2022年数学分析.--二元函数的泰勒公式参考 .pdf

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1、10.4 二元函数的泰勒公式一. 高阶偏导数二元函数zf),(yx的两个（一阶）偏导函数xz，yz仍是x与y的二元函数。若他们存在关于x和y的偏导数，即x（xz） ，y（xz） ，x（yz） ，y（yz）. 称它们是二元函数zf),(yx的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有22个。通常将x（xz）记为22xz或 xxf),(yx. y（xz）记为yxz2或 xyf),(yx. (混合偏导数 ) x（yz）记为xyx2或 yxf),(yx. (混合偏导数 ) y（yz）记为22yz或 yyf),(yx. 一般地，二元函数zf),(yx的1n阶偏导数的偏导数称为二元函数的n阶偏导数 .二元函数的

2、n阶偏导数至多有2n个. 二元函数z=f(x,y)的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似 . 例如 , 符号kknnyxz或)( nyxkknf),(yx表示二元函数zf),(yx的n阶偏导数， 首先对x求kn阶偏导数 , 其次对y求k阶偏导数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 . 类似可定义三元函数、一般n元函数的高阶偏导数. 例 1 求函数332233xyyxyxz的二阶偏导数. 解xz=23263yxyyx，yz=xyxyx233223.22xz=yxy663. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

3、整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - yxz2=yxyx26922. xyz2=yxyx26922. (yxz2=xyz2) 22yz=xyx263. 例 2证明：若 u=r1,r=222)()()(czbyax,则22xu+22yu+22zu=0. 证明由 10.3 例 2，有xu=3rax，yu=3rby，zu=3rcz. 22xu=6233)(rxrraxr(xr=rax) =6233)(rraxraxr=31r+53r2)(ax. 同样，可得22yu=31r+53r2)(by, 22zu=31r+53r2)(cz于是，22xu+

4、22yu+22zu=31r53r)()()(222czbyax=33r+33r=0. 由例 1 看到，yxz2=xyz2，即二阶混合偏导数（先对x后对y和先对y后对x）与求导的顺序无关。那么是否函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关呢？否！例如，函数f(x,y)= 02222yxyxxy,0,0,2222yxyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 在原点（ 0, 0）的两个偏导数 xyf(0,0)于 yxf(0,0)

5、都存在，且)0,0( xyf)0,0( yxf事实上，由偏导数定义，有xf(0, 0)= 0limhhfhf)0,0()0,(=0 yf(0, 0)= 0limhhfhf)0,0(),0(=0 xf),0(y= 0limhhyfyhf),0(),(=0limhhyhyhhy2222=y. yf(x, 0)= 0limhhxfhxf)0,(),(=0limhhhxhxxh2222=x. xyf(0, 0) =0limhhfhfxx)0,0(),0(=0limhhh=1 yxf(0, 0)=0limhhfhfyy)0,0()0,(=0limhhh=1于是，)0,0( xyf)0,0( yxf那么，

6、多元函数具有什么条件，它的混合高阶偏导数与求导的顺序无关呢？有下面的定理：定理 1若二元函数),(yxf在点 P0(x0,y0)的邻域 G 存在二阶混合偏导数 xyf),(yx与 yxf),(yx，并且它们在点P0(x0,y0)连续，则 xyf),(00yx= yxf),(00yx证法根据一阶、二阶偏导数的定义，有),(00 yxfxy=0limkkyxfkyxf),(),(0000=0limkk1hkyxfkyhxfh),(),(lim00000),(),(lim00000hyxfyhxfh名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

7、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - =0limk0limhhkyxfyhxfkyxfkyhxf),(),(),(),(00000000设),(kh=),(),(),(),(00000000yxfyhxfkyxfkyhxf从而 , ),(00 yxfxy=0limk0limhhkh)k,（. 同样方法，有),(00 yxfyx=0limh0limkhkh)k,（. 定理 1 的实质是上述两个累次极限相等，即两个累次极限可以交换次序.由此可见，证明定理 1 要构造函数),(kh. 证明当h与k充 分 小 时 ， 使),

8、(00kyhxG， 从 而 ，),(00yhx与),(00kyxG,设),(kh),(),(),(),(00000000yxfyhxfkyxfkyhxf. （1）令),(),()(00yxfkyxfxg,(1)式可改写为),(kh)()(00 xghxg. 函数)(xg在以0 x和hx0为端点的区间可导，根据微分中值定理，有),(khhhxgx)(10=hyhxfkyhxfxx),(),(010010，101. 已知 xyf),(yx在G存在，将hx10看作常数，再根据微分中值定理，有),(kh xyfhkkyhx),(2010，10，12. (2) 再令),(),()(00yxfyhxfyl

9、，同样方法，有),(kh yxfhkkyhx),(4030，30，14. (3) 于是，由（ 2）式和（ 3）式，有 xyf),(2010kyhx= yxf),(4030kyhx. 已知 xyf),(yx与 yxf),(yx在点),(000yxP连续，当022kh时，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - ),(00 yxfxy=),(00 yxfyx. 例 3 证明：若,sin,cos),(yxyxfz则22xf+

10、22yf=22f+2122f+1f. 证明.sincosyfxfyyfxxff.cossinyfxfyyfxxff)sincos()(22yfxfff.sincossincossincos22222222yfxyfyxfxf)cossin()(22yfxfff.sincoscossincoscossinsin222222222222yfyfxyfxfyxfxf于是，fff1122222)cos(sin)sin(cos22222222yfxfsincossincosyfxfyfxf.2222yfxf即.11222222222fffyfxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

11、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 定理 1 的结果可推广到n元函数的高价混合偏导数上去. 例如，三元函数),(zyxf关于zyx,的三阶混合偏导数共有六个：.,333333xyzfyxzfyzxfxzyfzxyfzyxf若它们在点),(zyx都连续，则它们相等. 若二元函数),(yxf所有的高阶混合偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有两个，二阶偏导数只有三个)( yxxyff，三阶偏导数只有四个 .一般情况，n阶偏导数只有1n个. 二. 二元函数的泰勒公式一元函数

12、的泰勒公式能够推广到多元函数上来. 关于多元函数泰勒公式的作用和意义与一元函数泰勒公式相同，不再重述 . 为书写简便， 只讨论二元函数的泰勒公式. 讨论二元函数泰勒公式的方法是作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数. 应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式. 为了将二元函数),(yxf在点),(kbhaQ的函数值),(kbhaf在点),(baP展成泰勒公式，作辅助函数),()(ktbhtaft,10t即.10,),()(tktbyhtaxyxft显然，).,()1(, 1);,()0(,0kbhaftbaft于是，函数),(kbhaf在点),(baP展成的泰勒公式

13、就是一元函数)(t在点0t的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1t的值 . 定理2 若二元函数),(yxf在点),(baP的领域G存在1n阶连续的偏导数，则,),(GkbhaQ有),(kbhaf),()(!21),()(! 11),(2bafykxhbafykxhbaf,10),()()!1(1),()(!11kbhafykxhnbafykxhnnn（4）其中符号),()()(bafyxli表示偏导数liiyxf1在),(baP的值，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，

14、共 18 页 - - - - - - - - - ).,(),()(0bafyxkhCbafykxhimimimimiimm(4) 式称为二元函数),(yxf在点),(baP的泰勒公式 . 证明设.10),()(tktbhtaft由已知条件，函数)(t在区间1 ,0存在1n阶连续导数 . 从而，可将函数)(t展成麦克劳林公式，即.10,)!1()(!)0(!2)0(! 1)0()0()(1)1()(2 nnnntnttnttt特别地，当1t时，有.10,)!1()(!)0(!2)0(! 1)0()0()1()1()( nnnn).,()0(),()1(bafkbhaf求),(,),(),()1

15、( tttn即求复合函数ktbyhtaxyxf,),(的高级导数 . 由复合函数微分法则，有yfkxfhdtdyyfdtdxxft )().,()(ktbhtafykxh )()()(yfkxfhtt22222222yfkxyfhkyxfhkxfh22222222yfkyxfhkxfh (根据定理 1) ),()2(2222222ktbhtafykyxhkxh).,()(2ktbhtafykxh名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - -

16、- - - - 同法可得，).,()()()(ktbhtafykxhtmm令0t，有.,2,1),()()0()(nmbafykxhmm).,()()(1)1(kbhafykxhnn将上述结果代入)1(的展开式中，就得到二元函数),(yxf在点),(baP的泰勒公式：),(kbhaf),()(!21),()(! 11),(2bafykxhbafykxhbaf.10),()()!1(1),()(!11kbhafykxhnbafykxhnnn在泰勒公式 (4) 中，令,0,0 ba就得到二元函数),(yxf的麦克劳林公式（将h与k分别用x与y表示） ：),(yxf)0,0()(!21)0,0()(

