2022年高考文科数学不等式选讲考点精细选 .pdf

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1、学习必备欢迎下载不等式选讲考点精细选一、知识点整合：1 含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)? f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)? af(x)a. (3)对形如 |xa|xb|c，|xa|xb|c 的不等式，可利用绝对值的几何意义求解2 含有绝对值的不等式的性质|a|b|a b|a|b|. 3 柯西不等式(1)设 a，b，c，d均为实数，则 (a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc时等号成立(2)若 ai，bi(iN*)为实数，则 (ni1a2i)(ni1b2i)(ni1aibi)2，当且仅当a1b1a2b2anbn(当某 bj0 时，认为

2、aj0，j1,2， n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设 ，为平面上的两个向量，则| | | | |，当且仅当这两个向量共线时等号成立4 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等练习精细选1若关于实数 x 的不等式 |x5|x3|a 无解，则实数 a 的取值范围是 _答案(， 8 解析|x5|x3|5x|x3| |5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|a 无解，只需 a8. 2 (2013 江西)在实数范围内，不等式 |x2|1|1 的解集为 _答案0,4 解析由|x2|1|1 得1|x2|11，解|x2|0|x2

3、|2得 0 x4. 不等式的解集为 0,4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载3已知 a，b，m，n 均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_答案2 解析由柯西不等式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2， 当且仅当 adbc时“”成立，得(ambn)(bman)( amanbm bn)2mn(ab)22. 4若不等式 |kx4|2 的解集为 x|1x3，则实数 k_. 答案2 解析|kx4|2，2kx42，2kx6. 不等式的解集为 x|1x3，k2. 5设 x，yR，且

4、 xy0，则 x21y21x24y2的最小值为 _答案9 解析x21y21x24y251x2y24x2y252 1x2y2 4x2y29，当且仅当 x2y212时“”成立三、典型题型分析题型一含绝对值的不等式的解法例 1已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)1，且当 x a2，12时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在 x a2，12时去绝对值，利用函数最值求 a 的范围解(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30. 设函数 y|2x1|2x2|x3，则 y5x

5、，x1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载x|0 x1，则a20 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)2 的解集是 R，求 m 的取值范围解(1)由题设知 |x1|x2|5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：x2，x1x25或1x5或x5，解得函数 f(x)的定义域为 (，2)(3，)(2)不等式 f(x)2 即|x1|x2|m2，xR 时，恒有 |x1|x2|(x1)(x2)|3，不等式 |x1|x2|m

6、2 解集是 R，m23，m 的取值范围是 (，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载题型二不等式的证明例 2已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为 1,1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，cR，且1a12b13cm，求证： a2b3c9. 审题破题(1)从解不等式 f(x2)0 出发，将解集和 1,1对照求 m；(2)利用柯西不等式证明(1)解因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于 |x|m. 由|x|m 有解，得 m0，且其解集为 x|mxm又 f(x2)0 的解

7、集为 1,1，故 m1. (2)证明由(1)知1a12b13c1，又 a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)1a12b13ca1a2b12b3c13c29. 点评： 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的变式训练 2已知 f(x)|x1|x1|，不等式 f(x)4 的解集为 M. (1)求 M；(2)当 a，bM 时，证明： 2|ab|4ab|. (1)解f(x)|x1|x1| 2x，x1.当 x1 时，由

8、 2x4，得2x1；当1x1 时，f(x)21 时，由 2x4，得 1x2. M(2,2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载(2)证明a，bM，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2) (168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|0 时，4ax2a，得 a2. (2)记 h(x)f(x)2fx2，则 h(x)1，x1，4x3，1x0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 1

9、1 页学习必备欢迎下载即|x1|x5|a2. 设 g(x)|x1|x5|，则 g(x)|x1|x5|2x6，x5，4，1xa2，f(x)minlog2(42)1. (2)由(1)知，g(x)|x1|x5|的最小值为 4，|x1|x5|a0，a0)(1)当 a1 时，解不等式 f(x)8；(2)若 f(x)6 恒成立，求正实数a 的取值范围规范解答解(1)f(x)|x|2|x1|23x，x1.当 x0 时，由 23x8，得 2x1 时，由 3x28，解得 1x103. 综上，不等式 f(x)8 的解集为 2，103.5 分 (2)因为 f(x)|x|2|xa|2a3x，xa.可见 f(x)在(，

10、a)上单调递减，在 (a，)上单调递增，所以当 xa 时，f(x)取最小值 a，所以 a 的取值范围是 6，)10 分 评分细则(1)f(x)去绝对值得分段函数给2 分；三种情况下的解集错一种扣1 分，没有最后结论扣 1 分；(2)求出 f(x)的单调性给至 8 分阅卷老师提醒(1)含有绝对值式子的函数， 实质上就是一个分段函数， 根据解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段，分段去掉绝对值符号即可(2)分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论

11、五、小题冲关1不等式 |2x1|2|x1|0 的解集为 _答案x x14解析原不等式等价于 |2x1|2|x1|? (2x1)24(x1)2? x14. 2设 a，b，c，x，y，z是正数，且 a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则abcxyz_. 答案12解析通过等式找出 abc 与 xyz的关系由题意可得 x2y2z22ax2by2cz，与 a2b2c210 相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令xaa，ybb，zcc或xab，ybc，zcz，则 xyz2(abc)，即abcxyz12. 3 若 a，b，c(0， )，且 abc1，则abc的最大值为 _答

12、案3 解析( abc)2(1a1b1c)2(121212)(abc)3. 当且仅当 abc13时，等号成立( abc)23.故abc的最大值为3. 4 不等式|x1|x2|1 的实数解为 _ 答案x|x32且x 2 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载解析|x1|x2|1，|x1|x2|. x22x1x24x4，2x30. x32且 x2. 5 若不等式 x|x1|a 有解，则实数 a 的取值范围是 _答案1， ) 解析设 f(x)x|x1|，则 f(x)2x1 x1 ，1 x1 .f(x)的最小

13、值为 1.所以当 a1 时，f(x)a 有解6 对于任意的实数a(a0)和 b，不等式 |ab|ab|M |a|恒成立，记实数 M 的最大值是 m，则 m 的值为_答案2 解析不等式|ab|ab|M |a|恒成立，即 M|ab|ab|a|对于任意的实数 a(a0)和 b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值因为 |ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当 (ab)(ab)0 时等号成立，即 |a|b|时，|ab|ab|a|2 成立，也就是|ab|ab|a|的最小值是 2. 六、专题限时规范训练一、填空题1 不等式 |x3|x2|3 的解集为 _ 答案x|x1 解析原不等式可化为：x3

14、，x3x23或3x2，x3x23或x2，x3x23，x?或 1x0，y0， Mxy2xy，Nx2xy2y，则 M、 N 的大小关系为 _ 答案Mx2xyy2xyxy2xyM. 3 对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载答案5 解析|x1|1，1x11，0 x2. 又|y2|1，1y21，1y3，从而 62y2. 由同向不等式的可加性可得6x2y0，5x2y11，|x2y1|的最大值为 5. 4 若关于x 的不等式 |a|x1|x2|

15、存在实数解，则实数a 的取值范围是_答案(， 33， ) 解析f(x)|x1|x2|2x1 x1 ，3 1x2 ，2x1 x2 ，f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，需满足 |a|3，即 a3 或 a3. 二、解答题5 设不等式 |2x1|1 的解集为 M. (1)求集合 M；(2)若 a，bM，试比较 ab1 与 ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得 0 x1，所以 Mx|0 x1(2)由(1)和 a，bM 可知 0a1,0b0，故 ab1ab. 6 若不等式x1x|a2|1 对于一切非零实数x 均成立，求实数a 的取值范围解 x1x2，|a2|12，1a3. 7已知实数

16、x，y 满足： |xy|13，|2xy|16，求证： |y|518. 证明因为 3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知 |xy|13，|2xy|16，从而 3|y|231656，所以 |y|518. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载8 已知函数 f(x)|xa|. (1)若不等式 f(x)3 的解集为 x|1x5，求实数 a 的值；(2)在(1)的条件下，若 f(x)f(x5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围解方法一(1)由 f(x)3 得|xa|3，解

17、得 a3xa3. 又已知不等式 f(x)3 的解集为 x|1x5，所以a31，a35，解得 a2. (2)当 a2 时，f(x)|x2|，设 g(x)f(x)f(x5)，于是 g(x)|x2|x3|2x1，x2.所以当 x5；当3x2 时，g(x)5；当 x2 时，g(x)5. 综上可得， g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当 a2 时，f(x)|x2|.设 g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当 3x2 时等号成立 )，得 g(x)的最小值为 5

18、. 从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，59 已知函数 f(x)|2x1|2x3|. (1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)32，2x1 2x3 6或12x32，2x1 2x3 6或x12， 2x1 2x3 6.解之得32x2 或12x32或1x4，解此不等式得a5. 10设 a，b，c为正实数，求证：1a31b31c3abc2 3. 证明因为 a，b，c 是正实数，由算术几何平均不等式可得1a31b31c33 31a31b31c3，即1a31b31c33abc. 所以1a31b31c3abc3abcabc. 而3abcabc2 3abc abc2 3，当且仅当 abc且 abc3时，取等号所以1a31b31c3abc2 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页