最新多元正态分布及参数估计精品课件.ppt

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1、多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计7/23/2022应用统计方法22.1 2.1 随机向量随机向量 本课程讨论多变量总体。把p个随机变量放在一起得 为一个p维随机向量，如果同时对p个变量做一次观测，得观测值： 它是一个样品，观测n次得n个样品： 而这n个样品就构成一个样本),(21pXXXX,),()1(11211Xxxxdefp),(21)(ipiiixxxX,2, 1ni7/23/2022应用统计方法9若 在点 连续，则),(21pxxxf),(21pxxx),(),(212121ppppxxxFxxxxxxf 0),(121 pxxxF且有1),(1211 ppdxdxxxxf

2、7/23/2022应用统计方法10 四、边缘分布 设有连续随机向量 ),(21 pxxxx不妨设 是 的q个分量组成。则 的分布为 ),(21)1(qxxxx),(21pxxxx),(21)1(qxxxx),(),(221121)1(qqqaxaxaxPaaaF),(12211pqqqxxaxaxaxPppaadxdxxxxfq121),(17/23/2022应用统计方法11qpqpaadxdxdxdxxxxfq1121),(1所以 的边际密度为),(21)1(qxxxxpqpqdxdxxxxfxxf1211)1(),(),(例 随机向量 有联合概率密度函数),(21xxx)sinsin1 (

3、21),(212212221xxexxfxx 试分别求 的边际密度。21,xx22111),()(dxxxfxf7/23/2022应用统计方法12221211)sinsin1 (21)(2221dxxxexfxx2212211)sinsin1 (2121)(2221dxxxeexfxx2221222211sinsin212121)(32212221dxxexedxeexfxxxx22121xe1x2222221)(xexf同理1x7/23/2022应用统计方法13五、条件分布 1、问题的引入 若A和B是任意两个事件，且 ，则称为在B事件发生的条件下，事件A发生的条件概率。0)(BP)(/ )(

4、)/(BPABPBAP考虑随机向量 ，其中 表示人的身高（单位：米）， 表示人的体重（单位：公斤），在身高为1.9米的人群中，体重 的分布就再也不是原来的分布了。而是在 的条件分布。),(21xxx1x2x90. 11x2x7/23/2022应用统计方法147/23/2022应用统计方法15 2、条件分布 连续随机向量 ),(21 pxxxx 不妨设 是 的q个分量组成。 是余下的p-q个分量组成。 ),(21)1(qxxxx),(21pxxxx),(21)2(pqqxxxx),(),(),|,(1)2(2111pqppqqxxfxxxfxxxxf是 条件下， 的分条件密度函数。),(21)2

5、(pqqxxxx),(21)1(qxxxx7/23/2022应用统计方法16 例 设X=(x1,x2)有概率密度函数其它010 , 10) 1(56),(21212121xxxxxxxf试求条件密度函数f(x1/x2）和f(x2/x1）。)(),()|(112112xfxxfxxf)(),()|(222121xfxxfxxf因为7/23/2022应用统计方法17所以先求 102212111) 14(56)(dxxxxxf1022121) 14(56dxxxx212156512xx 5256)(222xxf同理7/23/2022应用统计方法1810121456512) 14(56)(),()|(

6、2, 112121222121222112xxxxxxxxxxxfxxfxxf13) 14(35256) 14(56)(),()|(1212122121222121xxxxxxxxxfxxfxxf7/23/2022应用统计方法19六、 独立性 1、定义设 和 是两个随机向量，若 对一切 、成立，则称 和 相互独立。y)()(),(yxyxyFFFxxxyxy 2、设 和 是两个连续随机向量， 和 相互独立，当且仅当 或对一切 、 成立。)()(),(yxyxyFFFx)()|(xyxxffxyxyxy7/23/2022应用统计方法203、设 是 个随机向量，若 对一切 成立，则 相互独立。n2

7、1xxx,n)()()(),(21mmmFFFFxxxxxx2121nm n21xxx,n21xxx,7/23/2022应用统计方法21数字特征 一、数学期望1、定义pqppqqxxxxxxxxx212221212111X 是有随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学期望为7/23/2022应用统计方法22)()()()()()()()()()(212221212111pqppqqxExExExExExExExExEEX特别当时 ，便可得到随机向量 的数学期望为1q),(21pxxxx) )(,),(),()(21pxExExEEx7/23/2022应用统计方法23 2、性质 1） 设为常数，则

8、； )()(XXaEaE2）设 分别为常数矩阵，则CBA,CBXACAXB)()(EE 3）设 为 个同阶矩阵，则n21XXX,n)(n21XXXEn21XXXEEE7/23/2022应用统计方法24 二、协方差矩阵 1、定义：设 和 分别为 维和 维随机向量，则其协方差矩阵为),(21pxxxx),(21qyyyypq)()()()()()(22112211qqppyEyyEyyEyxExxExxExE7/23/2022应用统计方法25),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(212221212111YXyxyxy

9、xyxyxyxyxyxyxqpppqq的协方差矩阵为),(21pxxxx)var(),cov(),cov(),cov()var(),cov(),cov(),cov()var()(2122121211pppppxxxxxxxxxxxxxxxVarx7/23/2022应用统计方法262、性质 1）若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)相互独立。则反之不成立0),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyx7/23/2022应用统计方法27 若(x1,x2,

10、，xp)的分量相互独立, 则协方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即)var(000)var(000)var()(21pxxxVarx7/23/2022应用统计方法28 2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则axxEaaa)()(axxaE0)(2xaE 3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则V(AX+b)=AV(X)A ； )(bAX V)()(bAbAXE )()(bAbAXAxxA)(EAxA)(V7/23/2022应用统计方法29 4、若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则 ByxAB

11、yAx),(),(CovCov),(ByAxCov证 )()(xBBxxAAxEEEBxxA)(E 5、若(k1,k2,，kp)是n个不全为零的常数， (x1,x2,，xp) 是相互独立的p维随机向量，则)(21n21xxxnkkkV)()()(22221n21xxxVkVkVkn7/23/2022应用统计方法300,000000, 0, 621112LLLLLLppp，使得正交矩阵证明：由于为非负定矩阵。其中7/23/2022应用统计方法31 三、相关系数矩阵 若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，则其相关系数矩阵为),(),(),(),(),(),(),

12、(),(),(),(212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx，两随机向量不相关。若0yx),(7/23/2022应用统计方法32 随机向量的变换随机向量的变换 一、一元随机变量的变换 设x具有概率密度函数fx(x)，函数y=(x)严格单调，其反函数x=(x)有连续导数，则y的概率密度函数为| )(|)()(yyfyfxy 其中y的取值范围与x的取值范围相对应。例 设随机变量x服从均匀分布U(0,1),即密度函数 其他0101)(xxfx7/23/2022应用统计方法33的密度函数。求)0(ln1xyyeyx)(解y的取值范围为(0,),则| )(|)()(y

13、yfyfxy|)( |1|)( |)(yyyxeeefye7/23/2022应用统计方法34 二、多元随机向量的变换 若(x1,x2,xp) 有密度函数f (x1,x2,xp),有函数组),(21piixxxypi, 2 , 1其逆变换存在 ),(21pjjyyyxpj, 2 , 1则 的概率密度函数为),(21pyyyy7/23/2022应用统计方法35|),(,),(),(2121121Jppppyyyyyyfyyygppppppppyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxx2122212121112121),(),(J7/23/2022应用统计方法36特别：若 ，其中 为 阶可逆常数矩阵， 为 维常数向量，则bAxyApbp1|)(AAyxJ137 结束语结束语