相似三角形添加辅助线的方法举例有答案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -相像三角形添加帮助线的方法举例例 1：已知：如图，ABC 中， AB AC， BD AC 于 D求证：BC2 2CD ACADBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知梯形ABCD 中，AD /BC ，BC3AD， E 是腰 AB 上的一点，连结CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）假如 CEAB ， ABCD ，BE3 AE ，求B 的度数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设BCE 和四边形

2、AECD 的面积分别为S1 和S2 ，且2S13S2，试求BE 的值AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF例 3如图 4-1，已知平行四边ABCD中， E 是 AB 的中点，1 AD3，连 E、F 交 AC 于 G求 AG： AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

3、 - - - - - - - - - -例 4、如图 45， B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，就AF：AE= .例 5、如图 4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于 O 点， E 为 AB 延长线上一点，OE 交 BC于 F，如 AB=a， BC=b， BE=c，求 BF 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB例 6、已知在 ABC 中， AD 是 BAC的平分线求证：ACBDCD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2

4、页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -相像三角形添加帮助线的方法举例答案例 1：已知：如图，ABC 中， AB AC， BD AC 于 DA求证：BC2 2CD AC分析： 欲证BC2 2CDAC，只需证BCAC 但由于结论中有“2”，无法2CDBCD直接找到它们所在的相像三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线， 对其中某一线段进行倍、分变形， 构造出单一线段后，再证明三角形相像由BC“ 2”所放的位置不同，证法也不同证法一 （构造 2CD

5、）：如图，在AC截取 DE DC， BD AC于 D， BD 是线段 CE的垂直平分线，A BC=BE， C= BEC，又AB AC，E C= ABC BCE ACBD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BCCEACBCACBC，BC2CDBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC2 2CD ACE证法二 （构造 2AC）： 如图，在CA的延长线上截取AE AC，连结 BE， AB AC， AB AC=AE EBC=90，A又 BD AC EBC= BDC= EDB=90， E= DBC，D EBC BDCBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC

6、CEBC2 AC即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CDBCCDBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC2 2CD AC1证法三 （构造BC2又 AB=AC，1） ：如图，取BC的中点 E，连结 AE，就 EC=BC 2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AEBC， ACE= C AEC= BDC=90 ACE BCD1D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 CECDBCAC 即 2BCCDAC BCBEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC22CD AC1证法四 （构造BC2A1）：如图，取BC中点 E，连结 DE

7、，就 CE=BC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BD AC， BE=EC=EB， EDC= C又 AB=AC， ABC= C， ABC EDCDBEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BCCDACBCJ 即ECCDAC1 B

8、C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC2 2CD AC说明： 此题充分展现了添加帮助线，构造相像形的方法和技巧在解题中方法要敏捷，思路要开阔可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知梯形ABCD 中，AD /BC ，BC3AD， E 是腰 AB 上的一点，连结CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）假如 CEAB ， ABCD ，BE3 AE ，求B 的度数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设BCE 和四边形AECD 的面积分别为S1 和S2 ，且2S13S2，试求B

9、E 的值AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）设 AEk ，就BE3k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1如图，延长BA 、 CD 交于点 F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD / BC， BC3 AD ，BF3 AFAF2 k ， E 为 BF 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 CEBFBCCF ，又 CFBFB C F为等边三角形故B60解法 2如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 DF /就 CEAB 分别交 CE 、 CB 于点 G 、 F DF ，得平行四边形ABFD可编辑资料 -

10、- - 欢迎下载精品名师归纳总结同解法 1 可证得CDF 为等边三角形故B160解法 3如图作 AF / EC 交 CD 于 G ，交 BC 的延长线于F作 GI / AB ，分别交 CE 、 BC 于点 H 、 I就 CEGI ，得矩形AEHG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF / CEBCBE3 ，CFAE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料

11、word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 BC3 ADCFAD，故 G 为 CD 、 AF 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下同解法1 可得CGI 是等边三角形故B160解法 4如图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 AF / CD，交 BC 于 F ，作FG / CE，交 AB 于 G ，得平行四边形AFCD ，且 FGAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结读者可自行证得ABF 是等边三角形，故解法 5如图B60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

12、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结延长 CE 、 DA 交于点 F ，作AG / CD，分别交BC 、 CE 于点 G 、 H ，得平行四边形AGCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可证得 A 为 FD 的中点，就AH2k ，故160可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得ABG 为等边三角形，故解法 6如图（补形法） ，B60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结读者可自行证明CDF 是等边三角形，得BF60（注：此外可用三角形相像、等腰三角形三线合和一、等积法等）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设S BCE3S，就

13、S四边形 AECD2S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1（补形法）如图补成平行四边形ABCF ，连结 AC ，就 DF2 AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 S ACDx ，就S ACE2Sx， S CDF2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 S ABCSS ACF 得，3s2sx3 s2 sxBEx2 x，x5 s4S BCE3s4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACE4AESACE3 s4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2（补形法）如图，延长BA 、 CD 交于点 F ，S FAD1S ABC9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1S FADS FAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8S梯形 ABCDs ，5S FAD85sS FEC5 s2s821 s ，又8S EBC3

15、s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EFSBESFBC7BEC8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 BE8m ，就 EF7m ， BF15m ， AF5m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AE2 m ，BE4 AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 3（补形法）如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连结 AC ，作连结 FCDF /AC 交 BA 延长线于点F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就FAD ABC ，故AB3 AF（1）可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ACDSACF ，S四边形 AECDS FEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BES BECEFS FECS BCE3S四边形 AECD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 2BE3EF3 AEAF 3 AE3 AF（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 1 ）、（ 2）两式得解法 4（割补法）如图BE4AE即 BE4 AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - -

17、- -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连结 A 与 CD 的中点 F 并延长交 BC 延长线于点 G ，如图， 过 E 、 A 分别作高h1 、h2 ，就 CGAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 S四边形 AECDS四边形 AECG ，S ABGS梯形 ABCD5s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结3S EBC5S ABG1 BC h12 ，又 BC321BG hBG42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h14 ，h25BE4 ，故 BE4AB5AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明此题综合考查了等腰三角形的性质，相像三角形的判定和性质，解题关键是作帮助线，构造相像三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF例 3如图 4-1，已知平行四边ABCD中， E 是 AB 的中点，1 AD3，连 E、F 交 AC 于 G求 AG： AC可编辑资料 - - - 欢迎下

19、载精品名师归纳总结的值解法 1：延长 FE交 CB的延长线于H，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四边形 ABCD是平行四边形，AD / BC ，H= AFE， DAB= HBE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AE=EB，AEF BEH，即 AF=BH，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF1 ADAF3，1 BCAF3，即1 CH4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD CH， AGF= CGH， AFG=BHE，AFG CGHAG： GC=AF： CH，AG： GC=1： 4，AG： AC=1： 5可编辑资料 - - - 欢迎下

20、载精品名师归纳总结解法 2：如图 42，延长 EF 与 CD 的延长线交于M ，由平行四边形ABCD可知，AB/DC ，即 AB MC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFAF： FD=AE： MD ， AG： GC=AE： MC1 AD3，AF： FD=1：2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AE： MD=1 ：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

21、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AE1 AB21 DC2AE：MC=1： 4，即 AG： GC=1： 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AG： AC=1： 5例 4、如图 45， B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，就AF：AE= .解析：取CF的中点 G，连接 BGB 为 AC的中点，BG：AF=1：2，且 BG AF，又 E 为 BD 的中点，F 为 DG 的中点EF： BG=1： 2故 EF： AF=1： 4，AF： AE=4： 3例 5、如图 4-7，已

22、知平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于 O 点， E 为 AB 延长线上一点，OE 交 BC于 F，如 AB=a， BC=b， BE=c，求 BF 的长解法 1：过 O 点作 OM CB 交 AB 于 M ，O 是 AC 中点， OM CB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M 是 AB 的中点，即MB1 a2OM，1 BC1 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OM 是 ABC的中位线，22，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 OM BC， EFB=EOM， EBF=EMO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BF BEF MO

23、E， OMBEEM ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFc1 ba即 22cBF，bca 2c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：如图 4-8，延长 EO 与 AD 交于点 G，就可得 AOG COF，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFAG=FC=b-BF，BF AG， AGBEAE 即BFb BFcac ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFcba2cBFbca2c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFBE解法 3：延长 EO与CD 的延长线相交于N，就 BEF与 CNF的对应边成比例，即CFCNBFbc解得a2c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB例 6、已知在 ABC 中， AD 是 BAC的平分线求证：ACBDCD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 1比例线段

25、常由平行线而产生，因而讨论比例线段问题，常应留意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中AD 为 ABC 内角 A 的平分线，这里不存在平行线，于是 可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的帮助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法 1：如图 49，过 C点作 CE AD，交 BA 的延长线于EBDBA在 BCE中，DA CE，DCAE又CE AD，1= 3， 2= 4，且 AD 平分 BAC， 1=2，于是 3= 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDAC=AE代入式得DCAB

26、AC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 2由于 BD、CD 是点 D 分 BC而得，故可过分点D 作平行线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证法 2：如图 410，过 D 作 DE AC交 AB 于 E，就 2= 3 1=2， 1= 3于是 EA=EDBEBDABBEBEABBD又 EADC ，ACEDEA ，ACCD.

27、分析 3欲证式子左边为AB：AC，而 AB、AC不在同始终线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与 AC 平行的位置证法 3：如图 411，过 B 作 BE AC，交 AD 的延长线于E，就 2= E 1=2， 1= E， AB=BE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD又 DCBEAC ，ABBDACCD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 4由于 AD 是 BAC的平分线，故可过D 分别作 AB、AC 的平行线，构造相像三角形求证证法 4如图 412，过 D 点作 DE AC 交 AB 于 E， DF AB 交 AC 于 F易证四边形AEDF是菱形就DE=D

28、F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDBE由 BDE DFC，得 DCDFBEDE 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE又DEABAC ，ABBDACDC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载