2022年数学建模复习题 .pdf

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1、1什么是数学模型和数学建模？数学建模的方法和步骤？数学模型的主要特点以及分类。数学建模： 利用数学方法解决实际问题的一种实践过程。即通过抽象、 简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型 ，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解和检验一种抽象模型 ，是对于现实世界的一个 特定对象 ，为了一个 特定目的 ，根据特有的 内在规律 ，做出一些 必要的简化假设 ，运用适当的 数学工具 ，得到的一个数学结构 。这个数学结构 ：是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）

2、来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - 2椅子放稳问题 2.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常 三只脚着地放稳 四只脚着地?四

3、条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;?地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面 ;?地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。?通过旋转的方式调整椅子的位置名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - 模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来? 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD C B A 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置? 四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A

4、,C 两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和 g ()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕 O 点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是连续函数对任意, f(), g()至少一个为0数学问题已知：f() , g()是连续函数;对任意，f() ? g()=0 ;且 g(0)=0 ， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC 和 BD 互换。由 g(0)=0 ， f(0) 0 ，知 f(/2)=0

5、, g(/2)0.令 h( )= f( ) g( ), 则 h(0)0 和 h(/2)0.由 f, g 的连续性知h为连续函数, 据连续函数的基本性质 , 必存在0 , 使 h(0)=0, 即 f(0) = g(0) .因为 f() ?g()=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.评注和思考建模的关键假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和 f( ), g( )的确定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - -

6、3核军备竞赛的模型及分析，如乙安全线的性质及分析等，模型解释及应用以双方( 战略) 核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略：? 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；? 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一枚核导弹。摧毁一枚导弹的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。模型假设图的模型y= f(x) 甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x= g(y) 乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当 x=0 时y=y0， y0乙方的威慑

7、值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0 甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x= g(y)xy0y0y= f(x)y= f(x )乙安全区甲安全区双方安全区P 平衡点(双方最少导弹数)乙安全线精细模型乙方 残存率s 甲方一枚导弹攻击乙方一枚导弹，导弹未被摧毁的概率。sx枚导弹未摧毁，y x枚导弹未被攻击。xy甲方以x攻击乙方y枚导弹中的x个 ,y0=sx+y xx=yy0=sy乙的 x y个被攻击2次， s2(x y)个未摧毁；y (x y)=2yx个被攻击1次， s(2yx )个未摧毁y0= s2(x y)+ s

8、(2yx )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1- s)xy=y0/sy=y0/s2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - yxasysyy/00a 交换比(甲乙导弹数量比)x=a y,精细模型x=y, y =y0/sx=2y, y = y0/s2y0威慑值s残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡s变大，y减小，曲线变平xy0y0 xy, y = y0+(1- s

9、)xx=yx=2yyx 2y,xssssyy21)2(0?甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值y0变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。),(mmyxP（其它因素不变）乙安全线y=f(x)上移模型解释平衡点 PP? 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值x0和交换比不变x减小，甲安全线x=g(y)向 y轴靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y= f(x),(mmyxP模型解释甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP名师资料总结

10、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - ?双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标( x , y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率变小y0减小y下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP残存率变小y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析?PP模型解释乙安全线 y=f(x)?PP4存贮模型相关内容和方法3.2存贮模型背景及问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更

11、换设备要付一次性生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求建立最佳生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考? 每天生产一次，每次100 件，无贮存费，准备费5000 元。日需求100 件，准备费5000 元，贮存费每日每件1元。? 10 天生产一次，每次1000 件，贮存费900+800+ +100 =4500元，准备费5000 元，总计9500 元。? 50 天生产一

12、次，每次5000 件，贮存费4900+4800+ +100 =122500元，准备费5000 元，总计127500元。平均每天费用950 元平均每天费用2550 元10 天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000 元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - ? 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数 每天总费用的平均值? 周期短，产量小? 周期长，产量大问题分析与思考贮存

13、费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小? 思考：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？模 型 假 设1. 产品每天的需求量为常数r；2. 每次生产准备费为c1, 每天每件产品贮存费为c2；3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建 模 目 的设r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。不允许缺货的存贮模型模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0 生产Q 件，q(0)= Q, q(t)以需求速率r递减，q(T )=

14、0.一周期总费用TQccC221每天总费用平均值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为A=QT/22221rTccrTQ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - 模型求解Min2)(21rTcTcTC求 T 使0dTdC212crcrTQ212rccT模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用c1=5000, c2=1 ， r=100T =10( 天 ), Q =

15、1000(件 ), C =1000(元 )? 回答问题? 经济订货批量公式（EOQ 公式）212rccT212crcrTQ每天需求量r，每次订货费c1, 每天每件贮存费c2 ，用于存贮、订货 、 供应 等情形不允许缺货的存贮模型T天订货一次(周期 )， 每次订货Q件，当贮存量降到零时， Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r , 出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q 件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费c3, 缺货需补足T1rTQAcdttqcT2021)(一周期贮存费BcdttqcTT331)(一周期缺货费假设周期

16、为T, 订货量为Q， t=T1 时贮存量降到零。2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用Min),(QTC求T ,Q 使332212cccrccT323212ccccrcQ为了与不允许缺货的存贮模型相比较，T 记作T

17、, Q 记作Q212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量R每周期所需的生产量 (或订货量）R332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量(或订货量)QQR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - -

18、 - - - - - - - 6指数增长模型和Logistic模型，求解、性质及其应用模型1 马尔萨斯（ Malthus）模型马尔萨斯在分析英国一百多年人口出生与死亡情况的资料后发现，人口增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），即：1 dNrN dtdNrNdt或（1）0()0( )r ttN tN e（2）（1）的解为：其中 N0=N(t0)为初始时刻 t0时的人口数量。马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：002rTNN eln 2Tr故ttrNtNttN)()()(模型2 Logistic 模型人口增长

19、率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：()dNr N Ndt（3）r( N ) 是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(N)=r-aN此时得到微分方程：()dNraNNdt(1)dNNrNdtK或（4）（4）被称为 Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst

20、）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增长产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（4）被称为 Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst ）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增长产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（ 4）可改写成：()dNk KN Ndt（5）(5)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为 K（近似地将 K看成常数），

21、 N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（5）指出，种群变化率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（5）也被称为统计筹算律的原因。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - 图3-5对（ 5）分离变量：11dNkKdtNKN两边积分并整理得：1kKtKNCe令 N(0)=N0，求得：00KNCN故（ 5）的满足初始条件N(0)=N0的解为：000( )()kKtN KN t

22、NKN e（6）易见：N(0)=N0，lim( )tN tKN(t)的图形请看图3.5：模型检验用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic ）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E F Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.0

23、06157， N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合,如图 3.62.309375( )174tN te图3-6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - Malthus 模型和 Logistic模型的总结Malthus 模型和 Logistic模型均为对微分方程（3）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（ r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一

24、个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。Malthus 模型与 Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有类似的性质即可。7某企业生产两种混合配料A和 B，每 100 千克的成本分别为100 元和 80元。两种混合配料含三种营养成分，但它们的含量各不相同，在每100 千克混合配料中各种营养成分的含量分别如下表:混合配料 A 混合配料 B 营养成分甲 ( 千克) 10 2 营养成

25、分乙 ( 千克) 4 5 营养成分丙 ( 千克) 6 9 现要获得各种营养成分的总量应为：营养成分甲至少20千克，营养成分乙至少 25 千克，营养成分丙至少36 千克，问满足这些要求的最低成本为多少？用 LINDO软件如何求解。8. 钢管下料问题及其数学规划模型生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小6 钢管和易拉罐下料原料下料问题按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - -

26、- - - - - - 问题 1. 如何下料最节省? 例 1钢管下料问题 2. 客户增加需求：原料钢管: 每根 19米4米 50根6米 20根8米 15 根客户需求节省的标准是什么？由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？5米 10根按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。切割模式余料 1米4米 1根6米 1根8米 1根余料 3米4米 1根6米 1根6米 1根合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料 3米8米 1根8米 1根钢管下料为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？合理切割模式2. 所用

