二次函数在闭区间上的最值--高考数学一轮复习讲义.docx

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1、二次函数在闭区间上的最值二次函数在初中时已经是重点内容，也常作为中考压轴题出现.到高中时依然是考试的宠儿，在向量、不等式、数列、导数、解析几何、解三角形随处可见它的身影。而二次函数在闭区间上的最值问题又是二次函数中的重中之重，这一部分知识掌握不好会导致你在解决很多题目时无从下手，接下来我们便对这一部分知识进行梳理总结，希望今后在遇到这类问题能够快速上手.一、二次函数重要知识梳理：1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，零点式：（），其中是方程的根2.性质：（1）对称性：关于对称，若则（2）单调性：若,则在单调递减，在单调递增；若,则在单调递增，在单调

2、递减.（3）与轴交点情况：当时,设图象与轴交点为则有：3. 二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令. （1） （2） （3） （4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.抛物线开口向上时，有： ,当时,要点诠释：1二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2. 求二次函数的最值一般要数形结合.3.遇到与二次函数的题型时，一定要先看清楚是求最值还是仅让求最大值或最小值。二、典型例题探究 （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题

3、包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_解：方一：,又 方二：配方后画出函数在上的图像，根据图像可知最大值为2，最小值为-2 【总结升华】：若函数解析式比较简单，容易配方的情况下，两种方法差不多；若函数解析式相对复杂时，配方法便不适合。用图像做显得更合理.例1. 已知，求函数的最大值和最小值 【思路点拨】：本题初看似乎与二次函数在闭区间上的最值问题没有关系，但若令，则便为二次函数

4、的形式,而可求出的范围，从而便得到的范围. 解：即解得.原函数的最值即的最值.因为该函数关于对称，且在单调递减在单调递增【总结升华】该题为隐藏的二次函数，换元后才能看到它的真面目.类似的题在对数函数中也出现过.比如：已知满足不等式，求函数的最大值和最小值. 2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例3求二次函数在上的最值【思路点拨】此题是求最值，因此有四种情况;其次要注意由于是轴定区间动，因此讨论时要根据的范围进行分类，要注意不重不漏.【解析】 ，对称轴x1，当即时，函数在上为单调减函数，；当，即时，；当即时，； 当时，【总

5、结升华】对于此类题目，要做到对知识梳理中那4个图像胸有成竹,这样对于选择填空题可以迅速写出结果 。 3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4.求函数在上的值域 【思路点拨】对于求二次函数在闭区间上的值域，只需求出两个最值，用闭区间括起来即可.【解析】 由已知可知，函数的对称轴为 当时，所以函数的值域为 当时，所以函数的值域为 当时，所以函数的值域为 当时，所以函数的值域为 4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例5.已知，求的最小值。 【思路点拨】：式子中暗示了自变量的范围，所求式子将用替换后即为以为自变量的二次函数.然后再根据对称轴与区间位置关系去讨论.若用数形结合的思维此题还容易理解为抛物线上任意一点到距离的平方.但这种做法在这个题中不太恰当. 解：由得最小值即的最小值.,显然关于对称.由,（这一步非常关键，让对称轴和区间端点相等是寻找讨论的界点）从而有：时，,对称轴在区间之内，故最小值在处取得，时，,因此函数在单调递增， 学科网（北京）股份有限公司