2022年新人教版七年级上册数学借助方程求解数轴上动点问题汇编,推荐文档 2.pdf

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1、借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：1数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数左边点表示的数。2点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动 b 个单位后表示的数为ab；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。3数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分

2、析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。例 1已知数轴上有A、B、C 三点，分别代表24， 10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C 两点同时相向而行，甲的速度为4 个单位 /秒。问多少秒后，甲到A、B、C 的距离和为40 个单位？若乙的速度为6 个单位 /秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？在的条件下，当甲到A、B、C 的距离和为40 个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。分析 ：如图 1，易求得 AB=14 ，BC=20，AC=34 设 x 秒后，甲到A、B、C 的距离和为

3、40 个单位。此时甲表示的数为24+4x。甲在 AB 之间时，甲到A、B 的距离和为AB=14 甲到 C 的距离为 10（ 24+4x）=344x 依题意， 14+（344x）=40，解得 x=2 甲在 BC 之间时，甲到B、C 的距离和为BC=20 ，甲到 A 的距离为4x 依题意， 20+4x）=40，解得 x=5 即 2 秒或 5 秒，甲到 A、B、C 的距离和为40 个单位。是一个相向而行的相遇问题。设运动t 秒相遇。依题意有， 4t+6t=34 ，解得 t=3.4 相遇点表示的数为24+43.4=10.4 （或： 1063.4=10.4）甲到 A、B、C 的距离和为40 个单位时，甲

4、调头返回。而甲到A、B、C 的距离和为40 个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。甲从 A 向右运动 2 秒时返回。设y 秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：24+424y；乙表示的数为：10626y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 依题意有，24+424y=10626y，解得 y=7 相遇点表示的数为：24+424y=44 （或： 10626y=44）甲从 A 向右运

5、动 5 秒时返回。设y 秒后与乙相遇。甲表示的数为：24+454y；乙表示的数为：10656y 依题意有，24+454y=10656y，解得 y=8（不合题意，舍去）即甲从 A 点向右运动2 秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为44。点评 ：分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。例 2如图，已知 A、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为20，B 点对应的数为100。求 AB 中点 M 对应的数；现有一只电子蚂蚁P 从 B 点出发，以6 个

6、单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发， 以 4 个单位 /秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求 C 点对应的数；若当电子蚂蚁P 从 B 点出发时，以6 个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发， 以 4 个单位 /秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求 D 点对应的数。分析 ：设 AB 中点 M 对应的数为x，由 BM=MA 所以 x（ 20）=100 x，解得 x=40 即 AB 中点 M 对应的数为40 易知数轴上两点AB 距离， AB=140 ，设 PQ 相向而行t 秒在 C 点相遇，依

7、题意有， 4t+6t=120 ，解得 t=12 （或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得20+4t=100 6t，t=12）相遇 C 点表示的数为：20+4t=28 （或 1006t=28）设运动 y 秒， P、Q 在 D 点相遇，则此时P表示的数为1006y，Q 表示的数为204y。P、Q 为同向而行的追及问题。依题意有， 6y4y=120，解得 y=60 （或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得204y=1006y，y=60）D 点表示的数为：204y=260 （或 1006y=260）点评 ：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。是一个相向而行的相

8、遇问题；是一个同向而行的追及问题。在、中求出相遇或追及的时间是基础。例 3已知数轴上两点A、B 对应的数分别为1，3，点 P为数轴上一动点，其对应的数为 x。若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点P对应的数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 数轴上是否存在点P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为5？若存在， 请求出 x 的值。若不存在，请说明理由？当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，

9、点A 以每分钟5 个单位长度向左运动，点B 一每分钟 20 个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点 B 的距离相等？分析 ：如图，若点P 到点 A、点 B 的距离相等， P 为 AB 的中点， BP=PA 。依题意， 3x=x（ 1），解得 x=1 由 AB=4 ，若存在点P 到点 A、点 B 的距离之和为5，P 不可能在线段AB 上，只能在 A 点左侧，或B 点右侧。P 在点 A 左侧， PA=1x，PB=3x 依题意，（1x）+（3x）=5，解得x=1.5 P 在点 B 右侧， PA=x（ 1）=x+1，PB=x3 依题意，（ x+1）+（x3）=5，解得x=3.5 点

10、 P、点 A、点 B 同时向左运动，点B 的运动速度最快，点P 的运动速度最慢。故P点总位于 A 点右侧， B 可能追上并超过A。P到 A、B 的距离相等，应分两种情况讨论。设运动 t 分钟，此时P 对应的数为 t，B 对应的数为320t，A 对应的数为 15t。B 未追上 A 时，PA=PA ，则 P 为 AB 中点。 B 在 P 的右侧， A 在 P 的左侧。PA=t（ 15t）=1+4t，PB=320t（ t）=319t 依题意有， 1+4t=3 19t，解得 t=B 追上 A 时， A、B 重合，此时PA=PB。A、B 表示同一个数。依题意有，15t=320t，解得t=即运动或分钟时，

11、 P到 A、B 的距离相等。点评 ：中先找出运动过程中P、A、B 在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。例 4点 A1、A2、A3、 An（n 为正整数）都在数轴上，点A1在原点 O 的左边，且A1O=1，点 A2在点 A1的右边，且A2A1=2，点 A3在点 A2的左边，且A3A2=3，点 A4在点A3的右边，且A4A3=4，依照上述规律点A2008、A2009所表示的数分别为（）。A2008，2009 B 2008，2009 C1004， 1005 D1004， 1004 分析 ：如图，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

12、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 点 A1表示的数为1；点 A2表示的数为1+2=1；点 A3表示的数为1+23= 2；点 A4表示的数为1+23+4=2 点 A2008表示的数为 1+23+4 2007+2008=1004 点 A2009表示的数为 1+23+4 2007+20082009=1005 点评 ：数轴上一个点表示的数为a，向左运动b 个单位后表示的数为ab；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化

13、。练习题 ：1已知数轴上A、B 两点对应数分别为2，4，P 为数轴上一动点，对应数为x。若 P 为线段 AB 的三等分点，求P 点对应的数。数轴上是否存在P 点，使 P 点到 A、B 距离和为 10？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由。若点 A、点 B 和 P 点（P 点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1 个单位长度 /分钟，则第几分钟时P 为 AB 的中点？（参考答案：0 或 2； 4 或 6； 2）2电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0 向左跳一个单位到K1，第二步由K1向右跳 2 个单位到K2，第三步由K2向左跳 3 个单位到 K3，第四步由K3向右跳 4 个单位到K4按以上规律跳了100 步时，电子跳蚤落在数轴上的K100所表示的数恰是19.94。试求电子跳蚤的初始位置K0点表示的数。（提示：设K0点表示的数为x，用含 x 的式子表示出K100所表示的数，建立方程，求得 x=30.06）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -