311直线的倾斜角与斜率.ppt

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1、在平面直角坐标系里在平面直角坐标系里 点用坐标表示点用坐标表示:yxo),(yxpyxo思考？思考？ 一条直线的位置由哪些一条直线的位置由哪些条件确定呢？条件确定呢？ 直线如何表示呢？直线如何表示呢？l引入：引入：我们知道，两点确定一条直线我们知道，两点确定一条直线. yxo过一点的直线可以作无数条过一点的直线可以作无数条(组成一个直线束），它组成一个直线束），它们的倾斜程度不同。怎样描述直线的倾斜程度呢？们的倾斜程度不同。怎样描述直线的倾斜程度呢？一点能确定一条直线的位置吗？一点能确定一条直线的位置吗？xyo1 1、直线倾斜角的定义：直线倾斜角的定义： 当直线当直线L与与X轴相交时，我们取轴

2、相交时，我们取X轴作为基准，轴作为基准，X轴正向与直线轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线向上方向之间所成的角叫做直线的的倾斜角（倾斜角（angle of inclination） .注意注意： (1)直线向上方向；直线向上方向； (2)轴的正方向轴的正方向.xyo/2 2、直线倾斜角的范围：直线倾斜角的范围：当直线当直线 与与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为角为01800 xlyxo零度角零度角 ayxo锐角锐角 yxo直角直角 yxoa钝角钝角 按倾斜角去分类，直线的倾斜角可分几类？按倾斜角去分类，直线的倾斜角可分几类？ 3、直线倾斜角的意义、直

3、线倾斜角的意义 体现了直线对体现了直线对x轴正方向的倾斜程度轴正方向的倾斜程度. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角角 . .倾斜程度相同的直线，其倾斜角相同；倾斜程度不倾斜程度相同的直线，其倾斜角相同；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等同的直线，其倾斜角不相等. .因此，可用倾斜角因此，可用倾斜角 表示平表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. . 倾斜角倾斜程度倾斜角相同能确定一条直线吗？倾斜角相同能确定一条直线吗？结论：相同倾斜角可作无数条互相平行的直线结论：相同倾斜角可作无数条互相平行的直线

4、xyo4、如何才能确定直线位置？yxoa一点一点+倾斜角倾斜角 确定一条直线确定一条直线 过一点且倾斜角为过一点且倾斜角为 能不能确定一条直线？能不能确定一条直线？ a（两者缺一不可）（两者缺一不可） 在平面直角坐标系中，已知直线上一点不能确定一条直线；在平面直角坐标系中，已知直线上一点不能确定一条直线；同样，已知直线倾斜角也不能确定一条直线位置同样，已知直线倾斜角也不能确定一条直线位置.日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量升高量坡度（比） 前进量前进量升升高高量量a例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者更陡一些，比较，前者更陡

5、一些，因为坡度（比）因为坡度（比）32.22如果使用如果使用“倾斜角倾斜角”这个概念，那么这里的这个概念，那么这里的“坡度坡度（比）（比）”实际就是实际就是“倾斜角倾斜角的正切的正切”定义定义：倾斜角不是倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的正切叫做这条直线的斜率的斜率.斜率通常用斜率通常用k表示，即：表示，即：tank倾斜角是倾斜角是90 的直线没有斜率的直线没有斜率.为什么？为什么？二、直线的的斜率二、直线的的斜率则斜率为：的倾斜角例如：直线,45l145tank则斜率为：的倾斜角直线,1350l1135tank斜率的理解斜率的理解：1.1.斜率斜率k k是

6、一个数值，它可以是任意实数是一个数值，它可以是任意实数. .2.2.当当为直角时，直线斜率不存在，但并不是直线不存在，为直角时，直线斜率不存在，但并不是直线不存在，直线有斜率必有倾斜角，反之，则不一定。直线有斜率必有倾斜角，反之，则不一定。yxo零度角零度角 ayxo锐角锐角 yxo直角直角 yxoa钝角钝角 说出下列倾斜角对应的斜率范围说出下列倾斜角对应的斜率范围.k 0k不存在不存在k0k=03.3.探究：由两点确定的直线的斜率探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP212112,yyxxQPP且如图，当如图，当为锐角时，为锐角时， 能不能构造一能不能构造一个直角三

7、角形个直角三角形去求？去求？tankxyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角锐角 xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图，当如图，当为钝角时，为钝角时， 2121,180yyxx且tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk02x1x1y2y钝角钝角 思考？思考？xyo(3),(12yxQ),(111yxP),(222yxPyox(4),(12yxQ),(111yxP),(222yxP21pp1、当、当 的位置对调时，的位

8、置对调时， 值又如何呢？值又如何呢？ k请同学们课后推导！同样可推出请同学们课后推导！同样可推出1212tanxxyyk思考？思考？2、当直线平行于、当直线平行于x轴，或与轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k答：成立，因为分子为答：成立，因为分子为0，分母不为分母不为0，K=0 3、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？思考？不存在不存在k)(90tan,90答：不成立，因

9、为答：不成立，因为分母为分母为0。综上所述，我们得到经过两点综上所述，我们得到经过两点),(111yxP)(21xx ),(222yxP的直线的斜率公式的直线的斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P4、已知直线上点、已知直线上点 、 ，运用上述公式计算直，运用上述公式计算直线线AB的斜率时，与的斜率时，与A、B的顺序有关吗？的顺序有关吗？思考？思考？),(21aaA),(21bbB1122ababkAB1122babakBA答：与答：与A、B两点的顺序无关两点的顺序无关.)(:),(),(211212222111xxxxyykyxPyxP的直线的斜率公式经过两点公

10、式的特点公式的特点: :(1)(1)与两点的顺序无关与两点的顺序无关; ;(2)(2)公式表明公式表明, ,直线对于直线对于x x轴的倾斜度轴的倾斜度, ,可以通过直线上任可以通过直线上任意两点的坐标来表示意两点的坐标来表示, ,而不需要求出直线的倾斜角而不需要求出直线的倾斜角; ;(3)(3)当当x x1 1=x=x2 2时时, ,公式不适用公式不适用, ,此时直线与此时直线与x x轴垂直轴垂直, ,直线斜率直线斜率不存在，倾斜角不存在，倾斜角=90=900 0 小结小结：例例1 1 如下图，已知如下图，已知A(3A(3，2),B(-42),B(-4，1),C1),C（0 0，-1-1）,

11、,求直线求直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是纯角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是纯角. .OxyACB 直线直线AB的斜率的斜率解：解：713421ABk直线直线BC的斜率的斜率21)4(011BCk直线直线CA的斜率的斜率13021CAk的倾斜角均为锐角与知，直线及由CAABkkCAAB00的倾斜角为钝角知，直线由BCkBC0例例2 2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1 1，-1-1，2 2和和-3-3的直线的直线 . .4321,llll及xy1l 解：取解：取 上某一点为上某一点为

12、的坐标的坐标是是 ，根据斜率公式有，根据斜率公式有:),(11yx1A,00111xy即即.11yx 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过原点及过原点及 的直线即为的直线即为 11 x11 y1A)1 , 1()1 , 1(1A1l1l同理，由同理，由 得得22010yx 22yx 2l取取 上一点上一点 ，过原点及，过原点及 的直线即为的直线即为2l2l) 1, 1 (2A) 1, 1 (2A同理可知，同理可知， 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线的直线4l3l) 3, 1 (4A)2 , 1 (3A3l4lo三、课后练习：三、课后练习： 1、

13、解：、解：(1) ； (2)(3)(4)3330tank145tank360tan120tank145tan135tank2、解：、解：(1) ，因为，因为 ， 所以所以直线直线CD的倾斜角是锐角；的倾斜角是锐角；(2) ，因为，因为 ，所以直线，所以直线PQ的倾斜角是钝角的倾斜角是钝角. 76CDk0CDk3PQk0PQk0 3、解：、解：(1)因为因为 ，所以，所以 ， 因此，直线因此，直线AB的倾斜角是的倾斜角是 ；(2)因为过因为过C，D两点的直线垂直两点的直线垂直x轴，所以轴，所以直线直线CD的倾斜角是的倾斜角是 ；(3)因为因为 ，所以，所以 ，因此，因此，直线直线PQ的倾斜角是的

14、倾斜角是 .0ABk0tana901PQk1tana45四、小结：四、小结： 1、直线的倾斜角定义及其范围：、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：、直线的斜率定义：aktan3、斜率、斜率k与倾斜角与倾斜角 之间的关系：之间的关系：0tan18090)(tan900tan90000tan0akakaaakaka不存在不存在4、斜率公式：、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或)90(a22322 tan244tan 231tan71()4k解：2222122tan2tan3222tan,411tan1tan2213830,33kkkkkk 解：由得： 即解得：或（舍）（舍）补例：已知直线的斜率为，直线补例：已知直线的斜率为，直线 的倾斜角是的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，求直线直线的倾斜角的两倍，求直线 的斜率的斜率34ll332242lABkk解：错解错解一半l2l33l , 321321关系为关系为的大小的大小的斜率的斜率在图中的直线在图中的直线kkklll作业：第作业：第89页习题页习题3.1 1，2，3，4