数学解题思想——整体思想.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学解题思想整体思想数学解题思想整体思想数学解题思想整体思想杨相云 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。一整体代入 在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易。例1 已知a是方程

2、的一个根，求代数式的值。分析：由a是方程的一个根，得，则，再整体带入即可。二整体设元 在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解。例2 阅读材料：求的值。解：设S=，则2S=, 两式相减得 2S-S=，即S=； 故=。请你仿照此方法计算：（1） ；（2） （其中n为正整数）。分析：（1）仿照阅读材料，设S=，两边乘以3后得到关系式3S=,再与已知等式相减，得2S=,即可求出所求式子的值；（2）设S=，两边乘以3后得到关系式5S=,再与已知等式相减，得4S=,即可求出所求式子的值；三整体构造 就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造，

3、从而解决问题。例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。问买甲2件，乙3件、丙4件，共需多少钱？ 分析：如果想先求出甲、乙、丙三种商品的单价后再去求甲2件，乙3件、丙4件共需多少钱，显然是行不通的，因为条件不够，所以应该讲问题作为一个整体来考虑。设甲、乙、丙单价分别为x元、y元、z元，则，（1）3-（2）2得2x+3y+4z=39即可。四整体配凑（化零为整） 在解决某些整体问题时，有时无法从各组成部分去分别突破，这时需要考虑将其组成部分化零为整，从而使问题获得解决。例3 如图，ABC中，AB=AC=8，O为ABC的内心，过点O作B

4、C的平行线分别交AB、AC于点D、E，则ADE的周长为多少？分析：连接BO、CO,由O为ABC的内心，可得BO平分ABC,得到DBO=OBC,由DEBC,得到DOB=OBC,从而DBO=DOB,于是DO=BD,同理可得OE=CE,即ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=16.五整体处理 在解决某些问题时，可以把某些东西看成一个整体，从整体角度去分析，这样要比从其他角度去分析方便许多。例4 甲、乙两人从相距20千米的两地同时出发，相向而行，甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/时。一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉过头迎

5、乙.直到两人相遇为止。若小狗的速度是13千米/时，在这奔跑过程中，小狗的总行程是多少千米？分析：我们可以有以下几种思路：（1）逐段计算小狗奔跑的路程；（2）逐段计算小狗奔跑的时间；（3）从题目分析来看，小狗来回奔跑的时间之和，恰等于甲、乙二人从出发到相遇的所需的时间，故小狗奔跑的总时间为2小时，从而轻而易举地得到小狗奔跑的总路程为132=26（千米）。练习：1. 已知，则的值等于=_.C1C20yx2.计算：-=_.3. 如图,O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y= -x2的图象,则阴影部分的面积是 4. 7张如图1的长为a，宽为b（ab）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放

6、在矩形 ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）A. B.a=3b C. D.a=4b 5. 如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则PCD的周长为 _.6.已知，AO是ABC的A的平分线，BDAO交AO的延长线于D，点E是BC的中点，求证：7.在一条公路旁，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库，1号仓库有10吨货物，2号仓库有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其它两个仓库空着。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库，如果每吨货物运输一千米需要0.5元的运费，那么运费最少要多少元？-