17、! 11)0,0(2fyyxxfyyxxf.10),()()!1(1)0,0()(!11yxfyyxxnfyyxxnnn（5）在泰勒公式 (4) 中，当0n时，有kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),(或.10,),(),(),(),(kkbhafhkbhafbafkbhafyx（6）（6）式是二元函数中值定理 的另一种形式，这里只有一个.在泰勒公式（4）中，当1n时，有kbafhbafbafkbhafyx),(),(),(),(hkkbhafhkbhafxyxx),(2),(21 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

18、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - .10,),(2 kkbhafyy（7）例4 将二元函数yxeyxf),(展成麦克劳林公式. 解函数yxeyxf),(在2R存在任意阶连续偏导数，且,1)0,0(,fyxeyxflmlmyxlmlmm与l是任意非负整数.由公式（ 5） ，有.10,)()!1(1)(!1)(!21)(1)(12yxnnyxeyxnyxnyxyxe不难看到，将yxe中的yx当作一个变量，用一元函数的麦克劳林公式得到的结果与上述结果是一致的. 不难将上述二元函数的泰勒公式推广到n

19、元函数上去 .例如，若三元函数),(zyxf在原点)0,0,0(的领域G存在1n阶连续偏导数，则,),(Gzyx三元函数),(zyxf的麦克劳林公式为)0,0,0()(! 11)0,0,0(),(fzzyyxxfzyxf.10),()()!1(1)0,0,0()(!11zyxfzzyyxxnfzzyyxxnnn例 5当zyx,都很小时，将超越函数zyxzyxzyxfcoscoscos)cos(),(近似表为zyx,的多项式 . 解将三元函数),(zyxf展成麦克劳林公式（到二阶偏导数），有)0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0(),(zyxzfyfxffzyxf)0,0,0()

20、0,0,0()0,0,0(!21 2 2 2zzyyxxfzfyfx).0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(2 zxyzxyzxfyzfxyf.0)0,0,0(f.0coscossin)sin()0,0,0()0,0,0(zyxzyxfx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 同样.0)0,0,0(,0)0,0,0(zyff.0coscoscos)cos()0,0,0()0,0,0( zyxzyxfxx同样.0

21、)0,0,0(,0)0,0,0( zzyyff.1cossinsin)cos()0,0,0()0,0,0(zyxzyxfxy同样.1)0,0,0(,1)0,0,0( zxyzff于是，),(),(zxyzxyzyxf即).(coscoscos)cos(zxyzxyzyxzyx三、二元函数的极值在实际问题中， 不仅需要一元函数的极值，而且还需要多元函数的极值。本段讨论二元函数的极值，其结果可以推广到n 元函数上去 . 定义设二元函数),(yxf在点),(baP的领域G有定义 . 若Gkbha),(，有),(),(bafkbhaf),(),(bafkbhaf则称),(baP是函数),(yxf的极大

22、点（极小点）.极大点（极小点）的函数值),(baf称为函数),(yxf的极大值（极小值）. 极大点与极小点统称为极值点 . 极大值与极小值统称为极值 . 哪些点可能是函数),(yxf的极值点呢？即),(baP是函数),(yxf的极值点的必要条件是什么呢？有下面定理：定理 3若二元函数),(yxf在点),(baP存在两个偏导数，且),(baP是函数),(yxf的极值点，则0),(bafx与0),(bafy. 证明已知),(baP是函数),(yxf的极值点，即ax是一元函数),(bxf的极值点 .根据一元函数的极值的必要条件，a是一元函数),(bxf的稳定点，即0),(bafx同法可证，0),(b

23、afy. 方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 0),(,0),(yxfyxfyx的解（坐标平面上某些点）称为函数),(yxf的稳定点 . 定理 3 指出，二元可微函数),(yxf的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极值点 . 例如，函数（双曲抛物面）.),(22yxyxf,2),(xyxfx.2),(yyxfy显 然 ， 点)0,0(是 函 数22),(yxyxf的 稳 定 点 . 但 是 点)0,0

24、(并 不 是 函 数22),(yxyxf的极值点 . 事实上， 在点)0,0(的任意邻域， 总存在着点)0)(0,(xx，使0)0,0()0,(2fxxf; 也总存在点)0)(0,(yy，使0)0,0()0,(2fyyf，所以点)0,0(不是极值点 . 那么什么样的稳定点才是极值点呢？即),(baP是函数),(yxf的极值点的充分条件是什么呢？定理 4设二元函数),(yxf有稳定点),(baP， 且在点),(baP的邻域G存在二阶连续偏导数 . 令).,(),(),( bafCbafBbafAyyxyxx.2ACB1) 若0，则),(baP是函数),(yxf的极值点 : )0A( 或0C) ，

