函数的连续性与间断点PPT课件.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五1第第八节节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 第一章第一章 （Continuity and Discontinuity of Function）三、函数的间断点三、函数的间断点二、函数的连续性二、函数的连续性一、问题的提出一、问题的提出四、小结与思考题四、小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五2一、问题的提出一、问题的提出（Introduction）0T (时间时间)温度温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性返回返回上页上页下页下页目

2、录目录2022年7月22日星期五3二、函数的连续性二、函数的连续性（Continuity of Function）1.1.函数的增量函数的增量返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五42. 连续的定义连续的定义（Definition of Continuity ）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五5)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf设函数设函数且且定义定义2返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五63. 单侧连续单侧连续(One-side

3、d Continuity)左连续左连续 (Left Continuity) :)(0 xf00lim( )()xxxf xf,0,0当当),(00 xxx时时, 有有0( ).)f xf x右连续右连续(Right Continuity) :)(0 xf00lim( )()xxxf xf,0,0当当),(00 xxx时时, 有有0( ).)f xf x定理定理00lim( )()xxxffx000lim( )lim()( )xxxxf xffxx与单侧极限与单侧极限相类似！相类似！返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五74. 连续函数连续函数(Continuous Func

4、tion)若若)(xf在某区间上在某区间上每一点每一点都连续都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该或称它为该区间上区间上的的连续函数连续函数 .如果此区间包含如果此区间包含端点端点， 那么那么（1）函数在）函数在左左端点端点连续是指连续是指在在左左端点端点右右连续，连续，（2）函数在）函数在右右端点端点连续是指连续是指在在右右端点端点左左连续连续.连续函数的图形连续函数的图形是一条是一条连续连续而而不间断不间断的曲线的曲线. ,baC在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五8)()

5、(lim, ),(000 xPxPxxxnnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .( 有理有理整整函数函数 )又如又如, 有理有理分式分式函数函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx例如例如,返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五9xysin在在),(内连续内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx222 sincos()xxyx122 xx0 x即即0lim0yx这说明这说明xysin在在),(内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数xy

6、cos在在),(内连续内连续 .0例例1 证明函数证明函数返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五1021, 031, 0 xxyxx0 x 00limlim(31)011xxyx 00limlim(21)011xxyx 0 x (0)1(0 )ff y0 x 例例2 讨论函数讨论函数在在处的连续性处的连续性解解由于由于即即左右极限不相等左右极限不相等，所以该函数在，所以该函数在但是但是，因为，因为点不连续点不连续，所以函数，所以函数在在处处右连续右连续返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五11三、函数的间断点三、函数的间断点（Discontinuity

7、of Function）定义定义3在在在在(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , 则则这样的点这样的点0 x下列情形下列情形之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五12第一类间断点第一类间断点

8、:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .间断点分类间断点分类:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五13xytan) 1 (2x为其为其无穷无穷间断点间断点 .0 x为其为其振荡振荡间断点间断点 .xy

9、1sin) 2(1x为为可去可去间断点间断点 .11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0例如例如:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五141) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其为其可去可去间断点间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其为其跳跃跳跃间断点间断点 .返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五15asin , 0,( ), 0,xxf xaxx0 x (0)0faa00lim( )lim(sin )0 xxf

10、 xx00lim( )lim()xxf xaxa(0 )(0 )(0)fff0a 0a ( )f x0 x 例例3 当当取何值时，函数取何值时，函数解解 因为因为要使要使，则需要，则需要故当且仅当故当且仅当时，函数时，函数在在点连续点连续在在处连续处连续返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五16内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间

11、断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五17课后练习课后练习习习 题题 1-8 2（偶数题偶数题） 5 6思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类是第二类无穷无穷间断点间断点 .间断点的类型间断点的类型.答案答案: x = 1 是第一类是第一类可去可去间断点间断点 ,返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五182. 讨论函数讨论函数2,0,( )2,

12、0,xxf xxx在在0 x 处的连续性。处的连续性。解：解：)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续, ,故函数故函数( )f x在点在点0 x 不连续。不连续。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五193. 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别 22(1)( )lim1nnnxxf xx习题习题19 3（2）,| 1( )0,| 1,| 1xxf xxxx11xx 和为跳跃间断点为跳跃间断点. . 解：解：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月22日星期五20间断点的类型间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf4. 确定函数确定函数