函数单调性的常见类型题归纳总结.docx

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1、利用导数函数的单调性注意：定义域、求导法则运用准确（注意适当变形）、解不等式（可解型：1：不含参型（基本型、指对数型、混合型）、2：含参型；不可解型：利用单调性试根验证、隐零点）、区间写法、单调性的应用（求极值、最值，解不等式，比较大小，图像问题，零点问题）类型题总结：题型一：关注定义域1、若函数在处取得极值，则的减区间为_2、设函数，则函数的单调区间是_题型二：导函数与一次函数、二次函数、三次函数相关不含参数型已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求g(x)的单调区间（1）对求导得，因为在处取得极值，所以，即，解得。（2）由（）得，

2、故。令，解得，或。当时，故为减函数；当时，故为增函数；当时，故为减函数；当时，故为增函数。综上知在和内为减函数，在和内为增函数。含参数型1、已知函数，求的单调区间解：定义域 令，所解不等式为当时，即解不等式的单调区间为：当时， 恒成立为增函数:2、讨论函数的单调区间解： 令即 （注意定义域为，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式） 时 （求解需要除以后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从的符号入手） 恒成立，在单调递增 函数 为增函数 时 （下一步为开方出解集，按的符号进行再分类）当即时，恒成立，在单调递减当即时，解得：的单调区间为：3、已知函数，讨论的单调性解：定义域为 令即考虑 （左

3、边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与轴有交点） 时 恒成立，故在单调递增 时 的解 的解集为的单调区间为： 时 在单调递增4、已知函数，求的单调区间解：定义域令，即解不等式（1）当时，可得，则不等式的解为的单调区间为：（2）当时， 时，即，解得或的单调区间为： ，代入到恒成立 为增函数 ，解得：或的单调区间为：5、设函数，求的单调区间；解：，令即（1） 则恒成立 在上单调递增（2）或 当时，解得 ，单调区间为： 当时，解得：或单调区间为：题型三：导函数非负（非正）1、 ，讨论的单调性2、 讨论的单调性，并证明：当时，3、设函数证明：在单调递减，在单调递增；【解析】()若，则当时，；当时，若，

4、则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增题型四：导函数不能分解因式型观察导函数单调性，试根型1、 已知函数，是的极值点,讨论的单调性。f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定义域为x|x1，f(x)ex，令，则，又，显然f(x)在(1,0上单调递减，在0，)上单调递增2、 已知函数（为常数），曲线在点处的切线与轴平行，求的单调区间；解:(1)函数的定义域为,函数的导数,曲线在点处的切线与x轴平行,即,解得.(2),由,解得,当时,此时函数单调递增,当时,此时函数单调递减,故增区间为,减区间为.多次求导型函数，求函数的最小值题型五：指数、对数、三角或其他不含参数型1、已知函

5、数，求函数的单调区间2、设函数，曲线在点处的切线方程为，求的单调区间.【解析】 （I） 曲线在点处的切线方程为，即 由解得：，（II）由（I）可知：，令，极小值的最小值是的最小值为即对恒成立在上单调递增，无减区间.3、已知函数，求其单调区间4、已知函数f(x)=（x）（）（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在区间上的取值范围来源:学科网ZXXK（2）由fx=1x2x12ex2x1=0解得x=1或x=52因为x12（12，1）1（1，52）52（52，+）f(x)-0+0-f（x）12e12012e52又f（x）=12（2x11）2ex0，所以f（x）在区间12，+）上的取值范围是0，1

6、2e12含参数型1、已知函数，讨论函数单调性2、设函数(k为常数)当k0时，求函数f(x)的单调区间；解：函数yf(x)的定义域为(0，)，f(x)k.由k0可得exkx0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)3、已知函数.讨论的单调性；课后练习：1、设函数(其中).(1) 讨论函数的单调性;(2) 当时,求函数在上的最大值.解析：(2) ,令,得, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则,令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减

7、. 因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. 2、已知函数f(x)=xax+(a1)，,讨论函数的单调性； 解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.3、已知函数其中,当时，求函数的单调区间与极值。 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 （2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 4、已知函数.讨论函数的单调性； KS*5U.C#解：() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.第 12 页 共 12 页学科网（北京）股份有限公司