2022年高等数学下册期末考试试题及答案 .pdf

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1、1 / 5 高等数学 A(下册) 期末考试试卷 【A 卷】考试日期： 2009 年一、A 填空题：（ 本题共 5 小题，每小题4 分，满分20 分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足0ab，2a，2b，则a b-42、设ln()zxxy，则32zx y-1/（y*y ）3、曲面229xyz在点(1,2, 4)处的切平面方程为2x+4y+z-14=0 4、设( )f x是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为( )f xx，则( )f x的傅里叶级数在3x处收敛于，在x处收敛于5、设L为连接(1, 0)与(0,1)两点的直线段，则()Lxy ds1.414以下各题在答题纸上作答，

2、答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名 、 学号、班级二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题7 分，满分 35 分）1、求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1, 1,2)处的切线及法平面方程解：两边同时对x 求导并移项。2、求由曲面2222zxy及226zxy所围成的立体体积3、判定级数11( 1) lnnnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？条件收敛4、设(,)sinxzfxyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxx y5、计算曲面积分,dSz其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部三、（本题满分 9 分）精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 / 5 抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值四、（本题满分10 分）计算曲线积分(sin)(cos)xxLeym dxeymx dy，其中m为常数，L为由点( ,0)A a至原点(0,0)O的上半圆周22(0)xyaxa五、（本题满分 10 分）求幂级数13nnnxn的收敛域及和函数六、（本题满分 10 分）计算曲面积分332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy，其中为曲面221(0)zxyz的上侧七、（本题满分 6 分）设( )fx为

4、 连 续 函 数 ，( 0 )fa，222( )()tF tzf xyzdv， 其 中t是 由 曲 面22zxy与222ztxy所围成的闭区域，求30( )limtF tt- 备注：考试时间为2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高等数学 A(下册 )期末考试试卷【A 卷】参考解答与评分标准2009 年 6 月一、填空题【每小题4 分，共 20 分】 1、4； 2、21y；3、2414xyz； 4、3，0； 5、2. 二、试解下列各题【每小题 7 分，共 35 分】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

5、 - -第 2 页，共 5 页3 / 5 1、解：方程两边对x求导，得323dydzyzxdxdxdydzyzxdxdx，从而54dyxdxy，74dzxdxz. 【4】该曲线在1, 1,2处的切向量为5 71(1, ,)(8,10,7).4 88T. 【 5】故所求的切线方程为1128107xyz. 【6】法平面方程为81101720 xyz即810712xyz.【 7】、解：2222226zxyzxy222xy，该立体在xOy面上的投影区域为22:2xyDxy .【2】故所求的体积为Vdv222262200202(63)6dddzd .【7】、解：由11limlimln(1)limln(1

6、)10nnnnnn unnn，知级数1nnu发散 【3】又111| ln(1)ln(1)|1nnuunn,1lim | limln(1)0nnnun. 故 所 给 级 数 收 敛 且 条 件 收敛【 7】、解：121211()0zfyfyffxyy，【3】2111122212222211()()zxxfy fxfffxfx yyyyy111222231.xfxyfffyy【7】、解：的方程为222zaxy，在xOy面上的投影区域为2222( , ) |xyDx yxyah又222221xyzzaaxy， . 【】故2222012ln()2ln2ahaaaah.【7】三、【 9 分 】解：设(

7、, )M x y z为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为222dxyz【1】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 / 5 令22222( , , )()(1)L x y zxyzzxyxyz，则由22220220201xyzLxxLyyLzzxyxyz，解得132xy，23z于是得到两个可能极值点1213131313(,23),(,23).2222MM【7】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故max2min1|95 3,|95 3.dOMdOM 【9】四、【10

8、分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得22(sin)(cos)8xxDLOAIeym dxeymx dymdma 【5】而10(sin)(cos)axxOAIeym dxeymx dymdxma 【8】221(sin)(cos).8xxLeym dxeymx dyIImama【10】五、【10 分 】解：1131limlim31 33nnnnnnanRan，收敛区间为( 3,3) 【2】又当3x时，级数成为11nn，发散；当3x时，级数成为11nnn，收敛 【4】故该幂级数的收敛域为3,3 【5】令13nnnxs xn（33x），则11111111( )()33331/3

9、3nnnnnxxs xxx, (|3x) 【 8】于 是000( )( )ln 3ln3ln 33xxxdxs xs x dxxxx， （33x） .【10】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 / 5 六、【 10 分】解：取1为220(1)zxy的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有133222222316Ix dydzy dzdxzdxdyxyz dv. 【5】2211200062ddzdz. 【7】而221133221122313133xyIx dydzy dzdxzdxdyzdxdydxdy . 【9】2123.III. 【10】七、【 6 分】解：2224000sincostF tddrfrr dr . 【2】3224400002sincossinttdr drdfrr dr4220228ttr frdr . 【4】故32223200022()22222limlimlim().333ttttt f tF tf tatt【6】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页