2022年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形41任意角弧度制及任意角的三角函数文 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【步步高】 （江苏专用） 2017 版高考数学一轮复习第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数文1角的概念(1) 任意角： 定义： 角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2) 所有与角 终边相同的角，连同角 在内， 构成的角的集合是S| k360，kZ(3) 象限角： 使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合， 那么， 角的终边 ( 除端点外 ) 在第几象限， 就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧

2、度制(1) 定义： 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2) 角度制和弧度制的互化：180 rad,1 180 rad ，1 rad 180.(3) 扇形的弧长公式：l| | r，扇形的面积公式：S12lr12| | r2. 3任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点P(x，y) 时， sin y， cos x，tan yx(x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

3、总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思sin Rcos Rtan | k2，kZ 4. 三角函数线如下图，设角 的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0) 作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1) 锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( ) (2) 角 的三角函数值与其终边上点P的位置无关 ( ) (3) 角 终边上点P的坐标为 ( 12，32) ，那么 si

4、n 32，cos 12；同理角 终边上点Q的坐标为 (x0，y0) ，那么 sin y0，cos x0.( ) (4) (0，2) ，则 tan sin .( ) (5) 为第一象限角，则sin cos 1.( ) 1已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4 ，y) 是角 终边上一点，且sin 255，则y . 答案 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解析因为 sin y42y2255，所以y0，4m264m29125，即m12. (2) 由三角函数定义可知Q

5、点的坐标 (x，y)满足xcos 2312，y sin2332. 即Q点的坐标为12，32. 命题点 2 三角函数值的符号例 4 (1) 若 sin 0 且 tan 0，则 是第象限角(2) 设 是第三象限角，且cos 2 cos 2，则2是第象限角答案(1) 三(2) 二解析(1) sin 0， 的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴上；又 tan 0， 在第一象限或第三象限，故 在第三象限(2) 由 是第三象限角，知2为第二或第四象限角，cos 2 cos 2，cos 20，综上知2为第二象限角命题点 3 三角函数线例 5 满足 cos 12的角 的集合为答案2k232k43 ，kZ解析作直

6、线x12交单位圆于C、D两点， 连结OC、OD，则OC与OD围成的区域 ( 图中阴影部分 ) 即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2k 23 2k43，kZ. 思维升华(1) 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量： 角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y， 该点到原点的距离r.(2) 根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3) 利用三角函

7、数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围(1) 已知角 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 的终边在x轴上；y轴上；直线yx上；直线yx上(2) 已知角 的终边经过点(3a9，a2) ，且 cos 0， sin 0，则实数a的取值范围是答案(1) (2)( 2,3 解析(1)|cos 1，角 的终边在x轴上(2) cos 0， sin 0，角 的终边落在第二象限或y轴的正半轴上3a90，a20， 2a3.6数形结合思想在三角函数中的应用典例(1) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ，此时圆上一点P的位置在 (0,0) ，圆

8、在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，OP的坐标为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2) 函数ylg(3 4sin2x) 的定义域为思维点拨(1) 点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系(2) 求函数的定义域可转化为解不等式32sin x32，利用三角函数线可直观清晰得出x的范围解析(1) 如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B. 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA2，即圆心角

9、PCA2，则PCB22，所以PBsin(2 2) cos 2 ，CBcos(2 2) sin 2 ，所以xP 2CB2sin 2 ，yP1PB1cos 2 ，所以OP (2 sin 2,1cos 2) (2) 3 4sin2x0，sin2x34，32sin x32. 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围( 如图阴影部分所示) ，xk3，k3(kZ) 答案(1)(2 sin 2,1cos 2) (2)k3，k3(kZ) 温馨提醒(1) 解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、 三角函数定义寻找关系(2) 利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件

10、的角的位置 方法与技巧 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能取终边与单位圆的交点，则OPr一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正， 二正弦， 三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 失误与防范 1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化，在同一个式子

11、中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况A组专项基础训练 ( 时间： 40 分钟 ) 1给出下列四个命题：( ) 34是第二象限角；43是第三象限角；400是第四象限角； 315是第一象限角其中正确的命题有个答案3 解析34是第三象限角， 故错误 .433， 从而43是第三象限角， 正确40036040，从而正确 315 36045，从而正确2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0， ) 的弧度数为答案3 解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r | | r，所以 3. 3设 是第二象限角，P(x

12、,4)为其终边上的一点，且cos 15x，则 tan . 答案43解析因为 是第二象限角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思所以 cos 15x0，即x0时，r 5a，此时 sin 35，cos 45，则 2sin cos 654525. 当a0时，r 5a，此时， sin 35，cos 45，则 2sin cos 654525. 5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；

13、若 sin sin ，则 与 的终边相同；若 cos 0，则 是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是答案1 解析举反例： 第一象限角370不小于第二象限角100，故错； 当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin 6sin 56，但6与56的终边不相同，故错；当cos 1， 时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知只有正确6已知扇形的圆心角为6，面积为3，则扇形的弧长等于答案3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解析设扇形半

14、径为r，弧长为l，则lr6，12lr3，解得l3，r2.7已知角 2k5(kZ) ，若角 与角 的终边相同， 则ysin |sin |cos |cos |tan |tan |的值为答案 1 解析由 2k 5(kZ) 及终边相同的概念知，角 的终边在第四象限，又角 与角 的终边相同，所以角 是第四象限角，所以 sin 0，tan 0；与2 200终边相同的角是 40，所以 2 200是第四象限角，则cos( 2 200)0；72 103，所以 10 是第二象限角，则tan( 10)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 1

15、5 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思13设MP和OM分别是角1718的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：MPOM0；OM0MP；OMMP0；MP0OM. 其中正确的是答案解析角1718 在第二象限，OM0，正确14已知角 的终边经过点P( 3，m) (m0)且 sin 24m，试判断角 所在的象限，并求 cos 和 tan 的值解由题意，得r3m2，所以 sin m3m224m. 因为m0，所以m5，故角 是第二或第三象限角当m5时，r22，点P的坐标为 ( 3，5) ，角 是第二象限角，所以 cos xr32264，tan yx53153；当m5时，r22，点P的坐标为 ( 3，5

16、) ，角 是第三象限角，所以cos xr32264，tan yx53153. 15如图所示，动点P，Q从点A(4,0) 出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转6弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t3t| 6| 2. 所以t4( 秒 )，即第一次相遇的时间为4 秒设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在3443的位置，则xC cos34 2，yC sin34 23. 所以C点的坐标为 ( 2， 23) P点走过的弧长为434163，Q点走过的弧长为23483. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页