初三数学巧解代数问题指导.doc
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1、在此处键入初三数学巧解代数问题 三角变换在数学中属于工具性的内容,通过三角代换把代数问题转化为三角问题,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了、结构特征显现,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算,因此在解代数问题时,要关于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息,选取适当的三角代换,从而将代数问题转化为三角问题。 1. 捕捉“”的信息 例1. 解不等式。 分析:由于 于是令,则原不等式化为,所以: 两边平方并整理得150,解得。由可得,故原不等式的解集是。 例2. 给定正整数n和正数m,对于满足条件的所有等差数列的最大值。 分析:由,则由于是 其中。 当且仅当=1
2、, 且时等式成立。 这时时, 2. 捕捉“”的信息 例3. 设,求证: 分析:由于,可设且,则 例4. 已知a、b为非负数,且求证=1.分析:故可设,由已知条件可得,即 3. 捕捉“”的信息 例5. 数列满足,求证是单调数列。 分析:由于与余弦函数的半角公式的结构完全一致, 故可设 , 所以=, 即。故数列是单调数列。 4. 捕捉“”的信息 例6. 解不等式 分析:考虑到关键是去根号,联想到公式, 设, 则原不等式可化为 即 解得, 原不等式的解为。 5. 捕捉“”的信息 例7. 数列,求。 分析:由联想到 , 由此可令 证明略。故所求通项公式为 6. 捕捉“”的信息 例8. 解方程组且。 分析:若把原式变形为则可发现它与正切函数的倍角公式结构一致,因此可令 因为,. 于是原方程组的解为 例9. 求的值域。 分析:将的表达式裂项变形得, 由此联想到万能公式,由令 当。 故的值域是 7. 捕捉“”的信息 例10. 已知求证: 分析:由等式的结构联想到ABC中有。由此可设,则 由于 原式成立。 8. 捕捉“”的信息 例11. 已知的取值范围。 分析:由已知条件联想到公式, 即 由此可令,则
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- 初三 数学 代数 问题 指导
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