2022年排列组合问题中的重复计算剖析 .pdf

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1、排列组合问题中的重复计算剖析在解答排列组合问题中，易犯的错误是遗漏与重复。遗漏多半比较明显，而重复较为隐蔽。本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析。研究失误的原因，寻求补正和预防的方法。例 1 某天有六节不同的课，若第一节排数学，或第六节排体育，问共有多少种不同的排法？错解 数学排第一节的排法有55A种，体育排第六节的排法也有55A种，根据加法原理，第一节排数学或排体育的排法共有55A55A255A240 种剖析 在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，即多算44A种。正确结果是：55A

2、55A44A216 种例 2 从 4 名男生 3 名女生中选 3 人成立科技小组，问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种？错解 先选一名男生， 有14C种选法， 再选一名女生， 有13C种选法，最后从余下的5 名学生中选一名有15C种选法，故共有选法14C13C15C60 种剖析上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设4 名男生为 A1，A2，A3，A4，3 名女生为 B1，B2，B3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4 类。在含有男生A1的一类的选法有： A1，B1，A2，即先选 A1，再选 B1，最后选 A2；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

3、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 在含有男生 A2的一类中有 A2， B1，A1，即先选 A2，再选 B1，最后选 A1。显然这两种选法被重复计算了。因此上述解法是错误的。错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏。正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生一名女生两名，有1243C C种选法，另一类是男生两名女生一名，有2143C C。故共有1243C C2143C C30 种例 3 n 个不同的球放入n1 个不同的盒

4、子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？错解先在每盒子中放入一球共有1nnA种放法，再将剩下的一球放入，有 n1 种放法。 由乘法原理， 共有放法（n1）1nnA（n1）n！种. 剖析 将这 n 个球和 n1 个盒子均依次编号，设先在每盒中放入一球时，有一种放法是第I 号盒子恰好放入第I 号球，其中 I1，2， n1，然后再考虑剩下的第n 号球的放法，假设第n号球恰好放入第 1 号盒，这样，除1 号盒中放有第一号与第n 号两个球外，其余各盒均只放有一个与盒子同号的球，若先在每盒中放入一球时，第 n 号球恰好放入第1 号盒，而其余各盒所放的球均与盒子同号，这样

5、，再将剩下的1 号球放入盒中时，必有一种放法是恰好放入 1 号盒，这时，出现与前一次完全相同的结果，但在上面的解法中被当成两种不同的放法来计算，故重复。正确的解法是：先从n 个球中任取 2 个组成一组，共有2nC种方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 法；然后把这2 个球当作 1 份，另外 n2 个球每个球算1 份，共有 n1 份，把这 n1 份分放在 n1 个盒子中， 且使每盒中恰有1份，共有11nnA种放法，由乘法原理，符合题意的放法种数为2nC11nnA12nn！名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -