黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练三十九8.4直接证明与间接证明数学归纳法理含解析新人教A版.doc

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1、核心素养提升练三十九直接证明与间接证明、数学归纳法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设abc,且a+b+c=0,求证:0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0【解析】选C.要证a,只需证b2-ac3a2,只需证b2-a(-b-a)0,只需证(2a+b)(a-b)0,只需证(a-c)(a-b)0.2.设a=,b=-,c=-,那么a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bca【解析】选B.由已知,a=,b=,c=,因为+2,所以bca.3.若1x10,下面不等式中正确的是()A.(lg x)

2、2lg x2lg(lg x)B.lg x2(lg x)2lg(lg x)C.(lg x)2lg(lg x)lg x2D.lg(lg x)(lg x)2lg x2【解析】选D.因为1xx,0lg x1,lg(lgx)lg x(lg x)2,lg x2(lg x)2lg(lg x).4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接

3、写出命题的否定.方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根.5.已知直线l,m,平面,且l,m,给出下列四个命题:若,则lm;若lm,则;若,则lm;若lm,则.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.若l,m,则l,所以lm,正确;若l,m,lm,与可能相交,不正确;若l,m,l与m可能平行或异面,不正确;若l,m,lm,则m,所以,正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等式“=”的证明过程:“等式两边同时乘以得,左边=1,右边=1,左边=右边,所以原不等式成立”,应用了_的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)【解析】由综合法的特

4、点可知,此题的证明用的是综合法.答案:综合法7.设nN*,则-_-(填“”“”或“=”).【解析】要比较-与-的大小,即判断(-)-(-)=(+)-(+)的符号,因为(+)2-(+)2=2-=2(-)0,所以-.答案:0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切. 【证明】如图,作AA、BB垂直于准线,取AB的中点M,作MM垂直于准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM|=|AB|,由抛物线的定义:|AA|=|AF|,|BB|=|BF|,所以|AB|=|AA|+|BB|,所以只需证|MM|=(|AA|+|BB|)由梯形的中位线定理知上式是成立的.所以,以过焦点的弦为直径的圆必与x=-

5、相切. 2.已知数列,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.【解析】S1=,S2= +=,S3= + =,S4= +=.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是猜想Sn=,下面我们用数学归纳法证明这个猜想.当n=1时,左边=S1=,右边=,猜想成立.假设当n=k(kN*)时猜想成立,即+ + =,当n=k+1时,+=+=,所以,当n=k+1时猜想也成立.由知,猜想对任意nN*都成立.(15分钟30分)1.(5分)证明命题“f(x)=ex+在(0,+)上是增函数”,一个同学给出的证法如下:因为f(x)=

6、ex+,所以f(x)=ex-,又因为x0,所以ex1,00,即f(x)0,所以f(x)在(0,+)上是增函数.他使用的证明方法是()A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】选A.该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.2.(5分)若a,b,cR,且ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是()A.a2+b2+c22B.(a+b+c)23C.+2D.abc(a+b+c)【解析】选B.因为a2+b22ab,a2+c22ac,b2+c22bc,将三式相加得2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c21,又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,

7、所以(a+b+c)21+21=3.3.(5分)在ABC中,若sin Asin Bcos Acos B,则ABC一定是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选C.由sin Asin B0,所以cos Cd,a-2d,d0).假设存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列,则=a1,且=,即a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(-t0,a1+3d0,=a1,且=,所以=a1,且=,即=(a1+d),联立,得=a1(a1+d),即=a1,化简得d3-6a1d2-3d=0,即d(d2-6a1d-3)=0,所以d=0(舍),d=(32)a1,但d=(32)a1不是的解,所以不存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列.【变式备选】已知a0,函数f(x)=x3-a,x0,+),设x10.记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1)处的切线为l.(1)求l的方程.(2)设l与x轴的交点为(x2,0),求证:x2.【解析】(1)f(x)=3x2,所以l的方程为y-(-a)=3(x-x1),即y=3x-2-a.(2)令y=3x-2-a=0,得x=,所以x2=,要证x2,只需证2+a3,即证(x1-)2(2x1+)0,显然成立,所以原不等式成立.