2022年最新勾股定理竞赛试卷 .pdf

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1、精品文档精品文档八年级数学勾股定理竞赛试卷（时间： 120 分钟，总分： 120 分）一、选择题（每小题5 分，共 25 分）1、 ABC周长是 24，M是 AB的中点 MC=MA=5，则 ABC的面积是（）A 12; B 16; C 24; D 30 2、如图，在正方形ABCD 中，N是 CD的中点， M是 AD上异于 D的点，且 NMB= MBC ，则 AM ：AB= （）A31; B 33; C 21; D 63第（ 1）题图第（2）题图第（ 3）题图3、如图，已知O是矩形 ABCD 内一点，且OA=1 ，OB=3 ，OC=4 ，那么 OD的长为（）A.2; B.22; C.23; D.

2、3 4、如图， P为正方形ABCD 内一点， PA=PB=10 ，并且 P点到 CD边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（）A 200; B 225; C 256; D150+1025、如图，矩形ABCD中， AB=20 ，BC=10 ，若在 AB 、AC上各取一点N、M ，使得 BM+MN 的值最小，这个最小值为（）A 12; B 102; C 16; D 20 二、填空题（每小题5 分，共 25 分）第（ 5）题图6、如图， ABC中， AB=AC=2 ，BC边上有 10 个不同的点1021,PPP，记CPBPAPMiiii2（ i = 1 ， 2 ， ， 10 ）， 那 么

3、 ，1021MMM=_。第（ 6）题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档7、 如图，设 MPN=20 ，A为 OM上一点， OA=43，D为 ON上一点， OD=83，C为 AM上任一点， B是OD上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为 _。第（ 7）题图第（ 8）题图8、如图，四边形 ABCD 是直角梯形， 且 AB=BC=2AB ，PA=1 ，PB=2 ，PC=3，那么梯形ABCD的面积 =

4、_。9、若 x + y = 12，那么9422yx的最小值 =_。10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题（共70 分）11、 （本题 10 分）如图 ABC三边长分别是BC=17 ，CA=18 ，AB=19 ，过 ABC内的点 P向 ABC三边分别作垂线 PD，PE ，PF，且 BD+CE+AF=27 ，求 BD+BF的长度。12、 （本题 15 分）如图，在ABC中， AB=2 ，AC=3， A=BCD=45 ，求 BC的长及 BDC的面积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

5、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档13、 （本题 15 分）设 a,b,c,d都是正数。求证：addbacbcddca222222222214、 （本题15 分）如图，四边形ABCD中，ABC=135 ， BCD=120 ， AB=6，BC=5-3，CD=6 ，求AD 。15、 （本题 15 分）如图，正方形ABCD 内一点 E，E到 A、B、C三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

6、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档答案一、选择题1C 2A 3B 4C 5C 解答：1 MA=MB=MC=5， ACB=90 知周长是24，则 AC+BC=14 ，AC2+BC2=102，2AC BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2) = 142-102=424 2421BCACSABC2如图，延长MN交 BC的延长线于T，设 MB的中点为 O ，连 TO，则 BAM TOB AM ：MB=OB ：BT MB2=2AM BT （1）令 DN=1 ，CT=MD=k ，则 AM=

7、2 k 所以 BM=222)2(4kAMABBT= 2 + k代入（ 1） ，得 4 + (2 k )2= 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 34所以 AM ：AB=32：2 = 313如图，过O作 EF AD于 E，交 BC于 F；过 O作 GH DC于 G，交 AB于 H 设 CF=x，FB = y, AH = s, HB = x, 所以 OG=x, DG = s 所以 OF2=OB2- BF2=OC2-CF2即 42- x2= 32- y2所以 x2- y2= 16 9 =7 （1）同理有 OH2=12- s2= 32- t2所以 t2- s2= 32- 12= 8 （2

8、）又因为 OH2+HB2=OB2即 y2+ t2= 9 （1）- （2）得 (x2+s2) (y2+ t2) = 12 2 2 22所以 OD2=x2+ s2= (y2+ t2) 1 = 9 1 = 8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档所以 OD=224如图，过P作 EF AB于 E，交 CD于 F，则 PF CD 所以 PF=PA=PB=10 ，E为 AB中点设 PE = x ，则 AB=AD

9、=10 + x 所以 AE=21AB=21(10 + x) 在 RtPAE中， PA2=PE2+AE2所以 102= x2+ 21(10 + x )2所以 x = 6 所以正方形ABCD 面积 =AB2=(10 + 6)2 = 256 5如图，作B关于 AC的对称点 B，连 A B，则 N点关于 AC的对称点 N在 A B上，这时， B到 M到 N的最小值等于BM N的最小值，等于B到 A B的距离 BH，连 B与 A B和 DC的交点 P，则ABPS=212010=100，由对称知识，PAC= BAC= PCA 所以 PA=PC ， 令 PA=x，则 PC=x ，PD=20 x ，在 RtA

10、DP中， PA2=PD2+AD2所以 x2 = (20 x )2 + 102所以 x = 12.5 因为ABPS=21PA BH所以 BH=165 .1221002PASABP二、填空题140；212；3223415；413；56，8，10 或 5，12，13 解答：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档1如图，作AD BC于 D，在 RtABD和 RtAPiD中， AB2=AD2+BD2222DPA

11、DAPii所以22222)(DPADBDADAPABiiBPCPDPBDDPBDDPBDiiiii)(22所以422ABBPCPAPiii所以4iM所以401021MMM1 如图，作A关于 ON的对称点 A，D关于 OM 的对称点 D，连结 AB，CD，则 AB=AB ，CD=CD ，从而 AB+BC+CD=AB+BC+CDAD因为 AON= MON= MOD=20，所以 AOD=60又因为 OA=OA=43，OD=OD=83，所以 OD=2OA即 ODA为直角三角形，且OAD=90所以 AD=12)34()38(222 2 OAOD所以，折线ABCD 的长的最小值是12 3如图，作PM AB

12、于 M ，PN BC于 N，设 AB = m, PM = x, PN = y，则)3(9)()2(1)()1(4222222yxmymxyx由（ 2） 、 （3）分别得，12222ymymx（3）92222xmxmy（4）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档将（ 1）代入（ 4）得;2303222mmymym将（ 1）代入（ 5）得;2505222mmxmxm把 x,y 的表达式分别代入（1）得01

13、71024mm因为 m20 所以 m2=5+22所以 AB=22521,225,225ADBCm所以223415)(21ABBCADSABCD4如图， AB=12 ，AC=2 ，BD=3 ，且 AB AC，AB BD ，P在 AB上且 PA=x ，PB=y ，连 PC ，PD ，在 RtCAP和 RtDBP中9,4222222yPBBDPDxPAACPC如图， P点在0P位置时， PC+PD 的值最小，为线段CD的长度，而CD=1312)32(22所以9422yx的最小值为13。5设三边长为a,b,c ，其中 c 是斜边，则有)3(2)1 (222abcbacba（2）代入（ 1）得222)2

14、(baabba即0)844(4baabab因为 ab0 所以 ab 4a 4b + 8 = 0 所以484ba(a,b为正整数 ) 所以 b 4 = 1，2，4，8，所以 b = 5 ，6，8，12；a = 12 ，8，6， 5；c = 13 ，10，10，13，所以，三边长为6，8，10 或 5，12，13 三、解答题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档1如图 , 连结 PA,PB，PC ，设 B

15、D=x ，CE=y ，AF=z，则 DC=17-x，EA=18 y ，FB = 19 z 在 Rt PBD和 RtPFB中，有2222)19(PFzPDx同理有：22222222)18()17(PEyPFzPDxPEy将以上三式相加，得222222)19()18()17(zyxzyx即 17x + 18y + 19z = 487 又因为 x + y + z = 27，所以 x = z 1, 所以 BD + BF = x + (19 z ) = z 1 + 19 z = 18 2如图，作CE AB于 E，则 CE=AE=2622AC所以 BE=AB-AE=2 - 26426又222BECEBC所

16、以 BC=1662722BECE再过 D作 DFBC ，交 CB延长线于 F，并设 DF=CF=x ，则 BF= x BC = x + 1 - 6又 RtDFB RtCEB ，所以 DF：BF=CE ：BE ，即 x：(x + 1 - 6) = 264:26所以 x = 2623所以4692623)16(2121DFBCSBCD2 如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形 ABCD ，在 Rt ABE中， BE=22ABAE所以 BE=cddcadca2)(22222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

17、 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档在 RtBCF中，BF=abdbadbaCFBC2)(2222222在 R t DEF中， EF=2222cbDFDE在 BEF中， BE+EFBF 即abdbacbcddca22222222223 如图，过A作 AE BC交 CD于 E，则 1=45， 2=60，过 B作 BF AE于 F，作 CG AE于 G，则 Rt ABF为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为 AB=6，BC=5-3，所以 BF=AF=22AB=3，所以 CG=BF=3，所以 CE=32CG=2

18、 ，EG=31CG=1 所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过 D作 DM AE延长线于 M MED=180 - AED=180 - BCD=180 -120 =60所以 EM=21DE=2 ，DM=23DE=23在 RtAMD 中， AD=192)32()26(2222DMAM5如图，以A为中心，将 ABE旋转 60到 AMN ，连 NB，MB ，则AE+EB+EC=AN+MN+EC 因为 AE=AN ， NAE=60 所以 AE=NE 所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC 当 AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档MC=62， MBC=150 在 RtPMC 中，设 BC=x ，PM=xPBx23,2所以222)23()2()62(xxx所以 x = 2, BC=2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -