4线性方程组.ppt

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1、4 线性方程组线性方程组若记1112111212222212,nnmmmnnnaaaxbaaaxbaaaxbAx称A为线性方程组的系数矩阵， 为方程组的常向量，(A)为方程组的增广矩阵.则，线性方程组(4.1)可写成矩阵形式 AxAx 若记如果(x1, x2,xn)=(c1, c2,cn)满足方程组(4.1), 则称(c1, c2,cn)是方程组(4.1)的一个解向量, 简称一个解.则，线性方程组(4.1)也可写成向量形式 x1 1+x2 2+xn n 112111maaa122222,maaa12,nnnmnaaa可见，方程组(4.1)有解就是 可由 1, 2, n线性表示; 齐次方程组有解

2、就是 1, 2, n线性相关.解线性方程组, 就是求其解的集合, 若两线性方程组解集合相同，称这两个线性方程组同解.二消元法解 互换第一，第三方程位置，用1/2乘第二个方程例例1 1解线性方程组12312312335711468143xxxxxxxxx1231231233234735711xxxxxxxxx第二个方程减第一个方程的2倍，第三个方程减第一个方程的3倍第三个方程减第二个方程2倍, 第一个方程减第二个方程1232323321242xxxxxxx于是解为132322100 xxxx1323333221xxxxxxxR 例1的求解方法称为消元法，消元过程就是对线性方程组进行下列三种变换:

3、这三种变换称为线性方程组的初等变换. 易见, 线性方程组经过初等变换解不变. 1. 互换两个方程的位置;对线性方程组进行初等变换也可对增广矩阵作初等行变换来实现. 例如，例1的消元过程可写成 2. 用非零常数乘某个方程; 3. 将某个方程的倍数加到另一个方程.35711()468141113A1331/21113234735711rrr只要求解阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组即可.213123111301210242rrrr12322101201210000rrrr也就是说, 对增广矩阵进行初等行变换线性方程组解不变.所以, 所谓消元法就是对线性方程组增广矩阵进行初等行变换，将其化成阶梯形矩阵

4、，然后再求解相应的线性方程组即可.35711()468141113A1331/21113234735711rrr一般地, 用消元法求解线性方程组(4.1), 不妨设所以, 阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组为1,1112,122,11100010()00100000000000rnrnr rrnrrccdccdAccdd行则, 线性方程组(4.2)与解线性方程组(4.1)同解. 于是当dr+10时, 线性方程组(4.2)无解, 因此(4.1)无解;11,111122,1122,111(4.2)0rrnnrrnnrr rrrnnrrxcxc xdxcxc xdxcxc xdd当dr+1=0时, 线

5、性方程组(4.2)有解, 因此(4.1)有解.定理定理4.14.1 线性方程组(4.1)有解R(A)=R(A). R(A)=R(A)=n时，线性方程组(4.1)有唯一解:1212( ,)(,)nnx xxd dd11,111122,1122,111(4.2)0rrnnrrnnrr rrrnnrrxcxc xdxcxcxdxcxc xdd定理定理4.24.2 R(A)=R(A)=n时线性方程组(4.1)有唯一解, R(A)=R(A)n时线性方程组(4.1)有无穷多解. R(A)=R(A)n时，线性方程组(4.1)有无穷多解:111,111222,112,111,rrnnrrnnrrr rrrnn

6、rnxdcxc xxdcxc xxdcxc xxxR 例例2 2 解线性方程组解解1322()21313143A123123123322231343xxxxxxxxx2131231322051301023rrrr322132205130003rr可见, R(A)=2, R(A)=3.所以, 方程组无解.2 2 齐次线性方程组齐次线性方程组 设齐次线性方程组11 1122121 122221 12200(4.3)0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxa x如果R(A)=n, 则齐次线性方程组(4.3)有唯一解，即(x1, x2,xn)=(0,0,0), 称之为线性方程

7、组(4.3)的零解; 由定理4.1和定理4.2知:如果R(A)n, 则 (4.3)有无穷多解, 当然有非零解.定理定理4.34.3 齐次线性方程组(4.3)有非零解R(A)n. 设V V是n元齐次线性方程组AxAx=0 0的解集合, 即定理4.4说明集合V对向量的线性运算是封闭的. 也就是说齐次线性方程组的任意解的线性组合还是解, 而且齐次线性方程组的任意解都可以由向量组V的极大线性无关组线性表示. V V= |A A =0 0, Rn V的极大线性无关组就称为方程组的基础解系.定理定理4.44.4 齐次线性方程组的解具有性质:其中Rn表示所有n维实向量组成的集合. 1. 如果 1 1, 2V

8、 V, 则 1 1+ 2V V ; 2. 如果 V V, kR, 则k V V ;定理4.4说明集合V对向量的线性运算是封闭的. 也就是说齐次线性方程组的任意解的线性组合还是解, 而且齐次线性方程组的任意解都可以由向量组V的极大线性无关组线性表示.那么, 1 1, 2 , s称为AxAx=0 0的一个基础解系.定义定义4.14.1 向量组V V的一个极大线性无关组称为齐次线性方程组AxAx=0 0的一个基础解系. 也就是说, 设 1 1, 2 , s是齐次线性方程组AxAx=0 0的一组解, 如果 1. 1 1, 2 , s线性无关 ; 2. AxAx=0 0的任意解都可由 1 1, 2 ,

9、s线性表示,证明 由于R(A)=r, 不妨设方程组(4.3)等价于 定理定理4.54.5 对n元齐次线性方程组AxAx=0 0, 如果R(A)=r n, 则它有基础解系, 且基础解系含有n-r个解向量.如果 1 1, 2 , s是AxAx=0 0的一个基础解系, 则AxAx=0 0的全部解(通解)为: c1 1 1+c2 2+cs s, 其中c1, c2, ,cs是任意常数即 V V=c1 1 1+c2 2+cs s|c1, c2, ,cs是任意常数11,11122,112,11(4.4)rrnnrrnnrr rrrnnxcxc xxcxc xxcxc x 于是得到方程组(4.4)(也就是(4

10、.3)的n-r个解向量分别取由(4.4)解得1210,0rrnxxx 01,0 00,1 1,112,12,1,rrr rrcxcxcx1,22,2,2,rrr rccc12,nnrnccc 显然, 1 1, 2 , n-r线性无关.1,12,1,11,100rrr rccc1,22,2,22,010rrr rccc12,001nnrnn rccc 设 =(c1,c2,cr,cr+1,cr+2,cn)T是(4.3)的任一解, 则 cr+1 1 1+cr+2 2+cn n-r- 是(4.3)的一个解而且由方程组(4.4)可得: d1=d2=dr=0, 即 cr+1 1 1+cr+2 2+cn n

11、-r- = =(d1,d2,dr,0,0,0)T cr+1 1 1+cr+2 2+cn n-r- =0 =0也就是 = = cr+1 1 1+cr+2 2+cn n-r所以, 能由 1 1, 2, , n-r线性表示, 故 1 1, 2, , n-r是齐次线性方程组(4.3)的一个基础解系. 例例3 3 求齐次线性方程组的通解. 解解12345123451234512345022303240422230 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx11111212133214142223A21314123411111014310121202621rrrrrr 可见R(A)=3, 故基础解系含有2个

12、解向量, 且原方程组等价于324212210322014310024300243rrrrrr432331352231/223100401055001200000rrrrrrr51452245334524055020 xxxxxxxxx5145224533452=4+=5+5=2+xxxxxxxxx即分别取4510,01xx 可得方程组的基础解系:所以, 方程组的通解是: x x=c1 1 1+c2 2其中c1, c2是任意常数.531222(4,5,2,1,0) ,( ,5, ,0,1)TT5145224533452=4+=5+5=2+xxxxxxxxx注意: 也可以直接由方程组: 得解:写成

13、向量形式就是:415212,xcxcc cR ,51122=4 +xcc212=5 +5xcc33122=2 +xcc5122331224512455210,01xxxccxxc cR 514522453345452=4+=5+5=2+,xxxxxxxxxx xR也可以将解写成:写成向量形式就是:4152122,xcxcc cR ,112=4 +5xcc212=5 +10 xcc312=2 +3xcc123124512455102310,02xxxccxxc cR 也可以取成 例例4 4 取何值时, 齐次线性方程组有非零解? 并在有非零解时求它的一个基础解系. 解解12312312123205

14、0306(1)0 xxxxxxxxxxx11215130161A213141112013022053rrrrrr 可见, 2时, R(A)=3, 方程组只有零解; =2时, R(A)=23, 方程组有非零解, 此时等价方程组为:32332421/2(1)5112011002002rrrrrrr1243103011002000rrrr13233xxxx 取x3=1, 得一个基础解系为:1311 例例5 5 取何值时, 齐次线性方程组有非零解? 并在有非零解时求它的通解. 解解12341234123412340000 xxxxxxxxxxxxxxxx111111|111111A11110100(3

15、)001000013(3)(1) -3, 且1时, R(A)=4, 方程组只有零解.通解为1123213243123,xcccxcxcxcc c cR 1234xxxx =1时, R(A)=1, 此时方程组等价于1212331234111100010,001xxcccxc c cRx或通解为: x x=c 1 , c是任意常数. =-3时, 有3111131111311113A142341231113113113110000rrrrrrrr 21311113004404040000rrrr32231231/41/41001010100110000rrrrrrr基础解系为: 1=(1, 1, 1

16、, 1)T作作 业业习题习题A A 第第7777页页1 (1), (3), (4)、7、9、10练习题练习题习题习题B B 第第7979页页4、 5、 6 、103 3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 本节主要讨论非齐次线性方程组解的结构.定理定理4.64.6 非齐次线性方程组的解具有性质:给定非齐次线性方程组1. (4.5)的任意两个解的差是其导出组(4.6)的解; AxAx= (4.5)则称齐次线性方程组 AxAx=0 0 (4.6)为(4.5)对应的齐次线性方程组, 或(4.5)的导出组.2. 如果是(4.5)的解, 是 (4.6)的解, 则+是(4.5)的解;3. 如果0是(4.5)

17、的一个解, 则 (4.5)的任意解可表示为: = 0+ , 其中是 (4.6)的一个解 证明证明: 1. A A( 1- 2)=A A 1-A A 2= - - =0=0定理定理4.74.7 对n元非齐次线性方程组AxAx= , 设R(A)= R(A)=r. 若 0是它的某个解, 1 1, 2, , n-r是AxAx=0 0的一个基础解系, 则线性方程组AxAx= 的通解为 x= x= 0+c1 1 1+c2 2+ +cn-r n-r其中c1, c2, , cn-r是任意常数. 2. A A( + )=A A +A A =0 0+ = 3. 取 = - 0, 则 = 0+ 例例6 6 求解线性

18、方程组 解解123412341234231232343xxxxxxxxxxxx12131()2311234113A2131231213101150022100rrrr123222101710115000000rrrr可见, R(A)=R(A)=2, 故方程组有解, 同解方程组为通解为134234175xxxxxx 134234333444175,xxxxxxxxx xRxx 112212314212175,xccxccxcxcc cR 向量形式为12123412117015010,001xxccxxc cR 123412341234231232343xxxxxxxxxxxx 例例7 7 , 取

19、何值时, 线性方程组无解?有唯一解?有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 解解123412341234123412323223454xxxxxxxxxxxxxxxx111111231()213223454A2131412311111012210350001231rrrrrr 可见, =1, 2时, R(A)=4, R(A)=3, 无解.12324231 01320 12210 016330 0012r rrrrr 1时, R(A)=R(A)=4, 有唯一解. =1, =2时, R(A)=R(A)=3, 有无穷多解. 此时1 01300 122 1()0 016 30 0000A132321 0 0330 1 0 1050 0 1630 0 000r rrr于是, 方程组的通解为或写成1424344335 1036,xxxxxxxR 1234335 1036,xcxcxcxccR 123433510,3601,xxcxxcR或作作 业业习题习题A A 第第7777页页2 (1), (2), (4)、3、4、5 、6、8练习题练习题习题习题B B 第第7979页页2、 3、 7 、8