27、原料钢管总根数最少模式4米钢管根数6米钢管根数8 米钢管根数余料(米 )14003231013201341203511116030170023钢管下料问题1 两种标准1. 切割后剩余的总余料量最小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - xi 按第i 种模式切割的原料钢管根数( i= 1,2, 7) 约束满足需求决策变量目标1 （总余量）765432113333xxxxxxxZMin5023454321xxxxx203

28、26542xxxx152753xxx按模式2切割12 根 , 按模式5切割15 根，余料27 米模式4 米根数6 米根数8米根数余料14003231013201341203511116030170023需求502015最优解：x2=12, x5=15, 其余为0；最优值：27 。整数约束：xi 为整数当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标76543212xxxxxxxZMin目标2（总根数）钢管下料问题1 约束条件不变最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0；最优值：25 。5023454321xxxxx20326542xxxx152753xxxxi 为整数按模式2切割15 根

29、，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共 25 根，余料35 米虽余料增加8米，但减少了2根与目标1的结果“ 共切割27 根，余料27 米 ”相比钢管下料问题 2对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式增加一种需求： 5米10根；切割模式不超过 3种。现有4种需求： 4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。决策变量xi 按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i, r2i, r3i, r4i 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

30、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - 满足需求50313212111xrxrxr10323222121xrxrxr20333232131xrxrxr15343242141xrxrxr模式合理：每根余料不超过3米1986541641312111rrrr1986541642322212rrrr1986541643332313rrrr整数非线性规划模型钢管下料问题2目标函数（总根数）321xxxMin约束条件整数约束：xi ,r1i, r2i,r3i, r4i ( i=1,2,3 ) 为整

31、数增加约束，缩小可行域，便于求解321xxx原料钢管总根数下界：4505106208152619特殊生产计划：对每根原料钢管模式1：切割成4 根 4米钢管，需13 根；模式2：切割成1 根 5米和2 根 6米钢管，需10 根；模式3：切割成2 根 8米钢管，需8根。原料钢管总根数上界：13+10+8=31 3126321xxx模式排列顺序可任定钢管下料问题2需求：4米 50 根，5 米 10根，6米 20 根，8 米 15 根每根原料钢管长19 米LINGO求解整数非线性规划模型Local optimal solution found at iteration: 12211Objective

32、value: 28.00000Variable Value Reduced CostX1 10.000000.000000X2 10.000002.000000X3 8.000000 1.000000R11 3.0000000.000000R12 2.0000000.000000R13 0.000000 0.000000R21 0.0000000.000000R22 1.0000000.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.0000000.000000 R32 1.0000000.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000

33、0.000000 R42 0.0000000.000000 R43 2.000000 0.000000 模式1：每根原料钢管切割成3根 4米和1根 6米钢管，共10 根；模式2：每根原料钢管切割成2根 4米、1根 5米和1根 6米钢管，共 10 根；模式3：每根原料钢管切割成2根 8米钢管，共8根。原料钢管总根数为28根。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - 5植物基因的分布植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植

34、物的的基因型为 AA 、 Aa 和 aa 。研究所计划采用AA 型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？2. 模型假设nnncba,分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。1nnncba第 n代植物的基因型分布为,)(nnnncbax,)(0000cbax表示植物基因型初始分布。假设 1假设2植物中第 n-1代基因型分布与第 n代分布的关系由上表确定。后代基因对000aa11/20Aa01/21AA父体 - 母体的基因对AA-AA AA-AaAA-aa1121nnnbaa1121nnncbb0nc

35、1nnncba3. 模型建立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - 11100012100211nnnnnncbacba/1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba00012100211/M)()(1nnMxx)()()(221nnnxMMxx)(33nxM0 xMn4. 求解模型关键计算0 xMxnn)(nM00012100211/M特征值为 1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵 P，

36、使PMP-1为对角型矩阵。121010001,特征值为 1，1/2，0的特征向量分别为则100210101P0000210001/D0 xMxnn)(01xPPDn011002101110000210001100210111xn/名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - 011002101110000210001100210111xn/011000212102112111xnnnn/)/()/(021212121010

