有理数的概念数轴绝对值.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date有理数的概念数轴绝对值2013年冬季初一数学讲义第一讲（130126）有理数概念数轴绝对值一、正负数，有理数定义，有理数分类知识回顾 1、正数与负数（1）正数：像3，2，0.5这样大于0的数叫做 。（2）负数：像3，2，155这样在正数前面加上负号“”的数叫做 。（3）0既不是 也不是 ，0是正数与负数的 。0的意义已不仅是表示“没有”，如0是一个确定的温度，海拔0表

2、示海平面的平均高度。（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有 的意义。（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“”就是正数，带“”的就是负数，如a，当a0时，a ，当a表示负数时a是 ，只有当a是正数时a才是 。2、有理数的定义 、 、 统称为整数。如：101，0，10.正分数和负分数统称为 ，如：0.3，3.1。整数和分数统称有理数。有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为 、 。3、有理数分类 有理数 正数负数 有理数 正分数负分数典型例题 例1、判断：（边读题边判断边讲解） （1）前面带有“”的数是负数（ ） （2）在有理数中0的意义仅仅表示没有（ ） （3）3.14既不是整数也

3、不是分数，因此它不是有理数( ) 例2、填空：（将题抄写在黑板上） -4.5， 3.14， -2， +43， ， 0.618， ，0，-0.212，负数： 个；分数： 个；正分数： 个；负整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个；例3、（1）在知识竞赛中，如果用10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？（2）某人转动转盘，如果用5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作0.02克，那么0.03克表示什么？ 随堂练习1、判断（1）存在既不是正数，也不是负数的数（） （2）a是正数（） （3）a是正数（）

4、（4） a和a一定有一个表示负数（） （5）a和a表示一对相反数（）2、将下列各数分别填入相应的大括号里：-3.5， 3.14， -2， +43， ， 0.618， ，0，-0.202正数： 个；整数： 个；负分数： 个；正整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个；3、（1）如果节约20千瓦时记作20千瓦时，那么浪费10千瓦时电记作什么？（2）如果20.50元表示亏本20.50元，那么100.57元表示什么？（3）如果20%表示增加20%，那么6%表示什么？二、数轴知识回顾一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：（1）在直

5、线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的；（2）通常规定直线上从原点 （或向上）为正方向，从原点 （或向下）为负方向；（3）选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3， 典型例题例1、数轴上的点（2道题共用一条数轴，后面的在前面的基础上变化而来） （1）在数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为 。 （2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是 。随堂练习1、如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD=6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为 2、 在数轴上点

6、P表示的数是2，那么在同一数轴上与点P相距5个单位的点表示的数是 。3、点A为数轴上表示-2的动点，当A点沿数轴移动4个单位长度到B点时，点B所表示的实数为 。4、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数_的点。三、相反数，绝对值，倒数知识回顾 1、相反数几何定义：数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的 ，这两个点关于 对称。代数定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数。（1）在任意一个数前面加上“ ”号，新的数就是原数的相反数。如（3）3，（1.6）1.6。数a的相反数是 ，0的相反数是 。相反数是它本身的数是 。（2）a,b互为相反数

7、 或 或 2、绝对值 (a0) (a0) (a0)几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与 叫做数a的绝对值，记作 (a0) (a0)代数定义：a= 或 a= 注：非负数的绝对值等于它的 ，负数的绝对值等于它的 。 3、倒数 定义： 的两个数互为倒数。 若ab1，则a,b互为倒数。如：3与-13互为倒数，1的倒数是1，1的倒数是1.特别提示：倒数和相反数的区别（1）符号上不同：互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反（零除外）；（2）和、积不同：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1；（3）零的问题：零的相反数是零；零没有倒数。 典型例题1、（6.6） 。2、（2009年福

8、州）2010的相反数是 。3、若a2 的相反数是5，则a 的值为_4、求下列各数的绝对值 （1）38； （2）3c(c0)； （3）m2(m2)； （4）m-n(mn) 5、求下面每个数的倒数 （1）38； （2）0.25； （3）-3.5； (4)0； (5)1，-1； 6、判断 （1）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （3）|a|一定是正数（ ）7、 。（b0) 随堂练习 1、判断(边读边判断边讲解） （1）两个有理数，绝对值小的离原点近（ ） （2）有理数的绝对值一定是正数（ ） （3）如果两个数的绝对值相等，那

9、么这两个数相等（ ） （4）|a|=a，则a一定是非正数（ ） （5）若|a |b|，则a b； ( ) （6） ；（） 2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）（1）0.15 （2）a(a0) （3）a2(a2) （4）a-b(ab) 3、若，则的值是 . 4、(2010巴中)-32的倒数的绝对值 。 5、如果-23的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是 。四、有理数大小比较知识回顾在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即 小于 。（1）正数大于0，0大于负数，正数大于 ；（2）两个负数，绝对值大的 。 典型例题例1、比较下列每组数的大小：

10、（1）-2和+6； （2）0和-1.8； （3）-和-4；例2、指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来。 随堂练习 1、比较下列每组数的大小：（1）10，7； （2）3.8，4.1，3.9； （3），； （4）和； 2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。7，3.5，0，五、经典例题范例1（1）最大的负整数是 ； 最小的正整数是 ；（2）既不是整数，也不是正数的有理数是 ；（3）所有的小数都能化成分数吗？ 。 教师总结知识点有限小数和循环小数可以化为分数，他们是有理数范例2 （1）已知A在数轴上表示2的点，在数轴上标出与点A的距离是2个长度单

11、位的点，并读出这样的点所表示的数。 （2）已知A在数轴上表示2的点，在数轴上标出与点A的距离是3个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数。范例3 判断下列直线图4-2（1）（2）（3）是否是数轴？ (1) -2 -1 0 1 2(2) 0 (3) 1 2 图 4-2（1）范例4 若的相反数是8，则的相反数是多少？范例5 若一个数与这个数的相反数的差为2，那么这个数是多少呢?范例6已知以a0，计算l+2a+12a的值范例7 已知|2x5|xy|0，试求x,y的值范例8 如果a0,则有可能取什么样的值呢？教师总结知识点一个非零数和它的绝对值的商为1或者1范例9 把下列各数，按从小到大的次序，用“”

12、号连接起来：2，2，3，3，0，范例10比较和0.28的大小；分折：比较两个负数的大小，可先比较这两个负数的绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”下结论解（）方法一：，0.28，0.28 方法二：，0.28，0.28 方法三：0281, 0.280.280.2810.28,0.28 范例11已知：|a|3，|b|2，且ab，求a+b的值范例12(1)已知：|x|=x，求x的取值范围；（2）已知，求x的取值范围范例13已知三个有理数、，是的相反数，是的倒数，比较和的大小？并简要说明理由中考链接1.请你在数轴上用“”表示出比1小2的数 -3 -2 -1 0 1 22.m,n互为相反数

13、,则m+n= 。 3.若x的相反数是3,y=5,则x+y的值是 。六、课内练习1当时， ；的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，相反数为3的数为 2 绝对值不大于4的整数是 绝对值不大于4的整数的和是 的倒数与的相反数的差等于 3 满足的数有 个，他们是 ；满足的数有 个，他们是 ；满足的数有 个4若，则 代数式的所有可能的值为_5在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为 ，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个点6已知，用“”符号把，连接起来的式子为 7如果，那么 已知，则的值为_8若、互为相反数，、互为倒数， 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则 的值是 9若，若 0

14、，若，若 0当时，化简=_10如果，那么 ， 11绝对值小于10的所有的整数的和是 ，积是 12若，式子的值（为整数）是 13若，计算代数式：=_.14如果收入20元记作+20元，那么-75元表示 如果-30%表示减少30%，那么+50%表示 15的相反数为_. 大于45的非正整数有 个，大于76且小于29的整数有 个16是 的相反数，若，则 绝对值最小的数是 ，绝对值等于 的数是 17绝对值小于3的整数有 个，它们是 已知，则 18若，则 0；已知，则的值为_19已知,，且，用“”号将、连接起来为_20小明同学每天早上6：00钟开始起床，起床穿衣的时间需要5分钟，起床后他立即用煤气灶煮早饭，

15、早饭一共需要7分钟才能煮熟，他洗脸、漱口时间需要5分钟，吃早饭需要8分钟，吃完早饭就去上学，小明同学很会合理安排时间，他从开始起床到吃完早饭仅需要 分钟，请你以后在生活中实践一下21已知，则的值为 ；绝对值不大于4的整数的和是 220减去的相反数，结果是 的绝对值与的相反数的差是 23若，且，则_; 已知，则 24若，且，则 0， 025，则 26若，则 若为整数，则 2754 的底数是 ，它表示 ， 28若、互为倒数，、互为相反数， 29 ， 30四个互不相等的整数、的积是9，则 31已知与互为倒数，与互为相反数，且，求的值32绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 如果，并且、异号，则 3

16、3 如果，那么 的底数是 ，指数是 34 一个有理数与它的倒数相等，这样的有理数是 35如果，且，则（ ） A B C D36如果，且，那么是（ ） A 正数 B 负数 C 0 D 以上都有可能37下列说法正确的是（ ）A 几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负 B 几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为正C 几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个 D 几个有理数相乘，当因数有偶数个时，积为正38已知：，则的值为（ ） A 1 B1 C1或-1 D9或-939下列说法正确的是（ ） A正数和负数互为相反数 B数轴上，原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数 C除0以外的数都有它的相反

17、数 D任何一个数都有它的相反数40下列说法正确的是（ ）A 绝对值等于它本身的数一定是正数 B最大的负数是-1 C整数是由正整数和负整数所组成的 D有限小数是有理数41有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列结论错误的是A B C D 0冬季预初数学讲义第二讲（140122）课后作业本试卷共18题，时间45分钟，满分100分）班级： 姓名： 一填空题1满足3的整数是 _2规定了 ， ， 的直线叫做数轴3如果，那么 4如果与3互为相反数，那么 5如果，那么 6与 互为相反数，与 互为倒数7比较大小： （填“”、“”或“”号）二、判断题1互为相反数的两个数的绝对值的和一定大于零( )2所有的有理数

18、都能在数轴上找到与它对应的点( )3对于任意有理数，都有( )4的次方与的次方互为相反数( )三、选择题：1在理数中，一个数的相反数等于它本身的有（）个； B个；C个；D无数个2下列说法正确的是（）一定是负数； B数轴上原点两旁的数是相反数；C一个数的绝对值是正数； D任何有理数都有相反数3有、四个非零数，下列不等式不能成立的是（） ； B ； C； D 4下列说法错误的是（ ）（A）正数的倒数是正数； （B）负数的倒数是负数； （C）0没有相反数； （D）0没有倒数5如果，那么下列结论正确的是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）以上答案都有错误四、比较下列每组的大小：（1）和； （2）

19、087和； (3)比较和的大小 (4)已知，试比较、的大小五化简：（）；（）； （），其中六综合题1已知，求、的值2已知，求的取值范围3一个数的绝对值的倒数等于，这个数的绝对值是多少4设、三个有理数在数轴上对应的点A、B、C的位置如图所示，请化简： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4七、简答题：(1)已知甲数的绝对值大于乙数的绝对值，能断定甲数一定大于乙数吗？举例说明 (2) 已知甲数小于乙数，能断定甲数的绝对值一定小于乙数的绝对值吗？举例说明 ()如果甲乙两数的绝对值相等，甲乙两数的关系有哪几种可能？举例说明老师讲义2014年冬季预初数学讲义第二讲（140122）有理数概念数轴绝对值

20、一、正负数，有理数定义，有理数分类知识回顾 1、正数与负数（1）正数：像3，2，0.5这样大于0的数叫做 。（2）负数：像3，2，155这样在正数前面加上负号“”的数叫做 。（3）0既不是 也不是 ，0是正数与负数的 。0的意义已不仅是表示“没有”，如0是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有 的意义。（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“”就是正数，带“”的就是负数，如a，当a0时，a ，当a表示负数时a是 ，只有当a是正数时a才是 。2、有理数的定义 、 、 统称为整数。如：101，0，10.正分数和负分数统称为 ，如：0.3，3.1

21、。整数和分数统称有理数。有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为 、 。3、有理数分类 有理数 正数负数 有理数 正分数负分数典型例题 例1、判断：（边读题边判断边讲解） （1）前面带有“”的数是负数（ ） （2）在有理数中0的意义仅仅表示没有（ ） （3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数( ) 例2、填空：（将题抄写在黑板上） -4.5， 3.14， -2， +43， ， 0.618， ，0，-0.212，负数： 个；分数： 个；正分数： 个；负整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个；例3、（1）在知识竞赛中，如果用10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？（2）某人转动

22、转盘，如果用5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作0.02克，那么0.03克表示什么？ 随堂练习1、判断（1）存在既不是正数，也不是负数的数（） （2）a是正数（） （3）a是正数（） （4） a和a一定有一个表示负数（） （5）a和a表示一对相反数（）2、将下列各数分别填入相应的大括号里：-3.5， 3.14， -2， +43， ， 0.618， ，0，-0.202正数： 个；整数： 个；负分数： 个；正整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个；3、（1）如果节约20千瓦时记作20千瓦时，那么浪费

23、10千瓦时电记作什么？（2）如果20.50元表示亏本20.50元，那么100.57元表示什么？（3）如果20%表示增加20%，那么6%表示什么？二、数轴知识回顾一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：（1）在直线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的；（2）通常规定直线上从原点 （或向上）为正方向，从原点 （或向下）为负方向；（3）选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3， 典型例题例1、数轴上的点（2道题共用一条

24、数轴，后面的在前面的基础上变化而来） （1）在数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为 。 （2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是 。随堂练习1、如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD=6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为 2、 在数轴上点P表示的数是2，那么在同一数轴上与点P相距5个单位的点表示的数是 。3、点A为数轴上表示-2的动点，当A点沿数轴移动4个单位长度到B点时，点B所表示的实数为 。4、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数_的点。三、相反数，绝对值，倒数知识回顾 1、相反数几何定义：数轴上

25、表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的 ，这两个点关于 对称。代数定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数。（1）在任意一个数前面加上“ ”号，新的数就是原数的相反数。如（3）3，（1.6）1.6。数a的相反数是 ，0的相反数是 。相反数是它本身的数是 。（2）a,b互为相反数 或 或 2、绝对值 (a0) (a0) (a0)几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与 叫做数a的绝对值，记作 (a0) (a0)代数定义：a= 或 a= 注：非负数的绝对值等于它的 ，负数的绝对值等于它的 。 3、倒数 定义： 的两个数互为倒数。 若ab1，则a,b互为倒数。如：3与-13互为倒数，1的倒数是1，1

26、的倒数是1.特别提示：倒数和相反数的区别（1）符号上不同：互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反（零除外）；（2）和、积不同：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1；（3）零的问题：零的相反数是零；零没有倒数。 典型例题1、（6.6） 。2、（2009年福州）2010的相反数是 。3、若a2 的相反数是5，则a 的值为_4、求下列各数的绝对值 （1）38； （2）3c(c0)； （3）m2(m2)； （4）m-n(mn) 5、求下面每个数的倒数 （1）38； （2）0.25； （3）-3.5； (4)0； (5)1，-1； 6、判断 （1）如果一个数是正数，那么这个数的

27、绝对值是它本身（ ） （2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （3）|a|一定是正数（ ）7、 。（b0) 随堂练习 1、判断(边读边判断边讲解） （1）两个有理数，绝对值小的离原点近（ ） （2）有理数的绝对值一定是正数（ ） （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（ ） （4）|a|=a，则a一定是非正数（ ） （5）若|a |b|，则a b； ( ) （6） ；（） 2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）（1）0.15 （2）a(a0) （3）a2(a2) （4）a-b(ab) 3、若，则的值是 . 4、(2010巴中)-32的倒数的绝

28、对值 。 5、如果-23的相反数恰好是有理数a的绝对值，那么a的值是 。四、有理数大小比较知识回顾在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即 小于 。（1）正数大于0，0大于负数，正数大于 ；（2）两个负数，绝对值大的 。 典型例题例1、比较下列每组数的大小：（1）-2和+6； （2）0和-1.8； （3）-和-4；例2、指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来。 随堂练习 1、比较下列每组数的大小：（1）10，7； （2）3.8，4.1，3.9； （3），； （4）和； 2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。7，3.5，

29、0，五、经典例题范例1（1）最大的负整数是 ； 最小的正整数是 ；（2）既不是整数，也不是正数的有理数是 ；（3）所有的小数都能化成分数吗？ 。答案：(1)负整数是小于零的整数，所以最大的负整数是1，同样可以得到最小的正整数是l(2)不是整数的数是分数，不是正数的数是负数和零，从而既不是整数也不是正数的有理数是负分数；(3)只有有限小数和循环小数可以化为分数而无限不循环小数是不能化为分数的，例如，我们知道著名的圆周率就不能化为分数教师总结知识点有限小数和循环小数可以化为分数，他们是有理数范例2 已知A在数轴上表示2的点，在数轴上标出与点A的距离是2个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数 答案

30、：(1)先在数轴上找到表示2的点A；(2)在数轴上距离点A 2个长度单位的点有左右两个，一个在A的右侧，一个在A的左侧；(3)从A出发往右走两步得到的就是零点O，而往左走两步得到的是4，就是图中的B点，从而图中的O和B就是我们要找的点，同时这两个数分别是0和4教师总结知识点利用数轴我们可以方便的找到一些我们要找的数范例3 判断下列直线图4-2（1）是否是数轴？ (1) -2 -1 0 1 2(2) 0 (3) 1 2 图 4-2（1）答案: (1)缺少正方向（2）缺少单位长度；（3）缺少原点范例4 若的相反数是8，则的相反数是多少？解 因为 8的相反数是8，根据题意，得 8解方程，得 5所以的

31、相反数是5范例5 若一个数与这个数的相反数的差为2，那么这个数是多少呢?答案： (1)设这个数是a,那么a的相反数是a； (2)原问题转化为“a与a的差为2,求a的值”；(3)列出方程：a(a)2,也就是aa2；(4)最后得到以a1范例6已知以a0，计算l+2a+12a的值分析: 还是要判断绝对值之中数的符号，也就是要判断l2a的符号答案:(1)因为a0，所以2a0，从而12a必然大于0，从而|12a|12a(2)12a+ |12a|1+2a12a2范例7 已知|2x5|xy|0，试求x,y的值答案:(1)由于|2x5|，|xy|都是非负数，而它们的和又是0，所以只有2x5xy0；(2)由2x

32、50得到x，又由xy0得到yx；(3)从而x，y的值都是范例8 如果a0,则有可能取什么样的值呢？答案: 我们知道a 有可能等于a也有可能等于a，从而有可能等于1和1； 教师总结知识点一个非零数和它的绝对值的商为1或者1范例9 把下列各数，按从小到大的次序，用“”号连接起来：2，2，3，3，0，分析：比较几个有理数的大小，可以先用数轴上的点来表示这些数（如果题目没有特别要求，只要画一个大致的草图即可），然后按照数轴上左边的数较小，右边的数较大的原理把这些数按从小到大的次序用“”连接起来答案： 把题中的各数表示在轴上，得到32023教师总结知识点 数轴上的点从左到右的排列次序与有理数大小的排列顺

33、序是一致的解这类习题时，特别要注意审题清楚，即这些数的比较是按从小到大次序排列还是按从大到小的次序排列范例10比较和0.28的大小；分折：比较两个负数的大小，可先比较这两个负数的绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”下结论解（）方法一：，0.28，0.28 方法二：，0.28，0.28 方法三：0281, 0.280.280.2810.28,0.28 教师总结知识点 解本题的三种方法都是应用同一条法则进行比较的，区别在于比较绝对值大小的方法不同方法一是化作分母相同的分数进行经较；方法二是变成分子相同的分数进行比较；方法三则是把分数化成小数，再按小数大小比较的法则进行的(实际比较时，分数化小数，只要取比已知小数多保留一位的近似值即可)范例11已知：|a|3，|b|2，且ab，求a+b的值分析: 由绝对值的含义可知