二次函数的最值问题总结.docx

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1、精品名师归纳总结二次函数的最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数yax2bxc a0 是中学函数的主要内容,也是高中学习的重要基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结础在中学阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情形当 a0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数在 xb处取得最小值2a4acb 24a,无最大值。当a0时,函数在 xb处取得2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最大值4acb 24a,无最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本节

2、我们将在这个基础上连续学习当自变量x 在某个范畴内取值时,函数的最值问题同时仍将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简洁应用二次函数求最值（一般范畴类）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 当2x2 时,求函数yx22 x3 的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 作出函数在所给范畴的及其对称轴的草图,观看图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 作出函数的图象当x1时,ymin4 ,当 x2 时,ymax5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

3、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 当1x2 时,求函数 yx2x1 的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 作出函数的图象当x1 时,ymin1 ,当 x2 时,ymax5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由上述两例可以看到, 二次函数在自变量 x 的给定范畴内, 对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值依据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量x 的范畴的图象外形各异 下面给出一些常见情形：可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品名师归纳总结例 3 当 x0 时,求函数yx2x 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 作出函数yx2xx22x 在 x0内的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以看出：当x1时,ymin1 ,无最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,当 x0 时,函数的取值范畴是y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 当 txt1 时,求函数 y1 x2x5 的最小值 其中 t 为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22分析： 由于 x 所给的范畴随

5、着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范畴的相对位置125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 函数yxx的对称轴为 x 221. 画出其草图1 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 当对称轴在所给范畴左侧即t1时：当 xt 时,ymintt。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 当对称轴在所给范畴之间即t1t10t1 时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1时,ymin113。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 当对称轴在所给范畴

6、右侧即1t112t0 时：51 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 xt1 时,ymint1t1t3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述： y1 t 223,01 t 23,t tt015 , t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值 经济类问题 例 1为了扩大内需,让惠于农夫,丰富农夫的业余生活,勉励送彩电下乡,国家打算对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电, 政府补贴如干元, 经调查某商场销售彩电台数 y（台）

7、与补贴款额 x （元）之间大致满意如图所示的一次函数关系随着补贴款额 x 的不断增大, 销售量也不断增加, 但每台彩电的收益 Z （元） 会相应降低且Z 与 x之间也大致满意如图所示的一次函数关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元？（ 2）在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益 Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式。（ 3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大,政府应将每台补贴款额x 定为多少？ 并求出总收益 w 的最大值分析：（ 1）政府未出台补贴措施前,商场销售彩电台数为800

8、台,每台彩电的收益为200 元。（ 2）利用两个图像中供应的点的坐标求各自的解析式。（ 3）商场销售彩电的总收益商场销售彩电台数每台家电的收益,将（2）中的关系式代入得到二次函数,再求二次函数的最大值 .解：（ 1）该商场销售家电的总收益为800200160000（元）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ） 依 题 意 可 设yk1x800 ,Zk2 x200,有 400k18001200 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结200 k200160 ,解得 k1, k1 所以 yx800 , Z1 x200 55212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

9、归纳总结（ 3） WyZx8001 x20051 x51002162000,政府应将每台补可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结贴款额 x 定为 100 元,总收益有最大值,其最大值为162000元说明：此题中有两个函数图像,在解题时要结合起来摸索,不行顾此失彼.例 2凯里市某大型酒店有包房100 间,在每天晚餐营业时间, 每间包房收包房费100 元时, 包房便可全部租出。如每间包房收费提高20 元,就削减 10 间包房租出,如每间包房 收费再提高 20 元,就再削减10 间包房租出,以每次提高20 元的这种方法变化下去.（1） 设每间包房收费提高x（元）,就每间包房的收入为y 1（

10、元）,但会削减 y 2 间包房租出,请分别写出y1、y2 与 x 之间的函数关系式.（2） 为了投资少而利润大,每间包房提高x（元）后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元）,请写出 y 与 x 之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由.分析：（ 1）提价后每间包房的收入原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费,包房削减数每间包房收包房提高费数量的一半。（ 2）酒店老板每天晚餐包房总收入提价后每间包房的收入每天包房租出的数量,得到二次函数后再求y 取得最大值时 x 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）y1100x ,

11、y21 x 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） y100x1001 x y21 x250 211250 ,由于提价前包房费总收入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 100 100=10000,当 x=50 时,可获最大包房收入11250 元,由于 1125010000 又由于每次提价为 20 元,所以每间包房晚餐应提高40 元或 60 元.说明：此题的答案有两个,但从“投资少而利润大”的角度来看,因尽量少租出包房, 所以每间包房晚餐应提高60 元应当更好 .例 3某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水可编辑资料 - -

12、- 欢迎下载精品名师归纳总结产品养殖情形进行了调查调查发觉这种水产品的每千克售价y1 （元）与销售月份 x （月）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结满意关系式y1 3 x36 ,而其每千克成本8y2 （元）与销售月份x （月）满意的函数关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系如下列图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2（元）2524y1 x228bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12x（月）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

13、（ 1）试确定 b、c 的值。（ 2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份 x （月）之间的函数关系式。（ 3）“五一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：（ 1）将点（ 3, 25）,（ 4, 24）代入求 b、 c 的值。（2） yy1 -y2 。（ 3）将（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中的二次函数配方为顶点式,再利用二次函数的增减性,在满意“五一”之前的前提下求最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1）由题意：2513282414283bc4bc,解

14、得b1 78 。c29 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）yy1y23 x361 x215 x29 11 x23 x6 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8882822可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） y1 x23 x6 11 x212x364 16 11 x6211.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8228228可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a10 ,抛物线开口向下在对称轴 x 86 左侧 y 随 x 的增大而增大由题意可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结x5 , 所 以 在 4月 份 出 售 这 种 水 产 品 每 千 克 的 利 润 最 大 最 大 利 润1 4621110 1 （元）82说明：此题在 x 6,即 6 月份时取得最大值,但题目要求在“五一”之前,所以要将二次函数配方为顶点式,利用二次函数的增减性来求解.例 4.某商场以每件 30元的价格购进一种商品, 试销中发觉这种商品每天的销售量m 件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与每件的销售价 x 元满意一次函数 m1623x,30x54 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价

16、x 之间的函数关系式。(2) 如商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1 由已知得每件商品的销售利润为 x30 元,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 m 件的销售利润为ym x30 ,又 m1623x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx301623 x3x2252 x4860,30x54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由1知对称轴为 x42 ,位于 x 的范畴内,另抛物线开口向下可编辑资料 -

17、- - 欢迎下载精品名师归纳总结max当 x42 时,y3422252424860432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当每件商品的售价定为42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为432 元二次函数求最值 面积最值问题 例 1.在矩形 ABCD 中, AB=6cm ,BC=12cm ,点 P 从点 A 动身,沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的速度移动,同时点Q 从点 B 动身沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度移动,假如 P、Q 两点同时动身,分别到达B 、C 两点后就停止移动（ 1）运动第 t 秒时, PBQ 的面积 ycm2是多少？（ 2）此时五边形 AP

18、QCD 的面积是 Scm2,写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的取值范畴（ 3） t 为何值时 s 最小,最小值时多少？ 答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 y1 6t） 2t 2t 26t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） S612 （ t 26t） t 26t7（2 0t6）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）S （ t3）263可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当t3时。 S有最小值等于 63例 2.小明的家门前有一块空的,空的外有一面长10 米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸预备靠墙修建一个矩形花圃

19、,他买回了32 米长的不锈钢管预备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的便利, 预备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？x解： 设花圃的宽为x 米,面积为 S 平方米就长为： 324x2344x 米可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就： Sx344 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24 x4 x3 4x17 242894可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0344x10 6x172可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

20、结 1746 , S与 x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范畴内,17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而当 6x内, S 随 x 的增大而减小,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x6 时,Smax4617 24289460平方米 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：可设计成宽6 米,长 10 米的矩形花圃,这样的花圃面积最大例 3.已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图）,其中 AF=2 ,BF=1 试在 AB 上求一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积解： 设矩形 PNDM 的边 DN=x ,NP=y , 就矩形

21、PNDM 的面积 S=xy （ 2x）4 易知 CN=4-x ,EM=4-y 过点 B 作 BH PN 于点 H就有 AFB BHP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AFBF yBH2,即PH11 x5,24x ,y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sxy1 x 225x 2x4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5 ,当 x5时,函数值 y 随 x 的增大而增大,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于 2x4 来说,当 x=4 时,S最大14225412 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

22、师归纳总结【评析】此题是一道代数几何综合题,把相像三角形与二次函数的学问有机的结合在一起, 能很好考查同学的综合应用才能同时,也给同学探究解题思路留下了思维空间例 4.某人定制了一批的砖, 每块的砖 （如图 1所示） 是边长为 0.4 米的正方形 ABCD ,点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上, CFE 、 ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成 CFE 、 ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30 元、 20 元、 10 元,如将此种的砖按图 2所示的形式铺设,且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH (1) 判定图 2 中四边形 EFGH 是何外形,并

23、说明理由。(2) E、F 在什么位置时,定制这批的砖所需的材料费用最省？ 解： 1 四边形 EFGH 是正方形图2可以看作是由四块图 1 所示的砖绕 C 点按顺 逆时针方向旋转 90后得到的,故 CE=CF =CG CEF 是等腰直角三角形因此四边形 EFGH 是正方形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设 CE=x, 就 BE=0.4 x,每块的砖的费用为y 元那么： y=x30+0.4 0.4-x 20+0.16-x-0.4 0.4-x 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 x20.2 x0.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 x0.1 22.3 0x0.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=0.1 时, y 有最小值,即费用为最省,此时CE=CF =0.1 答：当 CE=CF =0.1 米时,总费用最省可编辑资料 - - - 欢迎下载