线性代数+高数基础知识框架(共48页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业线性代数知识框架 注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.注： 关于：称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；线性无关；任意一个维向量都可以用线性表示.行列式的定义 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若都是方阵（不必同阶）,则上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：范德蒙德行列式：矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或伴随矩阵 ，为中各个元素的代数余子式. 逆

2、矩阵的求法: 注： 方阵的幂的性质： 设的列向量为,的列向量为，则 ，为的解可由线性表示. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵. 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的逆矩阵： 分块对角阵相乘：分块对角阵的伴随矩阵： 矩阵方程的解法()：设法化成 与同解（列向量个数相同）,则： 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵与的行向量

3、组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）； 矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）. 判断是的基础解系的条件： 线性无关； 都是的解； . 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组中任一向量都是此向量组的线性组合. 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量

4、线性表示. 维列向量组线性相关； 维列向量组线性无关. . 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一. 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对施行一

5、次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘；对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘.矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作：向量组等价 和可以相互线性表示. 记作： 矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价矩阵与等价. 向量组可由向量组线性表示有解. 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表示,则. 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价； 任

6、一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关； 若，的列向量线性无关,即：线性无关. 矩阵的秩的性质： 若且在矩阵乘法中有左消去律；若 且在矩阵乘法中有右消去律. 初等矩阵的性质：注：线性方程组的矩阵式 向量式 矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）线性方程组解的性质： 设为矩阵,若,一定有解， 当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关. 是的上限.标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量

7、长度为1. .是单位向量 . 内积的性质： 正定性： 对称性： 双线性： 的特征矩阵 .的特征多项式 . 是矩阵的特征多项式的特征方程 . ，称为矩阵的迹. 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素. 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量. 一定可分解为=、,从而的特征值为：, . 若的全部特征值，是多项式,则: 的全部特征值为； 若满足,则的任何一个特征值必满足. 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式. 的特征向量不一定是的特征向量. 与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.与相似 （为可逆矩阵） 记为：与正交相似 （为正交矩阵）可以相似对角化 与对角阵相似

8、. 记为： （称是的相似标准形） 可相似对角化 为的重数恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：. 注：当为的特征值时，可相似对角化的重数 基础解系的个数. 若可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）. 若阶矩阵有个互异的特征值,则可相似对角化. 若=， 相似矩阵的性质： 从而同时可逆或不可逆 ； （若均可逆）； （为整数）；，,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注:是关于的特征向量,是关于的特征向量. 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不

9、同特征值对应的特征向量必定正交； 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,该特征值的重数=）.正交矩阵 为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基. 正交矩阵的性质： ； ； 正交阵的行列式等于1或-1； 是正交阵,则，也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 的行（列）向量都是单位正交向量组.二次型 ，即为对称矩阵，与合同 . 记作： （）正惯性指数 二次型的规范形中正项项数；负惯性指数二次型的规范形

10、中负项项数；符号差 . (为二次型的秩) 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是： 两个矩阵合同的必要条件是： 经过化为标准形. 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的. 当标准形中的系数为-1或0或1时,为规范形 . 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 惯性定理：任一实对称矩阵与唯一对角阵合同. 用正交变换法化二次型为标准形: 求出的特征值、特征向量； 对个特征向量正交化、单位化； 构造（正交矩阵）,作变换,则新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.施密特正交规范化 线性无关, 单位化： 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。例如：取，.正定二次型 不全为零，.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. 为正定二次型（之一成立）： ，； 的正惯性指数为； 的特征值全大于； 的所有顺序主子式全大于； 与合同，即存在可逆矩阵使得； 存在正交矩阵，使得 （大于）. 存在可逆矩阵，使得； 合同变换不改变二次型的正定性. 为正定矩阵的必要条件： ； . 若为正定矩阵也是正定矩阵. 若为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.【完】