2022年高二预习：空间几何体的表面积和体积 .pdf

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1、1 / 12 教师学生姓名填写时间2018年月日年级高一学科数学上课时间2018年月日阶段基础（ ）提高（ ）强化（ ）课时计划第（）次课共（ 2 ）次课教案目标教案难点教学过程知识梳理空间几何体的表面积与体积多面体的面积和体积公式名称侧面积 (S侧) 全面积 (S全) 体 积(V) 棱柱棱柱直截面周长l S侧+2S底S底h=S直截面h 直棱柱ch S底h 棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底31S底h 正棱锥21ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底31h(S上底+S下底+下底下底SS) 正棱台21 (c+c )h 表中 S 表示面积， c、 c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高， h表

2、示斜高，l 表示侧棱长。旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rl rl (r1+r2)l S全2r(l+r) r(l+r) (r1+r2)l+ (r21+r22) 4R2V r2h( 即r2l) 31r2h 31h(r21+r1r2+r22) 34R3表中l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、 r2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。6. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2 / 12 旋转体的表面积1. 圆柱的侧面积与全面

3、积（1）侧面积：求法：侧面展开（如图）；公式：2Srl（ r 为两底半径，l为母线长）；（2）表面积：2()Sr rl.2. 圆锥的侧面积与表面积（1）侧面积求法：侧面展开（如图）；公式：Srl；（2）表面积：()Sr rl（ r 为两底半径，l为母线长） . 事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为2r，半径为圆锥母线l，故面积为122rlrl. 3. 圆台的侧面积与表面积（1）侧面积求法：侧面展开（如图）；公式：()SrR l；事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为2r、2R，半径分别为x、xl，故圆台侧面积为112()2()22SRxlrxRr xRl，()xlRr xrlrRr

4、，()SrR l. （2）表面积：22()rRrR l. （ r 、 R 分别为上、下底面半径，l为母线长）4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：柱体、锥体、台体的体积棱柱、棱锥、棱台的体积1. 棱柱体积公式：VSh（ h 为高， S为底面面积）；2. 棱锥体积公式：13VSh（ h为高， S为底面面积）；3. 棱台体积公式：11221()3VSSSS h棱台（ h为高，1S、2S分别为两底面面积）. 事实上，设小棱锥高为x，则大棱锥高为xh.于是212211111()()3333VSxhS xS hSS x. 11211221()SSxxSS xS hxhhSSS，正棱台侧面积公式

5、：1()2Scc h正棱柱侧面积公式：Scl正 棱 锥 侧 面 积 公 式 ：12Schcchl0c2 rlr2 rllrh2Sx1S2 R2 rxRrxlRr圆台侧面积公式：()SrR l圆柱 侧面积公 式：Srlcl圆锥侧面积公式：12SRlcl0r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 / 12 221212211112211111()()()()33333VS hSSSS xS hSSS hSSSSh. 4. 棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：B. 圆柱、圆锥、圆台的体积1. 圆柱的体积：2Vr h（ h

6、为高， r 为底面半径）.2. 圆锥的体积：213VR h（ h 为高， R 为底面半径） .3. 圆台的体积：221()3VrrRRh（ r 、 R 分别为上、下底半径，h 为高） .事实上，设小圆锥高为x，则大圆锥高为xh（如图） . 于是2221111()()()3333VRxhr hRrRr xR h. ()xrxrRr xrhxhRhRr，222111()()333VRr rhR hrrRRh. 4. 圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：球的体积与表面积1. 球的体积343VR .2. 球的表面积24SR. 经典例题直用公式求面积、求体积例 1 （1）一个正三棱柱的底面边长为4，侧

7、棱长为10，求其侧面积、表面积和体积；（2）一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60，求圆台的侧面积、表面积和体积；（3）已知球的表面积是64，求它的体积.结果：2563.（4）在长方体1111ABCDAB C D中，用截面截下一个棱锥11CA DD，求棱锥11CA DD的体积与剩余部分的体积之比.结果1:5.练习：1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的侧面积和表面积 .圆台体积公式：221()3VrrRRh圆柱体积公式：2Vr h圆锥体积公式：213VR hRr0r圆台侧面积公式：11221()3VSS SS h棱台圆柱侧面积公

8、式：VSh圆锥侧面积公式：13VSh12SSS10S2SSRrxlh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 / 12 2. 已知平行四边形ABCD 中，8AB，6AD，60DAB，以 AB 为轴旋转一周，得旋转体. 求旋转体的表面积. .3. 正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，则沿面对角线AC 、1AB、1CB截得的三棱锥1BACB的体积为 C A .12B.13C.16D. 1 4. 已知正四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm、8cm，求它的侧面积和体积.5. 正四棱锥 SABCD 各侧面均为正三

9、角形，侧棱长为5，求它的侧面积、表面积和体积. 6. 若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.23根据三视图求面积、体积例 2 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .223 B.42 3C.2 323 D.2343练习：1. 一个底面为正三角形，侧棱于底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为 . 2. 下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为A . 1B.12C.13D.163. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为3 的等腰三角形，俯视图是半径为1 的半圆，该几何体的体积

10、是A .23B.2 23C.D.4 334. 已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积.俯视图2 2 正（主）视2 侧（左）视2 2 2 正视图侧视图俯视图3 34 正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图10 1 4 2 2 10 1 4 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页5 / 12 5. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A . 9 B. 10 C. 11 D. 12几何体表面上最短距离问题例三棱锥 PABC 的侧棱长均为1，且侧棱间的夹角都

11、是40，动点 M 在 PB 上移动，动点N在PC上移动，求AMMNNA的最小值 .与球有关的组合问题例 1（1）若棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .（ 2）若一个球内切于棱长为3 的正方体，则该球的体积为 .结果:92.例 2 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使球浸没在水中并使水面正好与球相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 练习：1. 长方体1111ABCDA B C D中，3AB，4AD，15AA，则其外接球的体积为. 2. 求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积. 注：棱长为的正四面体中常用数据：（

12、1）高：63a，中心到顶点距离：64a，中心到面距离：612a，中心到顶点距离：中心到面的距离=3：1. （2）全面积：23a，体积：3212a. 几个重要结论的补充及应用结论 1 锥体平行截面性质锥体平行截面与锥体底面相似，且与底面积比等于两锥侧面积面积比，等于两锥全面积面积比，等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方.结论 2 若圆锥母线长为l，底面半径为r ，侧面展开图扇形圆心角为，则2 rl.结论3 若圆台母线长为l，上、下底面半径分别为r、R，侧面展开图扇环圆心角为，则2Rrl.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

13、 - - -第 5 页，共 12 页6 / 12 证明：设小圆锥母线长为x，则有22rxrx. xrxrrlxxlRlRrRr，22()2rr RrRrxrll. 应用1. 一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为 B A .120B.180C.240D.3002. 一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积. 3. 露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图），用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1扇形的圆心角等于120，则此扇形的半径为CA .13B.6C. 3D. 6 4. 圆台的上、下底面半径分别为10cm 和 20cm，它的侧面展开

14、图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？结果：21100 cm. 5. 圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240，则圆锥体积为CA .2 281B.881C.4 581D.10816. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是A . 3: 2B. 2:1C. 4:3D. 5:3结果： C. 空间几何体体积求法例析. 公式法例 1 四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面中的射影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥PABCD 的体积为.例 2一个几何体的俯视图是一个圆，正视图和侧视图是全等的矩形，它们水平放置时（一边在水平位置上），它们的斜二测直

15、观图是边长为6和 4 的平行四边形，则该几何体的体积为.例 3 用一块长3m，宽 2m 的矩形木板，在墙面互相垂直的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是 A 解：略 . 分割法例 4 已知一个多面体的表面积为36，它的内切球的半径为2，求该多面体的体积.例 5 如图3，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3 的正方形，/ /EFAB，a俯视图主视图侧视图aaB A C A 452 2 2 2 3 3 3 3 304530精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页7 / 12 32E

16、F， EF 与 AC 面的距离为2，则该多面体的体积为.补形法例 6已知三棱柱的一个侧面面积为S，相对的棱距离该侧面的距离是 h ，求证：该三棱柱的体积是12VSh.例 7已知 PA、 PB 、 PC 两两互相垂直，且PAB、PAC、PBC的面积分别为21.5 cm，22cm，62cm，则过 P 、 A、 B 、 C 四点的外接球的体积为2cm.解：PA、PB、PC两两互相垂直，则以它们为基础，补形成为一个长方体，长方体的对角线是外接球的直径. 设三条棱长分别为, ,x y z，则3xy，4xz，12yz，解得12xyz，1x，3y，4z. 从而2222(2 )134r，2426r，262r.

17、 33442613 263323Vrr. 点评：对于三条棱两两互相垂直或者3 个侧面两两互相垂直的三棱柱以及正四面体或对棱分别相等的三棱锥，都可以补形成为长方体或者正方体，它们有共同的外接球，外接球的直径正好是长方体或正方体的体对角线，这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.特殊化法例 8如图，直三棱柱111ABCA B C体积为 V ，点 P 、Q分别在侧棱1AA、1DD上，1APD Q，则四棱锥BAPQD的体积为 .解：将条件1APDQ特殊化，使得P和1A重合，Q和D重合，四棱锥BAPQD就变成三棱锥1BADA，它和直三棱柱等底等高，四棱锥BAPQD的体积等于1133ABDShV.等体积转化（

18、变换角度）例 9如图，在长方体1111ABCDA B C D中，如果分别过BC 、11AD的 2 个平行平面将长方体分成体积相等的3 部分，那么11C NND . 解：将长方体站立放置，从而更容易观察到相关的几何体分别是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱 .长方体被分成体积相等的三部分，即111111D HDA GAD NCHA MBGNC CMB BVVV. 由于它们的等高且等体积，底面积也相等，就是说111A GAA MBGMB BSSS，即1112AGAAGBAA，2AGGB，112C NND. 例 10如图，已知E 、 F 分别是棱长为a的正方体1111ABCDA BC D的棱1AA、1CC

19、的中点，求三棱锥11CB EF的体积 . 解：111111311312CB EFEBFCB C FVVSABa. 点评：在三棱锥求体积问题中，变换角度就是换顶点、换底面，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之一，它的基本依据是变换前后等体积. 转换的标准是相应的底面和高是否容易求解. 显然本题直接按照题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底面和高 . 课堂练习1. 正六棱锥PABCDEF 中， G 为 PB 的中点，则三棱锥DGAC 与三棱锥 PGAC 体积之EF1BD1D1CA1ABCHM1BD1D1CA1ABCNGQP1BD1DA1ABABCD1D1C1B1ABCDFEMNABCDAFE

20、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8 / 12 比为 C A . 1:1 B. 1: 2 C. 2:1 D. 3: 22. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1 的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，/ /EFAB，2EF，则该多面体的体积为 A A .23 B.33C.43 D.323. 某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是BA .34000cm3 B.38000cm3C.32000 cm D.34000 cm4. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面

21、积为A A .4812 2 B.48242C.36122D.362425. 若正方体外接球的体积是323，则正方体的棱长为A .22 B.2 33 C.4 23 D.4 33选D 6. 如图，已知多面体ABCDEFG ， AB， AC ， AD 两两垂直，平面/ /ABC平面 DEFG ，平面/ /BEF平面 ADGC ，2ABADDG，1ACEF，则该多面体的体积为A . 2B. 4C. 6D. 87. 一个长方体的某3 个面的面积分别是2，3，6. 则这个长方体的体积是 .8. 设等边三角形ABC的边长为 a ， P 是ABC内的任意一点，且P 到三边 AB ， BC ， CA 的距离分别

22、为1d，2d，3d，则有123ddd为定值32；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为 a， P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面的距离分别为1d，2d，3d，4d，则有1234dddd为定值是 . 9. 某球的外切圆台上下底面半径分别为 r ， R ，则该球的体积是 .9. 在三棱锥ABCD 中，6ABCD，5ACBDADBC，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 10. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则球的体积是. 11. 体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于11. 如图是一个几何体的三视图，若它的

23、体积是33，则 a_. 2 侧视图正视图3 1 俯视图1 俯视图侧视图正视图64336634620202020侧视图10 10 俯视图正视图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页9 / 12 12. 三棱锥的顶点为P ， PA ， PB ， PC 为三条侧棱，PA， PB ， PC 两两互相垂直，又2PA，3PB，4PC，则三棱锥PABC 的体积为 _.结果： 4.13. 半径为 R 的球的外切圆柱的表面积为，体积为.结果：26R；32R.14. 直三棱柱111ABCA BC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA，

24、120BAC，则此球的表面积等于.15. 三个球的半径123,R RR，满足12323RRR，则它们的表面积123,S SS，满足的关系是.16. 如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 . 17. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4 所示 . 墩的上半部分是正四棱锥PEFGH ，下半部分是长方体ABCDEFGH . 图 5、图 6 分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积.P rba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

25、 - - - -第 9 页，共 12 页10 / 12 课后巩固计划 ：学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差学生签字： _ 教师评定：1、学生上次作业评价：特别满意满意 一般 差2、学生本次上课情况评价：特别满意满意 一般 差教师签字：_ 教师评语：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页11 / 12 教案主管审核批复：教案主管签字： _ 星火教育教务处精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12 / 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页