2022年排列组合讲义 .pdf

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1、两类计数原理一、加法原理和分类计数法1加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn种不同方法。2第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U UAn 。3分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同( 即分类不重) ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类( 即分类不漏) 。二、乘法原理和分步计数法1乘法原理乘法原理：

2、做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 m2 m3 mn种不同的方法。2合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。例 1、将四个不同信封装入3 个不同抽屉中，问共有多少种方法？排列组合的定义及公式一、排列的定义及其计算公式：从 n 个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n 个不同元素中取

3、出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数。规定 0!=1二、组合的定义及其计算公式：从 n 个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 1、 4 人跑 4100 米接力赛（1）甲、乙都不跑

4、第一棒的安排方法有种，（2）甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的安排方法有种，（3）甲不跑第一棒也不跑第四棒的安排方法有种。2、用 0、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个3、平面上 4 条平行直线与另外5 条直线互相垂直，则它们构成的矩形共有个4、从 0、1、2 、9 这十个数字中取出三个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的五位数，共有个。5、从 1、2、3、9 这 9 个数中任取7 个数，按从小到大的顺序排成一列，则不同排列的个数是。6、6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人得

5、一本，一人得两本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆。7、6 个人进两间屋子，各有多少种分配方法？（1）每屋都进3 人；（2）每屋至少进1 人；（3）每屋至少进2 人；8、从 1、2、 、 20 中任取 3 个数组成等差数列，求能组成的不同等差数列的个数。9、将 4 个相同的信封装入5 个不同的抽屉里，问共有多少种方法？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 排列组合解题常用方法：一. 特殊元素

6、（位置）用优先法：把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例 1.6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？二. 相邻问题用捆绑法：对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“ 捆绑法 ” ：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素， 与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例 2.5 个男生和3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同排法？三. 不相邻问题用插空法：元素不相邻问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例 3. 7 人排成一排，甲、乙

7、、丙3 人互不相邻有多少种排法？四. 定序问题用除法：对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将 n 个元素进行全排列，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定。例 4. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？五. 分排问题用直排法：对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例 5. 9 个人坐成三排，第一排2 人，第二排3 人，第三排4 人，则不同的坐法共有多少种？六 “ 小团体

8、” 排列问题中先整体后局部的策略例 6 7 个人排成一行，甲乙两人间恰有3 人的排法共有多少种？七. 复杂问题用排除法：对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例 7. 四面体的顶点和各棱中点共有10 个点，取其中4 个不共面的点，则不同的取法共有A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页

9、，共 7 页 - - - - - - - - - 八. 多元问题用分类法：按题目条件， 把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。例 8. 染色问题（ 6 色染 5 区）九. 排列、组合综合问题用先选后排的策略：例 9. 将 4 名教师分派到3 所中学任教，每所中学至少1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？十. 隔板模型法：常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例 10. 有 10 个三好学生名额，分配到6 个班，每班至少1 个名额，共有多少种不同的分配方案？练习题一1、从四台甲型和五台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型与乙型各一台，则不同的取法有种。2

10、、 4 个不同的小球， 放入编号为1、 2、 3、 4 的四个盒中， 恰有一个空盒的放法有种；恰有两个空盒的放法有种。3、将标号为1、2、10 的 10 个球放入标号为1、2 、10 的 10 个盒子内，每个盒内放一球，则恰好有3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法共有种。4、5 名学生和3 名老师站成一排照相，3 名老师必须站在一起的不同排法有种5、4 名男生和 3 名女生排成一排，其中有且仅有两名女生相邻的排法有种6、6 人站成一排，其中甲、乙、丙不全相邻的排法共有种。7、要使品种不同的4 棵杨树和 3 棵柳树栽一行。任何两棵柳树不相邻的栽有种；杨柳相间的栽法有种。8、7 个人排成一

11、行照相，其中甲、乙要求在一起，丙、丁要求分开，则不同的排法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 有种。9、三个人坐在一排8 个座位上，若每人左右两边豆都有空位，那么共有种不同的坐法。10 、7 个人排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序不变的排法有种。11、7 个人排成一行，甲、乙两人间恰有3 人的排法共有种12、马路上有编号为1， 2， 3， 4 .10 的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但

12、不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有 _种. 练习题二1、 用 0 到 9 这 10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？2、 三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？3 、排一张有5 个歌唱节目和4 个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？4、 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美

13、术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法5、现有 3 辆公交车、 3 位司机和 3 位售票员， 每辆车上需配1 位司机和 1 位售票员 问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？6 、7 名同学排队照相(1) 若分成两排照，前排3 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - (2) 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在

14、后排，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？7 从65432、五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和8fedcba,六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法9八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？10(1) 计算88332211832AAAA(2) 求!3!2!1nSn(10n)的个位数字练习题三1. 7 名志愿者中安排6 人在周六、周日两天参加社区

15、公益活动。若每天安排3 人，则不同的安排方案共有_种2. 甲、乙、丙人站到共有5 级的台阶上，若每级台阶最多站1 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是3.甲、 乙两人从 4 门课程中各选修2 门， 则甲、 乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有（A）6 种（B）12 种（C）24 种（D）30 种4.甲、 乙两人从 4 门课程中各选修2门。 则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种5. 从 5 名男医生、 4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、 女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70 种（B）

16、 80 种（C） 100 种（D）140 种6. 将 4 名大学生分配到3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）7. 从 10 名大学生毕业生中选3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数（）A 85 B 56 C 49 D 28 8. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页

17、 - - - - - - - - - 9. 从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108 10. 从 5 名志愿者中选派4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加， 星期六有两人参加， 星期日有一人参加， 则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种11. 某地政府召集5 家企业的负责人开会，其中甲企业有2 人到会，其余4 家企业各有1人到会，会上有3 人发言，则这3人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（） A14 B 16 C 20 D 48 12. 甲组有 5 名男同学、 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）（A）150 种（ B）180 种（C）300 种（ D） 345种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -