0(),0,2(,2,2NMba故所以线段 MN 中点的坐标为)22, 1(，由于直线 PA平分线段 MN ，故直线 PA过线段 MN 的中点，又直线 PA过坐标原点，所以.

33、22122k2直线 PA的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此于是),0,32(C直线 AC的斜率为.032, 13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此3解法一：将直线PA的方程kxy代入2222221,421212xyxkk解得记则)0,(),(),(CkAkP于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18 故直线 AB的斜率为,20kk其方程为,0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223

34、222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk或因此. 于是直线 PB的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk因此., 11PBPAkk所以解法二：设)0,(),(, 0, 0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则. 设 直 线PB， AB 的 斜 率 分 别 为21,kk因 为C 在 直 线AB 上 ， 所 以.22)()(0111112kxyxxyk从而1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk.044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy因此., 11PBPAkk所以 zxsx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页