2022年数学奥林匹克初中训练题 .pdf

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1、数学奥林匹克初中训练题10 第一试一、选择题 (每小题 7 分，共 42 分) 1.如图，已知在RtABC 中， AB=35 ，一个边长为12 的正方形CDEF 内接于 ABC.则ABC 的周长为 ( ). (A)35 (B)40 (C)81 (D)84 2.设 n=9+99+ +999(99个 9).则 n 的十进制表示中，数码1 有( )个. (A)50 (B)90 (C)99 (D)100 3.已 知f(x)=x2+6ax-a， y=f(x) 的 图 像 与 x轴有 两个 不 同 的交 点 (x1， 0)， (x2， 0)， 且)x-6a-)(1x-6a-(13)x)(1x(1a2121

2、=8a-3.则 a 的值是 ( ). (A)1 (B)2 (C)0 或21(D)214.若不等式ax2+7x-12x+5 对-1a1 恒成立，则x 的取值范围是( ). (A)2 x3(B)2x3 (C)-1x1(D)-1x0，得 a0 或 a2x+ 对-1a1恒成立，即关于a的不等 x2a+5x-60 对-1a1 恒成立 .令 g(a)=x2a+5x-6.则 g(-1)=-x2+5x-60 ，g(1)=x2+5x-60.解得 2x3. 5.A. 如图，联结PQ.由题设得 BC=1/2 ，AC=3/2，QAT=90 ，QCP=150 ，P、B、R 三点共线 . 因为 SAQT=21AT AQ=

3、21AT AC=43AT，而 S ART/SARB=AT/AB ，所以， SART=43AT=SAQT.从而， QT=RT. 于是， SPRT=21SPQR=21(SABC+SABR+SBCP+SCAQ+SCPQ-SAQR)=3239. 6.B. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 如图 5，将 3 5 的棋盘黑白染色.图 5 中有 8 个黑色小方格和7 个白色小方格，棋子每次移动都是黑白交替的，则7 个白格不能作为

4、出点.另一方面，如图6 的 8 个黑格中的任一个都可以作为出发点. 二、 1.15 2/8.因为 PE+PC=PE+PA，所以，当A、P、E 三点共线时， PE+PA 最小 . 如图，建立直角坐标系， 设 B 为坐标原点， BA 为 x 轴.则 lBD:y=x ，lAE:3x+5y=15. 所以， P(15/8，15/8).故 PB=15 2/8. 2.20 或 28. 因 x2-(8+a)x+8a+1=x2-(b+c)x+bc 恒成立，所以，8+a=b+c， 8a+1=bc. 消去 a 可得 bc-8(b+c)=-63 ，即 (b-8)(c-8)=1. 因为 b、c 都是整数，所以，b-8=

5、c-8=1 或 b-8=c-8=-1. 从而， a+b+c=20 或 28. 3.3 15/8. 设 MA=x. 由 MA MB=MP MQ ，得 x 2x=13.解得 x=23. 联结 CN.在 RtMCN 中， MC=3x=323，MN=4. 所以， NC=25，SMCN= 4153. 又 S MQB/S MCN=1/2，则 SMQB=8153. 4.503. 从 1，2，2 006 中选出两个奇数，和为2 008 的共有如下501 组: 3+2 005，5+2 003，1 003+1 005. 由于 1 与其中的任意一个奇数的和都不会等于2 008，因此，至少要取出503 个奇数，才能保

6、证其中一定有两个数，它们的和为2 008. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第二试一、设 z=w+a，y=w+a+b ，x=w+a+b+c. 则 a、b、c0 ，且 x+y+z+w=4w+3a+2b+c. 故 100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) 4(x+y+z+w).因此， x+y+z+w 25.当 x=y=

7、z=25/3 ，w=0 时，上式等号成立.故 x+y+z+w 的最大值为25. 又 100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)- (2w+3a+b)5(x+y+z+w) ，则x+y+z+w 20.当 x=20，y=z=w=0 时，上式等号成立.故 x+y+z+w 的最小值为20. 二 、 (1) 如 图 ， 联 结DF.则 BDF是 等 腰 直 角 三 角 形 . 于 是 ，FPD=FDB=45 .故 DPC=45 . 又因为 PDC=PFD，所以， PFDPDC. 从而， PF/FD=PD/DC. 由 AFP= ADF ， AEP=ADE ，得AFP ADF ， AEP

8、ADE. 于是， EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF. 故由式得EP/DE=PD/DC. (2)因为 EPD=EDC，结合式得 EPD EDC.所以， EPD 也是等腰三角形. 三、设 f(n)=0082n2. 当 n=2，3，1 004 时，有 f(n)-f(n-1)=00821-2n1. 而 f(1 005)=1 0052/2 008=(1 004+1)2/2 008=502+1+1/2 008503 ，故20082008,20082,20081222是互不同的整数.从而，在20082008,20082,20081222中，共有 503+1 004=1 507 个不同的整数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -