2022年数学立体几何基础题型 .pdf

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1、立体几何基础题题库551-600 （有详细答案）551.已知：正三棱柱ABC ABC中，AB BC ，BC 2， 求：线段 AB 在侧面CCBB上的射影长 . 解析： 如图，取BC的中点 D.AD BC，侧面BBCC底面 ABC ， AD 侧面BBCCDB是斜线 AB 在侧面的射影. 又 AB BC ，DBBC . 设 BB x，在 Rt BDB中， BE BD BB，DB21x. E是 BB C的重心 . BE 31BC3124xx3121x42x，解得： x2. 线段 AB 在侧面的射影长为2. 552. ABC在平面 内的射影是 ABC，它们的面积分别是S、S，若 ABC所在平面与平面

2、所成二面角的大小为 (0 90，则S Scos. 证法一如图 (1) ，当 BC在平面 内，过 A作 ADBC ，垂足为D. AA平面 ，AD在平面 内的射影AD垂直 BC. ADBC. ADA . 又 S21ADBC ，S21AD BC ，cosADDA, S Scos. 证法二如图 (2) ，当 B、C两点均不在平面内或只有一点 ( 如 C)在平面 内，可运用 (1)的结论证明S Scos.553.求证：端点分别在两条异面直线a 和 b 上的动线段AB的中点共面 . 证明如图，设异面直线a、b 的公垂线段是PQ ，PQ的中点是M ，过 M作平面 ，使 PQ平面 ，且和 AB交于 R，连结

3、AQ ， 交平面 于 N.连结 MN 、NR.PQ 平面 ， MN，PQ MN. 在平面 APQ内， PQ a,PQMN,MN a,a ，又 PM MQ ， AN NQ ，同理可证 NR b,RARB. 即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内. 554.如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ACB 90， BAC 30， BC 1，AA16，M是 CC1的中点，求证：AB1A1M. 解析：不难看出 B1C1平面 AA1C1C，AC1是 AB1在平面 AA1C1C上的射影 . 欲证 A1M AB1，只要能证A1M AC1就可以了 . 证：连 AC1，在直角 ABC中， BC

4、 1， BAC 30， AC A1C13. 设 AC1A1， MA1C1 tan111CAAA362, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - tg 111CAMC32622. cot( +) tantantantan1222110, +90即 AC1A1M. B1C1C1A1，CC1B1C1， B1C1平面 AA1CC1，AC1是 AB1在平面 AA1C1C上的射影 . AC1A1M ，由三垂线定理得A1M AB1.

5、 评注 ：本题在证AC1A1M时，主要是利用三角函数，证+90，与常见的其他题目不太相同 . 555.矩形 ABCD ，AB 2，AD 3，沿 BD把BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在 AD上. (1) 求证： CD AB ； (2)求 CD与平面 ABD所成角的余弦值. (1) 证明如图所示， CM 面 ABD ，AD AB ，CD AB (2) 解： CM 面 ABD CDM 为 CD与平面 ABD所成的角，cosCDM CDDM作 CN BD于 N，连接 MN ，则 MN BD.在折叠前的矩形ABCD 图上可得DM CD CD CA AB AD 23. CD与平面 ABD所成

6、角的余弦值为32556.空间四边形PABC中， PA 、PB、PC两两相互垂直，PBA 45， PBC 60， M为AB的中点 .(1) 求 BC与平面 PAB所成的角； (2) 求证： AB 平面 PMC. 解析： 此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 PA AB ， APB 90在 RtAPB中， ABP 45，设 PA a，则 PB a,AB2a, PB PC ，在 RtPBC中， PBC 60,PBa. BC 2a,PC3a. APPC 在 RtAPC中， AC 22PCPA22)3(aa2a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

7、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - (1) PC PA,PC PB,PC平面 PAB ，BC在平面 PBC上的射影是BP. CBP是 CB与平面 PAB所成的角 PBC 60， BC与平面 PBA的角为 60. (2) 由上知， PA PB a,ACBC 2a. M为 AB的中点，则AB PM ，AB CM. AB平面 PCM. 说明要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 557.在空间四边形ABCP中， PA PC ，PB BC ，AC BC.PA、PB与平面

8、 ABC所成角分别为30和 45。(1) 直线 PC与 AB能否垂直 ?证明你的结论； (2) 若点 P到平面 ABC的距离为h，求点 P到直线 AB的距离 . 解析： 主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力. 解 (1)AB与 PC不能垂直，证明如下：假设PC AB ，作 PH 平面 ABC于 H，则 HC是 PC在平面 ABC的射影， HC AB ，PA 、PB在平面 ABC的射影分别为HB 、HA ，PB BC，PA PC. BHBC ，AH AC ACBC ，平行四边形ACBH 为矩形 . HC AB ，ACBH 为正方形

9、 . HBHA PH平面 ACBH.PHB PHA. PBH PAH ，且 PB ，PA与平面 ABC所成角分别为PBH ， PAH.由已知 PBH 45，PAH 30，与 PBH PAH矛盾 . PC不垂直于AB. (2) 由已知有PH h, PBH 45BHPH h. PAH 30， HA 3h. 矩形 ACBH 中， AB 22HABH22)3(hh2h. 作 HE AB于 E， HE ABHAHBhhh2323h. PH平面 ACBH ，HE AB ，由三垂线定理有PE AB ， PE是点 P到 AB的距离 . 在 RtPHE中， PE22HEPH22)23(hh27h. 名师资料总结

10、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 即点 P到 AB距离为27h. 评析 ：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析， 导出矛盾的就否定结论( 反证法 ) ，导不出矛盾的， 就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1) 属于反证法 . 558.如图，在棱长为a 的正方体 AC1中， M是 CC1的中点，点E在 AD上，且 AE 31AD ，F在 AB上，且 AF31AB，求点 B

11、到平面 MEF的距离 . 解法一： 设 AC与 BD交于 O点，EF与 AC交于 R点，由于EF BD所以将 B点到面 MEF的距离转化为O点到面 MEF的距离，面MRC 面 MEF ，而 MR是交线，所以作OH MR ，即 OH 面MEF ，OH即为所求 . OH MR OR MC ，OH 59118a. 解法二： 考察三棱锥B MEF ，由 VB-MEFVM-BEF可得 h. 点评求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离. 559正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，求 A1C1和平面 AB1C间的距离 . 解

12、法 1如图所示， A1C1平面 AB1C，又平面 BB1DD1平面 AB1C. 故若过 O1作 O1EOB1于 E，则 OE1平面 AB1C，O1E为所求的距离由 O1EOB1O1B1OO1，可得： O1E33a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解法 2：转化为求C1到平面 AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高 h. 由 VCABC11V11CCBA，可得 h33a. 解法 3因平面 AB1C平面 C1

13、DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O 、DO1与 F、G(图中未画出 ) 。易证 BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得FG 33a. 点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离， 有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路 . 560. 在ABC中， M 、N分别是 AB 、AC上的点，MBAMNCAN21. 沿 MN把AMN 到AMN的位置，二面角A MN B为 60，求证：平面AMN 平面 ABC. 解析： 作 AD BC于 D，设 AD MN P，APD 60，可证AP平面

14、ABC. 561.四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1113，则平面 M的个数应有多少个? 解这样的平面应分4 种情况讨论：(1)4 个顶点都在平面M的同侧，则有C4114 个( 平面 ) ；(2) 距离比为3 的顶点与其他3 个顶点不同侧，则有C4114 个( 平面 ) ；(3) 距离比为3 的顶点与其他3 个顶点中的1 个同侧，则有C31C41112 个( 平面 ) (4) 距离比为3 的顶点与其他3 个顶点中的2 个同侧，则有C32C41112 个( 平面 )；一共应有 4+4+12+1232 个( 平面 ) 562. 斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形A、0个B、 1个C、2 个 D、

15、3 个解析： C。 只能相对的侧面均为矩形563. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个解析： D。 如图， ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD ，则 PABCD 的四个侧面均为直角三角形564. 正四棱柱的一个侧面面积为S，则它的对角面面积是_。解析：S2设正棱柱底面边长为a，高为 h，则 ah=S，对角面面积为S2ah2565. 正 n 棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为_。解析：0180n2n底面正多边形的每一个内角为某两个邻面所成二面角的平面角，正n边形内角度数为0180n2n566. 正六棱柱的高为5cm ，最长对角线为13cm

16、，它的侧面积是_。解析： 180cm2设正六棱柱底面边长为a，高为 h，则 h2+(2a)2=132，h=5， a=6，侧面积=6ah=180567. 一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是，底面积 Q，则它的侧面积是_。解析： Qsec正棱锥的底面是侧面在底面上的射影，利用面积射影定理568. 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1B与对角面 A1B1CD所成角为300，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 求证：

17、此四棱柱为正方体。解析： A1B1平面 B1C 平面 A1B1CD 平面 BC1，交线为B1C 在平面 B1C内作 BO B1C，O为垂足，连A1O 则 BO 平面 A1B1CD BA1O为 BA1与平面 A1B1CD所成的角 BA1O=300设正四棱柱底面边长为a，高为 h 则2211221haahCBBCBBBO,haBAsin BA1O=BABO12222haahha21 a2+h2=2ah a=h 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1为正方体569. 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形， A1B=A1D，求证：（1）对角面AA1C1C截面A1BD ； （2）对角面

18、D1DBB1是矩形解析：（1）ABCD是菱形， BD AC 设 BD AC=0 ，又 A1B=A1D ， BDA1O A1O AC=O BD平面 AA1C1C 平面 A1BD 对角面 AA1C1C （1）由（1） ，BD平面 AC1 BDAA1又 DD1AA1 BDDD1570. 正四棱锥棱长均为a， （1）求侧面与底面所成角； （2）若相邻两侧面所成角为，求证： =2。解析： 如图，正四棱锥SABCD ，SO 、SF分别为高、斜高，SFO为二面角SAB O平面角， SFO= ，在 SBC中，作 BESC ，E为垂足，连DE BCE DCE DESC BED为侧面 BSC D平面角， BED=

19、 （1）2aFB,2aOFa22FOFSSO,a23BFSBSF222236SFSOsin36arcsin（2）连 EO 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - a22OB,a23BE36OEOB2sin)2,0(2, 由sin2sin得：2 =2571. 正三棱锥的侧棱等于10cm，侧面积等于144cm2，求棱锥的底面边长和斜高。解析： 设底面边长为a，斜高为 h则222212 ha32110)2a( h8 h12a

20、或6 h16a572. 斜三棱柱ABC A1B1C1的底面 ABC中， AB=AC=10 ，BC=12 ，A1到 A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。解析： A1A=A1B=A1C 点 A1在平面 ABC上的射影为 ABC的外心，在 BAC平分线 AD上 AB=AC ADBC AD 为 A1A在平面 ABC上的射影 BCAA1 BCBB1 BB1C1C为矩形， S=BB1BC=156 取 AB中点 E，连 A1E A1A=A1B A1EAB 12)2AB(AAEA221120SSBBAACCAA1111 S侧=396 573. 四棱锥 VABCD底面是边长为4 的菱

21、形， BAD=1200，VA 底面 ABCD ，VA=3，AC与 BD交于 O ， （1）求点 V到 CD的距离；（2）求点 V到 BD的距离；（3）作 OF VC ，垂足为F，证明 OF是 BD与 VC的公垂线段；（4）求异面直线BD与 VC间的距离。解析： 用三垂线定理作点到线的垂线在平面 ABCD 内作 AE CD ，E为垂足 VA平面 ABCD AE 为 VE在平面 ABCD 上的射影 VECD 线段 VE长为点 V到直线 CD的距离 BAD=1200 ADC=600 ACD为正三角形 E 为 CD中点， AE=32423名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

22、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - VE=21AEVA22（2） AOBD 由三垂线定理VO BD VO 长度为 V到直线 BD距离 VO=13AOVA22（3）只需证 OF BD BD HC ，BD VA BD平面 VAC BD OF OF 为异面直线BD与 VC的公垂线（4）求出 OF长度即可在 RtVAC中OC=21AC=2 ， VC=5ACVA22 OF=OC sin ACF=OC 56532VCVA574. 空间四边形DABC 中， P、Q为边 CD上两个不同的点，M

23、 、N为 AB上两个不同的点，连PM 、 QN ，如图，问图中共有多少对异面直线？解析： 为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边 DA 、AB 、BC 、CD连同对角线AC 、BD ，这六条线段可形成三对异面直线DA与 BC ，AB与 CD ，AC与 BD 。其次添加线段PM ，则除去与PM相交的 CD 、AB ，又可新形成4 对异面直线，即PM与 DA 、BC 、 AC 、BD 。因 QN与 PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4 对异面直线。最后注意到， PM与 QN也是异面直线。 图中共有 3+4+4+1=12（对）异面

24、直线575. 长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=a ，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和 B1C所成角的余弦值。解析： 显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和 B1C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF D1C1E1F1。具体作法是：延长A1D1，使 A1D1=D1F1，延长 B1C1至 E1，使 B1C1=C1E1，连 E1F1，分别过 E1、F1，作 E1E/C1C，F1F/D1D，连 EF，则长方体C1D1F1ECDFE 为所作长方体。 BC/D1F1 BD1/CF1 B1CF1就是异面直线BD1

25、与 B1C所成的角。 BD2=a2+b2 Rt BDD1中， BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 CF12=BD12=a2+b2+c2 B1C2=b2+c2，B1F12=a2+4b2 B1CF1中 cosB1CF1=2222222112112121cbcbabcCBCF2FBCBCF（1）当 cb 时， cos B1CF10 B1CF1为锐角， B1CF1就是异面直线BD1和 B1C所成的角（2）当 cb 时，cosB1CF10 B1CF1是钝角 - B1CF1就是异面直线BD1和 B1C所成的角（3）当 c=b 时， B1CF1=900 BD1B1C 名师资料总结 - - -精品资

26、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 法二： 作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。如图，分别取BC、BB1、B1D1的中点 P、M 、Q，连 PM 、MQ 、PQ则 MPB1C，MQ BD1 PMQ （或其补角）就是异面直线BD1与 B1C所成的角PMQ 中，MP=21B1C=22cb21MQ21BD1=222cba21，PQ=4ac22利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果576

27、. M、N分别是空间四边形ABCD中 AB 、CD中点，求证： MN21（AD+BC ） 。证明： 取 AC中点 P，则 MP=21BC ，NP=21AD MNEH 。四边形EFGH 是梯形。则直线 EF、GH相交，设EF GH=P 则 P EF，又 EF平面 ABC P平面 ABC ，同理 P平面 ADC 。又平面 ABC 平面 ADC=AC 由公理 2，得 PAC ，即 EF 、GH 、AC三条直线共点。点评：证明四边形是平行四边形或者梯形，首先必须证明它是平面图形，本题中的EH FG是关键B1C1D1A1DCBAEFGABCD乙DBAEHFCG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

28、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - A1D1C1B1CDAB582.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是 B1D1，A1B的中点，求证：EF AD1。解析： 要证两条直线平行一是证这两条直线在同一平面内，再用平面几何知识证明它们平行；二是用平行公理即平行直线的传递性，找到与它们都平行的“公共”直线。这里 E为 D1B1的中点，易想到用构造三角形的中位线的方法直接证明平行。因此，连AB1是非常重要的步骤。证明：连AB1，则 AB1过 A1

29、B的中点 F。又 E为 D1B1的中点，EF为 AD1B1的中位线，则 EF AD1583.如图， =C，a，ac=A，b，bc=B，A、B为不同点。则a 与 b 的位置关系为（） A 、平行 B 、异面 C 、平行、异面均可能 D 、平行、相交、异面均可能解析： B 符合两条异面直线的判定，选B 584.下面的三个命题：四边相等的四边形是菱形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形。其中正确命题的个数是：（） A 、1 个B、2 个C、3 个D、0 个解析： D 均不能保证它们是平面图形，故均不正确，选D 585.空间两个角 和，若 和

30、的两边对应平行，当 =50时， = 。解析： 50或 130与相等或互补586.正方体的12 条面对角线所在的直线中，互相异面的直线共有对。解析： 30 面对角线中，与AC相交的有 5 条，平行的有1 条， （自身为 1 条）故与AC异面的直线有12-5-1-1=5 （条）。则共有 12521=30（对587.四面体 ABCD中，AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，则 BAC+ CAD+ DAB= 。解析： 180四个三角形均是全等的三角形，故所求三个角即其中任一三角形的三个内角588.在四面体ABCD中，已知点M ，N，P分别在棱 AD ，BD ，CD上，点 S在平面 ABC内，画出线

31、段 SD与过点 M ，N，P的截面的交点O 。解析： 图中， SD与平面 MNP 的交点 O点画在 MNP 内的任何位置好象都“象”，即直观上不能直接看出画在何处才是准确的。采用上一题的思想方法，找出经过直线SD的平面，如平面 ASD （平面 CSD ） ，作出它与平面MNP 的交线。解：连接AS交 BC于 E，连 ED交 NP于 F，连 MF 。M AD ，AD平面 AED ，M 平面 AED B1C1D1A1DCBAEFBbcaABCADMNPS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

32、 - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - FED ，ED平面 AED ，F平面 AED 又 M 平面 MNP ，F平面 MNP ，平面 AED 平面 MNP=MF OSD ，SD平面 AED ，O平面 AED ，又 O 平面 MNP 则 O MF 即 O为 MF与 SD的交点。589.已知直线ab，ca=A，cb=B。求证： a、b、c 在同一平面内。证明 ： ab 经过 a、b 可确定一个平面c a=A， Aa，而 aA ，同理 B则 AB，即 c a、 b、c 在同一平面 内点评：利用 ab，可确定平面 ，易证 c 。若利用 ca=A，也可确定平面 ，但证

33、b就较困难。因此，选择恰当的点或线确定平面是非常重要的。590.空间四边形ABCD中，P、Q、R分别 AB、AD、CD 的中点， 平面 PQR交 BC于 S , 求证：四边形 PQRS为平行四边形。证明： PQ为 AB、AD 中点PQBD 又 PQ平面 BCD ，BD平面 BCD PQ平面 BCD 又平面 PQR 平面 BCDRS , PQ平面 RQR PQRS R 为 DC中点 , S为 BC中点 ,PQ RS PQRS 为平行四边形评述 :灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行线面平行”是证平行关系的常用方法。变式题： 如图，在四面体ABCD中，截面 EFGH是平行四边形 求证：

34、 AB平面 EFG 证明面 EFGH是截面 点 E，F，G，H 分别在 BC，BD，DA，AC上EH 面 ABC，GF 面 ABD，由已知， EHGFEH面 ABD又EH 面BAC ，面 ABC面 ABD=ABEHABAB面 EFG 591.两个惟一性定理(1)过一点有且只有一条直线和一已知平面垂直(2)过一点有且只有一个平面和一已知直线垂直过点 A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A，且垂直于直线a 的平面内，试证之已知： A，a于点 O，ABa求证：AB证明 ：假 AB不在平面 内，连结 AOaaAO又 aAB，且 AOAB=Aa 垂直于相交直AO、AB 所确定的平面 SPNMDACBEF

35、OABCab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - BCbaAab说明： 关于直线和平面垂直的问题中，有两个基本作图：(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直这两个基本作图可作为公理直接使用592. 直线l上有两点到平面的距离相等，这条直线和平面的位置如何？解析： (1)若直线l上的两点到平面的距离都等于0，这时直线l在平面 内(如图 ) (2)若直线l上的两点在平面的两侧

36、 ,且到平面 的距离相等 ,这时直线l与平面 相交 (如图)(3)若直线 l 上的两点在平面的同一侧，且到平面的距离相等 (如图 )AA1于点 A1，BB1于点 B1又A、B 均在 l 上，且在 的同侧 AA1 BB1AA1BB1为一平行四边形ABA1B1这时直线l 与平面 平行想一想：若直线l 上各点到平面的距离都相等，那么直线l 和平面 的位置关系又怎样？593. 经过两条相交直线，有且只有一个平面证明： 如图：设直线a、b 相交于点A，在 a、b 上分别取不同于点 A的点 B、C，得不在一直线上的三点A、B和 C，过这三点有且只有一个平面（公理 3） ，因此 a、b 各有两点在平面内，所

37、以 a、b在平面 内，因此平面 是过相交直线a、b 的平面如果过直线a 和 b 还有另一个平面，那么 A、B、C三点也一定都在平面内，这样过不在一条直线上的三点A 、B、C就有两个平面 、了，这和公理3 矛盾，所以过直线a、b 的平面只有一个594.经过两条平行直线，有且只有一个平面证明 ：因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，所以两条平行直线a 和 b 必在某个平面 内，就是说过两条平行直线有一个平面如果过a 和 b 还有一个平面 ，那么在 a 上的任意一点 A一定在 内这样过点A和直线 b 有两个平面 和，这和推论 1 矛盾，所以过平行直线a 和 b 的平面只有一个595.直

38、线l与平面 所成角 的范围是（）A、0 90B、090C、0180D、0180解析： B 596. 两条一异面直线所成的角的范围是？直线与平面所成的角的范围是？两个半平面所成二面角的范围是？斜线与平面所成的角的范围是？解析：090，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 090，直线在平面内或直线与平面平行定为0 0180，规定两个半平面重合时为0，两个半平面展成一个平面为180 度。090597. AB 、CD为夹

39、在两个平行平面、间的异面线段，M 、N分别为 AB 、CD的中点，求证：MN .解析： 过 C作 CEAB交于 E，取 CE中点 P则AB CE ACBE MPAC BP(1)MP； (2)PN EDPN . 面 MN 面 MN 面， MN 598.平面 平面 ，A、B，C，AA 于 A，BB 于 B，若 ACAB，AC与成 60的角， AC=8cm,BC=6cm,求异面直线AC与 BB间的距离 . 解析： BB BB AB 又 AC AB AB为 AC与 BB 的公垂线又 AB=A B AB AB AC ABAC ABAB=522046)60cos9(6CB222232CA599.某人买了一

40、罐容积为V升、高为 a 米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为b、c 的地方 (单位：米 ). 为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜罐口的方式拿回家. 试问罐内液油最理想的估计能剩多少?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解析： 如图所示， 建立模型， 设直三棱柱为ABC ABC，破损处为 D、E.并且 AD b,ECc,

41、BB a. 则罐内所剩液油的最大值即为几何体ABC DB E的体积 . 连结 BD 、CD BBCEDVBBCEAV，而BCBCABBCEDVVaca2,BCBCAV32V, BBCEDVaVca3)(. 又ABCAABCDVVab，VD-ABCab3VabV3. 故EBDABCVBBCEDV+VD-ABCaVcba3)(，即最理想的估计是剩下aVcba3)(升. 600.要修建一座底面是正方形且四壁与底面垂直的水池，在四壁与底面面积之和一定的前提下，为使水池容积最大，求水池底面边长与高的比值. 解析： 为了建立体积V的函数，我们选底面边长和高为自变量. 设水池底面边长为a，水池的高为h，水池

42、容积为v，依题意，有a2+4ahk(k 为定值 ). va2ha2a4ak24)ak(a2(v 0), v2161a2(k-a2)23212a2(k-a2)(k-a2) 321(32222akaka)33212783k1083k( 当且仅当2a2k-a2时，即 k3a2时等号成立 ) ，故 a2+4ah3a2, 即 ah21 时，水池容积最大为36kk. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -