311空间向量及其运算.ppt

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1、空间向量及运算空间向量及运算2F3F1FGO思考：思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢板将如何运动？从建筑物上找向量的影子从建筑物上找向量的影子在空间里既有在空间里既有大小又有方向大小又有方向的量叫做空间的量叫做空间向量。向量。阅读教材阅读教材P71-72填写下表填写下表aABABaaABaAB平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示

2、法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同 的向量的向量长度相等且方向相同的长度相等且方向相同的向量向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念ABB零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的如何理解零向量的方向？如何理解零向量的方向？例例1、给出以下命题：、给

3、出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是其中不正确命题的个数是 a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp （1）（）（2）（）（5）变式：变式：如图所示，长方体中如图所示，长方体中（1）写出与向量）写出与向量 相等的其余向量；相等的其余向

4、量；（2） 写出与向量写出与向量 相反相反的的向量。向量。AB 1AAA1D1C1B1BACD1111,) 1 (BACDDCAB相等的向量有与解：DDCCBBAAAA11111,)2(相反的向量有与ababOABb结论结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。内，成为同一平面内的两个向量。思考：平面是否唯一？思考：平面是否唯一？探究一：探究一：空间任意两个向量是否都可以平移空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？到同一平面内？为什么？O结论：空间任意两个向量结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们

5、都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问及空间任意两个向量的问题，平面向量中有题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。平面向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则bkakbak )()()(cbacbaabba空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数, ,负数负数, ,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘

6、分配律数乘分配律ababab+OABbC探究二：空间向量如何进行加减运算？探究二：空间向量如何进行加减运算？OBABOAOCOAbaCAOCOAbaa aa (k0)ka (k0)k空间向量的数乘aaaABAB 1.1.共线向量共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作ba/规定零向量与任何向量共线规定零向量与任何向量共线空间向量共线定理：空间向量共线定理：对于空间任意的两个对于空间任意的两个向量，向量，a,b,(a0），），b与与a共

7、线的充要条件是共线的充要条件是存在实数存在实数，使，使b= aababab+OABbC空间向量加法交换律：空间向量加法交换律：探究三：探究三：空间向量的加法是否满足交换律？空间向量的加法是否满足交换律？b + aa + b =abcOABCab+abcOABCbc+( (空间向量空间向量) )ab+c+()ab+c+()空间向量的加法是否满足结合律？空间向量的加法是否满足结合律？=cba )()(cba加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：空间向量的加法的运算律：空间向量的加法的运算律：a + b = b + a (a + b)+c = a +(b + c) 数乘分配律数乘分配律bk

8、akbak )(平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数, ,负数负数, ,零零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律abba加法交换律加法交换律bkakbak )(数乘分配律数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数, ,负数负数, ,零零加法结合律加法结合律)()(cbacba

9、)()(BDACCDAB化简0)()(DAADCADCBDABBDCADCABBDACDCABBDACCDABDCABCDAB化简将减法转化为加法进行方法一：解：0)()()()(,BCCBDBDCACABBDACCDABBDACCDABBCDBDCCBACAB利用方法二：解： 练一练练一练例例1 1：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。表达式，并标出化简结果的向量。( (如图如图) )ABCDA1B1C1D1G11121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADA

10、BAAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例例2 2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例例2 2：已知平行六面体

11、：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例例2 2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC11

12、12 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC例例2 2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2xABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习1在空间四边形在空间四

13、边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.ABCDDCBAADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.2F3F1FGO思考：思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,同时用三个与对应边成60度角且大小为200N的力去拉三角形钢板，问钢板将如何运动？c平面向量概念加法减法运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律小结abba加法交换律)()(cbacba加法结合律类比、数形结合数乘分配律数乘分配律bkakbak )(数乘分配律数乘分配律bkakbak )(空间向量共线定理：空间向量共线定理：对于空间任意的两个对于空间任意的两个向量，向量，a,b,(a0），），b与与a共线的充要条件是共线的充要条件是存在实数存在实数，使，使b= a