2022年高考数学专题十六最值问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题最值问题【考点聚焦】考点 1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点 2：解斜三角形. 考点 3：线段的定比分点、平移. 考点 4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用. 考点 5：向量在物理学中的运用. 【自我检测】1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；（2）),0()(Raaxaxxf:均值不等式法和单调性加以选择；（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数. 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直

2、接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值 ) 【重点难点热点】问题 1：函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数 )的最值问题 .求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等. 例 1：(02 年全国理1) 设 a 为实数，)( 1)(2Rxaxxxf，（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值思路分析： (1)考察)(xf与)( xf是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证 (2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需

3、分类讨论(1)解法一： (利用定义 )2)(xxf1ax，2)(xxf.1ax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页学习必备欢迎下载若22),()()(xxfxfxf即为奇函数，则Rxaxax此等式对.02都不成立，故)(xf不是奇函数；若)(xf为偶函数，则)()(xfxf，即2x21xax, 1ax此等式对Rx恒成立，只能是0a故0a时，)(xf为偶数；0a时，)(xf既不是奇函数也不是偶函数解法二： (从特殊考虑 ), 1)0(af又Rx，故)(xf不可能是奇函数若0a，则)(xf1)(2xxxf，)(xf为偶函

4、数；若0a，则12)(, 1)(22aaafaaf，知)()(afaf，故)(xf在0a时，既不是奇函数又不是偶函数（2）当ax时，43)21(1)(22axaxxxf，由二次函数图象及其性质知：若21a，函数)(xf在,(a上单调递减，从而函数)(xf在,(a上的最小值 为1)(2aaf； 若21a， 函 数)(xf在,(a上 的 最 小 值 为43)21(f， 且)()21(aff当ax时，函数43)21(1)(22axaxxxf若21a， 函数)(xf在),a上的最小值为af43)21(， 且)()21(aff；若21a，函数)(xf在),a上单调递增，从而函数函数)(xf在),a上的最

5、小值为1)(2aaf综上所述， 当21a时， 函数)(xf的最小值是a43； 当2121a时， 函数)(xf的最小值为12a；当21a时，函数)(xf的最小值是43a点评： 1研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页学习必备欢迎下载与)( xf是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证2二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论3本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数

6、的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论演变1： （ 05 年上海） 已知函数f(x)=kx+b的图象与x 、 y轴分别相交于点A 、B,jiAB22(i、j分别是与x、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数 g(x)=x2x6(1)求 k、b 的值 ;(2)当 x 满足 f(x) g(x) 时,求函数)(1)(xfxg的最小值点拨与提示：由f(x) g(x) 得 x 的范围，)(1)(xfxg252xxxx+2+21x5，用不等式的知识求其最小值演变 2： （ 05 年北京卷）已知函数f(x)=x33x2 9xa（I）求

7、f(x)的单调递减区间；（II）若 f(x)在区间 2， 2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值点拨与提示：本题用导数的知识求解问题 2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解例 2： （05 年上海 ）点 A、B 分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA（1）求点 P 的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于| MB，求椭圆上的点到点 M 的距离d的最小值思路分析：将d用点 M 的坐标表示出来，222222549(2)4420()15992

8、dxyxxxx，然后求其最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页学习必备欢迎下载解： （1）由已知可得点A( 6,0),F(0,4) 设点 P(x,y),则AP=x+6, y,FP=x4, y,由已知可得22213620(6)(4)0 xyxxy，则 22x+9x18=0, 解得x=23或x=6由于y0,只能x=23,于是y=235点 P 的坐标是 (23,235) (2) 直线 AP 的方程是x3 y+6=0设点 M(m,0),则 M 到直线 AP 的距离是26m于是26m=6m,又 6m6 ,解得m=2椭圆上的

9、点 (x,y)到点 M 的距离d有222222549(2 )442 0()1 5992dxyxxxx, 由于 6m6, 当x=29时,d 取得最小值15演变3： （05 年辽宁）如图，在直径为的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0 xy() 将十字形的面积表示为的函数；() 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？点拨与提示：将十字型面积S 用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S 的最大值问题 3：最值的实际应用在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值例 3： （06 年江苏卷）请您

10、设计一个帐篷它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱， 上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示） 试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？xyxyOO O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页学习必备欢迎下载思路分析 ：将帐蓬的体积用x 表示（即建立目标函数），然后求其最大值解：设 OO1为x m，则41x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228) 1(3xxx， （单位：m）故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx， （单位：2m）帐篷的体积为：)28(2

11、33V2xxx）（ 1) 1(31x)1216(233xx（单位：3m）求导得)312(23V2xx）（令0V）（x，解得2x（不合题意，舍去） ，2x，当21x时，0V）（x，）（xV为增函数；当42x时，0V）（x，）（xV为减函数当2x时，）（xV最大答：当 OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m点评 ：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力演变 4 （ 05 年湖南）对1 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1物体质量（含污物）污物质量）为 0.8，要求洗完后的清洁度是0.99有两种方案可供选择方

12、案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(aa设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是)1(18 .0axxx 用y单 位 质 量 的 水 第 二 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是ayacy， 其 中)99.08 .0(cc是该物体初次清洗后的清洁度（1）分别求出方案甲以及95. 0c时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小（2）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，545(1)cxc，(99100 )yac

13、于是545(1)cxyc+(99100 )ac1100 (1)15(1)acac，利用均值不等式求最值问题 4：恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题f(x) m 恒成立，即min)(xfm；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页学习必备欢迎下载f(x) m 恒成立，即max)(xfm例 4、已知函数xaxxxf2)(2)., 1,x（1）当21a时，求函数)(xf的最小值；（2）若对任意0)(), 1xfx恒成立，试求实数a的取值范围思路分析： f(x) 0 恒成立，即min)(xf0解： （1）当21a

14、时，211)( , 221)(zxxfxxxf1x，0)(/xf)(xf在区间), 1 上为增函数)(xf在区间), 1 上的最小值为27)1 (f（也可用定义证明221)(xxxf在), 1上是减函数）（2）02)(2xaxxxf在区间),1 上恒成立；022axx在区间), 1上恒成立；axx22在区间), 1上恒成立；函数xxy22在区间), 1上的最小值为3 3a即3a点评： 1 （1）中，,221)(xxxf这类函数，若0 x，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可2求函数的最小值的三种通法：利均值不等式

15、，函数单调性，二次函数的配方法在本题中都得到了体现精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页学习必备欢迎下载演变 5：已知函数22xxafx，其中 0a4（） 将yf x的图像向右平移两个单位，得到函数yg x，求函数yg x的解析式；（）函数yh x与函数yg x的图像关于直线1y对称，求函数yh x的解析式；（）设1Fxfxh xa，已知F x的最小值是m，且27m，求实数a的取值范围点拨与提示： （）的实质就是72)(minxF恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值问题五：参数的取值范围问题参数范围的

16、问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力在历年高考中占有较稳定的比重解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等例 5设直线l过点 P（0，3）且和椭圆xy22941顺次交于A、B 两点，求APPB的取值范围思路分析 ：APPB=BAxx要求APPB的取值范围，一是构造所求变量BAxx关于某个参数（自然的想到“直线AB 的斜率 k”）的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，

17、原因在于21xxPBAP不是关于21,xx的对称式问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21, xx的对称式：1221xxxx由此出发，可得到下面的两种解法解法 1:当直线l垂直于 x 轴时，可求得51PBAP; 当l与 x 轴不垂直时，设)(,2211yxByxA，直线l的方程为：3kxy，代入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页学习必备欢迎下载椭圆方程，消去y得045544922kxxk解之得.4959627222,1kkkx由椭圆关于y 轴对称，且点P 在 y 轴上，所以只需考虑0k的情形当0k

18、时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以21xxPBAP=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k由0491 8 0)54(22kk, 解得952k，所以51592918112k，即511PBAP解法 2:设直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk（*）则.4945,4954221221kxxkkxx，令21xx，则，.20453242122kk在（ *）中，由判别式,0可得952k，从而有5362045324422kk，所以536214，解得551结合10得151精选学习资料 - - - - - -

19、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页学习必备欢迎下载综上，511PBAP点评 ：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法演变 6：已知函数2472xfxx，01x，（）求fx的单调区间和值域；（）设1a，函数223201g xxa xax，若对于任意101x，总存在001x，使得01g xfx成立，求a的取值范围点拨与提示：利用导数知识求解专题小结1函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数 )的最值

20、问题 求函数最值的方法有：配方法、 均值不等式法、 单调性、 导数法、判别式法、有界性、图象法等2三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解3在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值4 不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题f(x) m 恒成立，即min)(xfm； f(x) m恒成立，即max)(xf0 恒成立等价于：0040ff即2243010 xxx, 解得31xx或13cos2cos2BCA2sin22sin212sin2cos2cos2cos2AAAAAA记2sinA

21、t（0A）则原问题等价于求122)(2tttf在1 ,0(上的最大值221121222ftt当41t时，即3A时， f(t)取得最大值2314解： （）设双曲线方程为22221xyab).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由C1 C B A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页学习必备欢迎下载故双曲线C 的方程为.1322yx（）将得代入13222yxkxy.0926)31 (22kxxk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得2222130,(62 )36(13)36(1)0.kkkk即.1

22、3122kk且设),(),(BBAAyxByxA，则226 29,22,1313ABABABABkxxx xOA OBx xy ykk由得而2(2)(2)(1)2 ()2ABABABABABABx xy yx xkxkxkx xk xx2222296 237(1)22.131331kkkkkkk于是222237392,0,3131kkkk即解此不等式得.3312k由、得.1312k故 k 的取值范围为33( 1,)(,1).3315 解 ( ) 由题设1x和2x是方程220 xax的两个实根， 得1x+2xa且1x2x 2，所以，84)(|22122121axxxxxx当a-1,1时，28a的

23、最大值为9，即12|xx3由题意，不等式212|53| |mmxx对任意实数a1,1 恒成立的m的解集等于不等式2|53|3mm的解集由此不等式得2533mm，或2533mm不等式的解为05m，不等式的解为1m或6m因为，对1m或05m或6m时，P是正确的( ) 对函数6)34()(23xmmxxxf求导3423)( 2mmxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页学习必备欢迎下载令0)( xf，即034232mmxx此一元二次不等式的判别式16124)34(12422mmmm若0，则0)( xf有两个相等的实根

24、0 x，且)( xf的符号如下：x ( ,0 x) 0 x(0 x,+) )( xf+ 0 + 因为，0()f x不是函数( )fx的极值若0，则0)( xf有两个不相等的实根1x和2x(1x0 时，函数f(x) 在( ,+) 上有极值由0161242mm得1m或4m，因为，当1m或4m时， Q是正确得综上，使P正确且 Q正确时，实数m的取值范围为 (-,1), 65,4(16 解：如图，（1）设椭圆Q：2222xy1ab（a b 0）上的点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，又设 P 点坐标为P（x，y） ，则2222221122222222b xa ya b1b xa ya b2（）

25、（）1当 AB 不垂直 x 轴时， x1x2，由（ 1）（ 2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0 212212yyb xyxxa yxcb2x2a2y2b2cx0（ 3）2当 AB 垂直于 x 轴时，点P 即为点 F，满足方程（3）故所求点 P 的轨迹方程为：b2x2 a2y2b2cx0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页学习必备欢迎下载（2）因为，椭圆Q 右准线 l 方程是 x2ac，原点距 l 的距离为2ac，由于 c2a2b2，a21 cos sin ，b2sin （02） ，则2ac1coss

26、in1cos2sin（24）当 2时，上式达到最大值此时a22，b21， c1，D（2，0） ，|DF|1 设椭圆 Q：22xy12上的点A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，三角形ABD 的面积S12|y1|12|y2|12|y1y2| 设直线 m 的方程为 xky1，代入22xy12中，得（ 2 k2） y22ky10 由韦达定理得y1y222k2k，y1y2212k，4S2（ y1 y2）2（ y1 y2）24 y1y22228k1k2（ ）（ ）令 tk21 1，得 4S228t8821t14t2t（ ） ，当 t1，k0 时取等号因此，当直线m 绕点 F转到垂直x 轴位置时，三角形

27、ABD 的面积最大【挑战自我 】已知),(23Rbabaxxxf（ ） 若 函 数)(xfy图 象 上 任 意 两 个 不 同 点 的 连 线 斜 率 小 于1 ， 求 证 ：33a；（）若1 ,0 x，函数)(xfy上任一点切线斜率为k，当1k时，求a的取值范围解： （1） 、设任意不同两点为222111,yxPyxP，且21xx，则0111222122121223221312121exxxxexxxexxexxxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页学习必备欢迎下载3304340)4()3(4)2(,042

28、3,02222222211aeeeeexxRx恒成立即（2） 、当axxxfkx23,1,02时由题意：1 ,0,12312xaxx，则13)3(130123) 1(2aafaaf或13123)1 (aaf或03123)1 (aaf解得：当1k时，31a【答案及点拨】演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案演变 1：(1)由已知得A(kb,0),B(0,b), 则AB=kb,b, 于是kb=2,b=2 k1,b 2(2)由 f(x) g(x), 得 x+2x2x6,即(x+2)(x 4)0, 得 2x0,则)(1)(xfxg 3,其中等号当且仅当x+2=1, 即 x=1 时成立)(1)(xf

29、xg的最小值是3点评：（ 1）要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法如1(0)yxxx型 （2）利用均值不等式求最值时，要注意：一正、二定、三相等，缺一不可演变 2： （ I） f (x) 3x26x9令 f (x)0，解得 x3，所以函数 f(x)的单调递减区间为（，1） ， （3，）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页学习必备欢迎下载（II）因为 f(2) 812 18a=2a，f(2) 81218a22a，所以 f(2)f(2)因为在（ 1，3）上 f (x)0，所以 f(x)在 1, 2上单

30、调递增，又由于 f(x)在2， 1上单调递减，因此f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间 2，2上的最大值和最小值，于是有22 a20，解得a 2故 f(x)=x33x29x2，因此 f(1)1 392 7，即函数 f(x)在区间 2，2上的最小值为7演变 3： （）解：设S为十字形的面积，则22xxyS).24(coscossin22（）解法一：2coscossin2S212cos212sin21)2sin(25（其中.552arccos）当S,22, 1)2sin(时即最大所以当S,552arccos214时最大S 的最大值为215解法二：因为,coscossin22S所以cossin

31、2sin2cos222S.2sin2cos2令0S，即,02sin2cos2可解得)2arctan(212所以，当)2arctan(212时， S 最大， S 的最大值为215演变 4：方案甲与方案乙的用水量分别为x 与 z，由题设有99.018.0 xx，解得 x19由 c0.95 得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程：99.095.0ayay，解得 y=4a，故 z=4a+3即两种方案的用水量分另为19 与 4 a +3因为当 1a 3 时， xz 4（4a）0，即 xz故方案乙的用水量较少（II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（ I）得545(1)cxc，(9

32、9100 )yac（* ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页学习必备欢迎下载于是545(1)cxyc+(99100 )ac1100 (1)15(1)acac当 a 为定值时，1541)1 (100)1(512aaacacyx当且仅当)1(100)1(51cac时等号成立，此时ac51011（不合题意，舍去）或)99.0,8.0(51011ac将ac51011代入（ * ）得1152aax，aay52故ac51011时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152ax与aay52，最少总用水量为154)(aaaT

33、当 1a 3 时，0152)(/aaT，故 T（a）是增函数（也可用二次函数的单调性来判断），这说明随着a 的值的增加，最少总用水量增加演变 5： （）222422242xxxxaag xfx；（）设点,P x h x是函数yh x上任一点， 点,P x h x关于1y的对称点是,2Pxh x，由于函数yh x与函数yg x的图像关于直线1y对称，所以，点P在函数yg x的图像上，也即：2h xg x所以，242242xxah xg x；（）1Fxfxh xa111241242xxaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 2

34、2 页学习必备欢迎下载解 法 一 注 意 到F x的 表 达 式 形 同nmtt， 所 以 ， 可 以 考 虑 从11,414m naa即和的正负入手（1）当1104410aa，即104a时，F x是 R 上的增函数，此时F x无最小值，与题设矛盾；(2) 当1104410aa，即144a时，F x44111122412242xxaaaaa等号当且仅当11124142xxaa，即44124xaaa时成立由27m及144a，可得：4417144aaaa，解之得：122a解法二由F x27可得：111241742xxaa令2xt，则命题可转化为：当0t时，21174104ttaa恒成立考虑关于t的

35、二次函数2117414tttaa因为1104a，函数2117414tttaa的对称轴0)411(27a，所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页学习必备欢迎下载以，需且只需110411744104aaa，解之得：122a此时，014,044aaa，故21444)(tataaxF在aaat4)14(4取得最小值214442aaam满足条件演变 6：解：对函数fx求导，得2241672xxfxx，221272xxx令0fx，解得112x或272x，当x变化时，fx，、fx的变化情况如下表：x 0 102，12112，1f

36、x，0 fx72递减4递增3所以，当01x，时，fx的值域为43，（）对函数g x求导，得223gxxa，因此1a，当01x，时，23 10gxa，因此当01x，时，g x为减函数，从而当01x，时有10g xgg，又21123gaa，02ga，即当1x0，时有21 232g xaaa，任给11x0，143fx，存在001x，使得01g xfx，则2123243aaa，即212341232aaa（）（ ）解1（）式得1a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页学习必备欢迎下载或53a解2（ ）式得32a又1a，故a的取值范围为312a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页