37、010000cbcbcbannnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(nnnncbax)(当时，n001nnnbba,经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。5. 结论10. 差分方程，市场经济中的蛛网模型名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - 7.2 市场经济中的蛛网模型问

38、题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0 xk第 k时段商品数量；yk第 k时段商品价格消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与 g的交点 P0(x0,y0) 平衡点一旦 xk=x0，则 yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+ 2, =y0)(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xy

39、xyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkkgfKK曲线斜率蛛 网 模 型0321PPPP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - )(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(010

40、1xxxxkk1P0稳定P0不稳定0 xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方 程 模 型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少1单位 , 价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨 1单位 , (下时段 )供应的增量考察, 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定小 , 有利于经济稳定结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格1经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1. 使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2. 使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释需求曲线变为水平

41、供应曲线变为竖直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - - 2/)(0101yyyxxkkk模型的推广?生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变,2, 1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22,1012)1(22xxxxkkk方程

42、通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定)1, 2特征根，即方程的根022平衡点稳定，即k, xkx0的条件 :12,12平衡点稳定条件比原来的条件放宽了122,1模型的推广12. 层次分析法的建模步骤及应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - - 1. 建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的 基本步骤 归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成

43、对比较矩阵和19尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4. 计算总排序权向量并做一致性检验1. 0CRCR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率三 层次分析法建模举例Z1A2A3A4A5A1B2B3B54321,AAAAA321,BBB1 旅

44、游问题( 1)建模分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - - （2）构造成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A1215121215211B1383113813112B131313113113B114111314314B144411141115B( 3) 计算层次单排序的权向量和一致性检验A073.5110.0,0

45、99.0,055.0,475.0,263.0018.0155073.5CI12.1RI1.0016.012.1018.0CRA成对比较矩阵的最大特征值表明通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：54321,BBBBBk1k2k3kkkCIkRI12345595. 0082.0429.0633.0166.0277.0236. 0429.0193.0166.0129.0682.0142.0175.0668.0005.3002.33009.33003.0001.000005.058.058.058.058.058.0计算可知

46、通过一致性检验。kCR54321,BBBBB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - - 对总目标的权值为：1B3.0110.0166.0099.0633.0055.0429.0475.0082.0263.0595.032, BB,456.0,246.0456.0,246.0,3.01.0015.058.0/)0110.0005.0099.00055.0001.0475.0003.0263.0(CR（ 4）计算层次总排序权

47、值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得，对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。456.0,246.0, 3.0213BBB321,BBB故最后的决策应为去桂林 。又分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为13. 最速降线问题的建模与分析确定连接两定点A，B 的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A 滑至 B 点（忽略摩擦力和阻力）。AB最速降线问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 31 页 - - -

48、- - - - - - 1. 模型分析：也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其实不然。 牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略 也研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。AoxyB一个辅助结论设质点从 A1经直线 l 到达A2，质点速度在 l 的显然在 l一侧质点应走直线，因此关键是质点OC= x 那么质点由 A1到A2需时间 :222212()cxbxatvvA1A2ClOD如图，若 A1,A2到l 的垂足分上侧为 v1，下侧为 v2，则质点如何运动才最省时？别为O,D, A1,A2 到l的距离分别为a

49、, b, OD =c, 质点经过 l于C何时越过 l ？12222212()xcxvxavcxb222212()dtxcxdxvxavcxb惟一驻点满足也即2211sinsinvv这就是光学中的 Snell 折射定律A1A2ClOD12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - - 2. 建立数学模型分析：如图建坐标系，AB 分割成小段, 考虑在第 k层与 k+1层质点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可近似认为质点在每层内的速

50、度不变，于是依辅助结论知11sinsinkkkkvvsinkkCv由于上式对任何k成立，故导出若用与 x 轴平行的直线将ABxyc(常数 )ABxyc令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线上任何一点sinCv其中为该点切线与铅垂线的夹角。( 常数 )据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线无关，设质点质量为m，重力加速度为g，质点从A下滑至yxP,点时速度为v，则mgymv221或gyv2从这里的几何关系得2111yseccossin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -