2022年高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案 .pdf

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1、名师精编精品教案高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案9.8 圆锥曲线的综合问题知识梳理1.直线与圆锥曲线C 的位置关系：将直线的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x，得到一个关于x（或 y）的方程ax2bxc0. (1)交点个数：当a0 或 a0， 0 时,曲线和直线只有一个交点；当a0,0 时 ,曲线和直线有两个交点；当0）曲线上两点的中点在对称直线上。3.求动点轨迹方程：轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的 ,一般用直接法；一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。重难点突破重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；

2、掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能求弦长时用韦达定理设而不求;弦中点问题用“点差法”设而不求. 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题 1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为. 点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形，当 共线时最小，最小值为热点考点题型探析考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系题型 1：交点个数问题例

3、 1 设抛物线y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是（）A ， B2，2 C 1，1 D 4，4 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法解析 易知抛物线的准线与 x 轴的交点为Q (2 , 0)，于是，可设过点Q (2 , 0)的直线的方程为，联立其判别式为，可解得，应选 C. 【名师指引】 （1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）精选学习资料 - - -

4、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编精品教案（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论， 还要对二次项系数是否为 0 进行讨论【新题导练】1. （09 摸底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设 ， 平行于 OM 的直线在 y 轴上的截距为m(m0),直线与曲线 C 交于 A、 B 两个不同点 . (1)求曲线的方程； (2)求 m 的取值范围 . 解析 （1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，代入圆的方程得曲线C 的方程：（2）直线平行于 OM ，且在 y 轴上的截距为m,又 ,

5、直线的方程为. 由 , 得直线与椭圆交于A、B 两个不同点，解得. m 的取值范围是. 题型 2：与弦中点有关的问题例 2（08 韶关调研）已知点A、B 的坐标分别是， .直线相交于点M ，且它们的斜率之积为 2. ()求动点 M 的轨迹方程 ; ()若过点的直线交动点 M 的轨迹于C、D 两点 , 且 N 为线段 CD 的中点，求直线的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解解析 ()设 ，因为,所以化简得 : () 设当直线x 轴时 , 的方程为,则 ,它的中点不是N,不合题意设直线的方程为将 代入得 (1) (2) (1)(2)整理得 : 直线的方程为即所

6、求直线的方程为解法二 : 当直线x 轴时 ,直线的方程为,则 , 其中点不是N,不合题意 .故设直线的方程为, 将其代入化简得由韦达定理得, 又由已知 N 为线段 CD 的中点 ,得,解得, 将 代入 (1)式中可知满足条件. 此时直线的方程为,即所求直线的方程为【名师指引】通过将C、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁【新题导练】2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程。解析 设弦所在直线与椭圆

7、交于两点，则， ，两式相减得：，化简得，把 代入得故所求的直线方程为，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编精品教案3.已知直线y x1 与椭圆相交于A、 B 两点，且线段AB 的中点在直线L：x2y0上，求此椭圆的离心率解析 设 ，AB 的中点为, 代入椭圆方程得， ,两式相减 ,得 . AB 的中点为在直线上，而题型 3：与弦长有关的问题例 3(山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为 20， 为坐标原点（ 1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，面积最大？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑

8、面积的最大值取得的条件解析 （1）将代入 得 ，由可知，弦长 AB ，解得；（2）当时，直线为，要使得内接ABC 面积最大，则只须使得，即，即 位于（ 4， 4）点处【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围【新题导练】4. (山东省济南市高三统一考试) 已知椭圆与直线相交于两点（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（ 1）的条件下，求弦的长度；解析 （1）由已知得：，所以椭圆方程为：（2） ，由，得（文）已知点和 ，动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为2，点 C 的轨迹与直线交于 D、E 两点，求线段DE 的长（文）解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹

9、方程为设， ，联立得 则所以故线段 DE 的长为考点 2：对称问题题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）【新题导练】例 4 若直线 l 过圆 x2y24x2y0 的圆心 M 交椭圆1 于 A、 B 两点，若 A、B 关于点 M 对称，求直线l 的方程解析 ，设，则又 ， ，两式相减得：，化简得，把 代入得故所求的直线方程为，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编精品教案所以直线l 的方程为：8x9y250. 5.已知抛物线y2 2px 上有一内接正AOB ，O 为坐标原点 .

10、 求证：点 A、B 关于 x 轴对称；解析 设 ， ， ，即， ， ，故点 A、B 关于 x 轴对称6.在抛物线y24x 上恒有两点关于直线ykx3 对称，求k 的取值范围 . 解析 （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点（2）当 k0 时，设抛物线y2 4x 上关于直线对称的两点，AB 的中点为，则直线直线的斜率为直线，可设代入 y24x 得，在直线 ykx 3 上，代入得即,又 恒成立，所以1k 0综合（ 1） （2） ，k 的取值范围是（1，0）考点 3 圆锥曲线中的范围、最值问题题型：求某些变量的范围或最值例 5已知椭圆与直线相交于两点当椭圆的离心率满足，且（ 为坐标原点）时，求椭

11、圆长轴长的取值范围【解题思路】通过“韦达定理”沟通a 与 e 的关系解析 由 ，得由 ，得此时由 ，得，即 ，故由 ，得 由 得 ，所以椭圆长轴长的取值范围为【名师指引】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值【新题导练】7. 已知 P 是椭圆 C： 的动点，点关于原点O 的对称点是B，若 |PB|的最小值为，求点 P的横坐标的取值范围。解析 由 ，设， ，解得或又 或8. 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线上移动， 记线段 AB 的中点为M，求点 M 到 y轴的最短距离，并求此时点M 的坐标解析 设

12、， ，因 AB 与 x 轴不平行，故可设AB 的方程为，将它代入得由 得 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编精品教案，将 代入得当且仅当即 时取等号，此时，所以，点M 为 或 时，到 y 轴的最短距离最小，最小值为9.直线 m：y kx1 和双曲线x2y21 的左支交于A，B 两点，直线过点 P（2，0）和线段 AB 的中点 M，求在 y 轴上的截距b 的取值范围解析 由 消去 y 得：解得设 M（x0，y0）则三点共线令 上为减函数 . 10.已知椭圆，A（4，0） ，B（2，2）是椭圆内的两点，P 是椭

13、圆上任一点，求：（ 1）求的最小值；（2）求 |PA|PB|的最小值和最大值解析 （1）最小值为（2）最大值为10|BC| ；最小值为10|BC| 考点 4 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量例 6 已知 P、Q 是椭圆 C： 上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点， 且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A；【解题思路】利用“|PF|、 |MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系证明：设知同理当，从而有设 PQ 的中点为，得线段 PQ 的中垂线方程为当线段 PQ 的中垂线是x 轴，也过点【名师指引】定

14、点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）【新题导练】11.已知抛物线C 的方程为y x2 2m2x (2m2 1) (m R) ，则抛物线C 恒过定点解析 (1,0) 令 x 1 得 y0 12.试证明双曲线 1（a0，b0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数. 解析 双曲线上任意一点为，它到两渐近线的距离之积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编精品教案考点 6 曲线与方程题型：

15、用几种基本方法求轨迹方程例 7已知抛物线C： y24x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点 F 及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B 与焦点 F 连线中点P的轨迹方程；【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程解析由抛物线y24x,得焦点 F(1,0),准线x 1 (1)设 P(x,y)，则 B(2x 1,2y),椭圆中心O ,则|FO|BF|e, 又设点 B 到 l 的距离为d,则|BF|de,|FO |BF|BF|d, 即(2x2)2(2y)22x(2x2),化简得 P 点轨迹方程为y2 x1(x1) 名师指引 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到

16、直接法，但题目条件需要转化【新题导练】13.点 P 为双曲线上一动点， O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是. 解析 相关点法 14.过双曲线C: 的右焦点F 作直线 l 与双曲线C 交于 P、Q 两点，,求点 M 的轨迹方程解析 右焦点（ 2，0） ，设得 ， ，直线 l 的斜率又 , ,两式相减得, 把 ， ， 代入上式得15.已知动点与双曲线的两个焦点、 的距离之和为定值，且的最小值为求动点的轨迹方程；解析 （1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，点 P 在 y 轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程16. (广东实验中学 )已知圆 C: . (1)直线

17、过点 P(1,2)，且与圆C 交于 A、B 两点，若，求直线的方程；(2)过圆 C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m，设 m 与 x 轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程 . (3) 若点 R(1,0)，在（ 2）的条件下，求的最小值 . 解析（ 1）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为， 与圆的两个交点坐标为和 ，其距离为，满足题意 1 分若直线不垂直于轴，设其方程为，即2 分设圆心到此直线的距离为，则 ，得 ， ， 4 分故所求直线方程为3x4y50 综上所述，所求直线为3x4y 50 或 x1 5 分(2)设点 M 的坐标为 (x0,y0)， Q 点坐标为 (x,y)则 N 点坐标是

18、(x0, 0) ，即 ， 7 分又， 9 分直线 m /y 轴，所以，, 点的轨迹方程是( ) 10 分（3）设 Q 坐标为 (x,y)， ， 11 分又 ( )可得：. 13 分 14 分课后训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编精品教案基础巩固训练1. 已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（A）焦点在x 轴上的椭圆（B）焦点在y 轴上的椭圆（C）焦点在x 轴上的双曲线（D）焦点在y 轴上的双曲线1.解析 B. 由 知 ，2. 已知点 M（ 3，4）在一椭圆上，则以点M 为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（）

19、（A）12 （B）24 （C）48 （D）与椭圆有关2. 解析 C 由椭圆的对称性可知; 3. 已知点 F（ ，直线，点 B 是 l 上的动点 .若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M，则点 M 的轨迹是（）A双曲线B椭圆C圆D抛物线3.解析 D. MB MF 4. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B 两点，且，则这样的直线有_条. 4.解析 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为 2. 5. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是5.解析 ; 6. 若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为. 6. 解析 综合提高训练7. 已知抛物线的弦 AB 经过点 P（

20、4，2）且 OAOB（O 为坐标原点） ，弦 AB 所在直线的方程为7.解析 12x 23y2 0 记住结论：8.已知椭圆，直线 l 到原点的距离为求证：直线l 与椭圆必有两上交点. 8.解析 证明：当直线l 垂直 x 轴时，由题意知：不妨取代入曲线E 的方程得：即 G（ ， ） ，H（ ，）有两个不同的交点，当直线 l 不垂直 x 轴时，设直线l 的方程为：由题意知：由直线 l 与椭圆 E 交于两点 , 综上，直线l 必与椭圆E 交于两点9. 求过椭圆内一点 A（ 1，1）的弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程9.解析解：设动弦PQ 的方程为，设 P（ ） ，Q（ ） ，M（ ） ，则：得：当

21、时，由题意知，即式与联立消去k，得当 时， k 不存在，此时，也满足故弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程为：10 .已知抛物线 过动点 M （ ， 0） 且斜率为 1 的直线与该抛物线交于不同的两点A、 B 若 ,求 a 的取值范围10 .解析 直线的方程为，将，得: 设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编精品教案则又 ， ，解得11. 过抛物线的焦点作一条斜率为k(k 0)的弦，此弦满足：弦长不超过8；弦所在的直线与椭圆3x2 2y2 2 相交，求k 的取值范围11. 解析：抛物线的焦点为 (1，0)，设弦所在直线方程为由得2 分 故由 ，解得 k1 由得8 分由 ，解得 k2 3 因此 1 k2 |AB| ，从而 P点的轨迹 T 是中心在原点，以A、B 为两个焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中，2a6，2c 4。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页