25、),(baP是函数),(yxf的极小点；)0A( 或0C) ，),(baP是函数),(yxf的极大点 . 2) 若0，),(baP不是函数),(yxf的极值点 . 证明已知),(baP是函数),(yxf的稳定点，有0),(bafx与.0),(bafy当h与k充分小时，讨论),(),(bafkbhaf的符号 . 由泰勒公式（7） ，有（已名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 知0),(),(bafbafyx）),()

26、,(bafkbhaf.10,),(),(2),(212 2 kkbhafhkkbhafhkbhafyyxyxx又已知二阶偏导数在点),(baP连续，当0h与0k时，有.0,),(),( Abafkbhafxxxx.0,),(),( Bbafkbhafxyxy.0,),(),( Cbafkbhafyyyy于是，),(),(bafkbhaf),2(21)2(212222khkhCkBhkAh其中222khkh比2是高阶无穷小)(22kh. 因此，当h与k充分小时，),(),(bafkbhaf的符号由222CkBhkAh的符号决定 .因为 h 与 k 不能同时为零 , 不妨设0k(当0k时，0h，可

27、得相同的结论). .)(2)(22222CkhBkhAkCkBhkAh令tkh，则),(),(bafkbhaf的符号由CBtAtD22的符号决定 . 由一元二次方程根的判别式, 有1)若判别式02ACB, 对任意实数t,D与A( 或C) 有相同的符号, 即),(baP是函数),(yxf极值点 : )0A( 或0C), 有0),(),(bafkbhaf, 即),(baP是函数),(yxf的极小点 ; )0A( 或0C), 有0),(),(bafkbhaf, 即),(baP是函数),(yxf的极大点 . 2)若判别式02ACB, 方程0D有两个不同的实根1t与2t, 设21tt,D名师资料总结 -

28、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 在区间),(21tt内与区间,21tt外有相反的符号, 即),(baP不是函数),(yxf的极值点 . 注当判别式0时, 稳定点),(baP可能是函数),(yxf的极值点 , 也可能不是函数),(yxf的极值点 . 例如 , 函数2222222123(,)() ,(,)() ,(,).fx yxyfxyxyfx yxy不难验证，(0, 0)P是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点(0, 0)P每个

29、函数的判别式20BAC. 显然，稳定点( 0 , 0 )P是函数2221(,)()fx yxy的极小点；是函数2222(,)()fxyxy的极大点；却不是函数23(,)fx yx y的极值点 . 求可微函数(,)fx y的极值点的步骤：第一步：求偏导数，解方程组(,)0,(,)0,xyfx yfx y求稳定点 .设其中一个稳定点是(,)P a b. 第二步：求二阶偏导数，写出2(,)(,)(,).xyxxyyfx yfx yfx y第三步：将稳定点(,)P a b的坐标代入上式，得判别式2(,)(,)(,).xyxxyyfa bfa bfa b再由的符号，根据下表判定(,)P a b是否是极值

30、点：2BAC+ 0 A（或 C）+ 不是极值点不定(,)P a b是极小点是极大点例 6求二元函数333zxyxy的极值 . 解解方程组22(,)320,(,)330.xyfx yxyfx yyx得两个稳定点)0,0(与)1 ,1(. 求二阶偏导数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - (,)6,(,)3,(,)6.xxxyyyfx yxfx yfx yy2(,)(,)(,)936.xyxxyyfx yfx yfx

31、yxy在点)0,0( ,09),0,0(不是函数的极值点. 在点,027),1 ,1(且)1 ,1(,06A是函数的极小点，极小值是.13)1,1(33xyyx. 欲求可微函数(,)fx y在有界闭区域D的最大 ( 小) 值, 除了求出函数(,)fx y在 D内全部极大 ( 小) 值外 , 还要求出函数(,)fx y在 D的边界上的最大( 小) 值,将它们放在一起进行比较,其中最大 (小 ) 者就是函数(,)fx y在 D的最大 ( 小 ). 一般来说， 求函数(,)fx y在 D的边界上的最大 （小）值是很困难的. 但是， 在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数(,)fx y的最大（小）值

32、必在区域D（D 可以是无界区域）内某点P 取得，又函数(,)fx y在 D内只有一个稳定点P，那么函数(,)fx y必在这个稳定点P取得最大（小）值. 例 7用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板. 解设水箱长、宽、高分别是,x y z. 已知xyzV，从而高Vzxy. 水箱表面的面积11(22)2VSxyxyxyVxyxy，S的定义域(,)0, 0Dxyxy. 这个问题就是求函数S在区域 D内的最小值 . 解方程组22221220,1220.SVyVyxxxSVxVxyyy在区域 D内解得唯一稳定点33(2,2)VV. 求二阶偏导数2234,SVxx21Sx

33、 y，2234SVyy. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 222222233161SSSVx yxyx y. 在稳定点33(2,2)VV，30，且20A，从而，稳定点33(2,2)VV是 S的极小点 .因此，函数S在点33(2,2)VV取最小值 . 当332,2xVyV时，3332,222VVzVV即无盖长方形水箱3322,2VxyVz，所需钢板最省. 例 8在已知周长为2 p的一切三角形中，求出面积为最大的

34、三角形. 解设三角形的三个边长分别是,x y z. 面积是. 由海伦公式，有()()()ppxpypz. （8）已知22xyzpzpxy或，将它代入（ 8）式之中，有()()()ppxpyxyp. 因为三角形的每边是正数而且小于半周长p，所以的定义域(,)0, 0,Dx yxpyp xyp. 已知的稳定点与2p的稳定点相同. 为计算方简便，求2()()()pxpyxypp的稳定点 .解方程组(,)()()()()()(22)0.(,)()(_()()()(22)0.xyx ypyxyppxpypypxyx ypxxyppxpypxpyx在区域 D内有唯一稳定点22,33pp. 求二阶偏导数(,

35、)2(),(,)2()3,xxxyx ypyx yxyp(,)2().yyx ypx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2222(,)(,)(,)444885.xyxxyyxyx yx yxxyypxpyp在稳定点22,33pp，220,033pAp. 从而，稳定点22,33pp是函数，即的极大点 . 由题意，在稳定点22,33pp必取到最大值 . 当23px，23py时，223pzpxy，即三角形三边长的和为定

36、数时，等边三角形的面积最大. 例 9经过实测得到n 个数对),(iiyx，ni,2,1，其中iy是在ix测得的值 . 在坐标平面上 , 这n 个数对对应n 个点 , 设它们大体上分布在一条直线的附近. 求一条直线baxy, 使其在总体上与这n 个点接近程度最好.将点),(iiyx的坐标代入直线方程baxy中, 设ybaxii, 称i是点),(iiyx到直线baxy的 偏差 , 如图10.12. 显然 , 若点),(iiyx在直线baxy上, 则偏差0i; 若点),(iiyx不在直线baxy上, 则偏差0i. 此时 , i可能是正数也可能是负数 . 为了消除符号影响, 考虑2i. 于是 ,偏差平

37、方和的大小, 即2112)(iniiniiybax的大小在总体上刻画了这n 个点与直线baxy的接近程度 . 为了使其接近程度最好, 也就是求以a 与 b 为自变量的二元函数21)(),(iniiybaxbaf的最小值 .求函数),(baf的最小值确定a与 b( 从而确定直线方程baxy) 的方法叫做 最(,)iixyiia xbyya xbxyO图10.12 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 小二乘法 . 解

38、函数),(baf的定义域是2R, 解方程组niiibniiiiiaybaxbafyxbxaxbaf1120)(2),(,0)(2),(或.,111112niiniiniiiniiniiybnxayxxbxa解得唯一稳定点),(00ba：,)()(11221110niniiinininiiiiixxnyxyxna.)()()(112211110niniiinininiiiiniiixxnxyxyxb根据问题的实际意义, 二元函数),(baf在2R内必存在最小值,又只有唯一一个稳定点. 因此 ,二元函数),(baf必在稳定点),(00ba取最小值 .于是 , 欲求的直线方程是.00bxay注用取极

39、值的充分条件判别也是很简便. .2),(,2),(,2),(00 100 1200 nbafxbafxbafbbniiabniiaa),(),(),(00 00 200 bafbafbafbbaaab.0)(41221niiniixnx即0),(,000 bafaa. 从而 , 唯一的稳定点),(baf),(00ba是函数),(baf的极小点 . 于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 是, 函数),(baf在稳定点),(baf取最小值 .即直线方程是.00bxay. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -