第8章第1讲空间几何体的结构、表面积和体积--高三数学一轮复习练习.docx

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1、第八章 立体几何第一讲空间几何体的结构、表面积和体积1.一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()ABCD2.下列命题正确的是()A.底面是矩形的平行六面体是长方体B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥C.棱台的相对侧棱延长后必交于一点D.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14B.5-12C.5+14D.5+124.(2020江苏高考)如图，六角螺帽毛坯是由

2、一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为05 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_ cm35.在三棱锥A-BCD中,ABC和BCD都是边长为2的正三角形,当三棱锥A-BCD的表面积最大时,其内切球的半径是()A.22-6B.2-3C.2D.666.已知在三棱锥P-ABC中,ABC的内切圆圆O的半径为2,PO平面ABC,且三棱锥P-ABC的三个侧面与底面所成角都为60,则该三棱锥的内切球的体积为()A.32327B.8327C.163D.437.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别

3、是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()A.86B.46C.26D.68.已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是.9.将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形,其中小扇形的圆心角为3,则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为()A.21B.708 C.41 D.327010.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为()Aa2Ba2Ca2Da211.沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接

4、管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上、下两个相同的圆锥组成，圆锥的高为1，若上面的圆锥中装有高度为的液体，且液体能流入下面的圆锥，则液体流下去后的液面高度为_12.多选题在三棱锥P-ABC中,ABBC,P在底面ABC上的投影为AC的中点D,DP=DC=1.则下列结论正确的()A.三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等B.PAB的取值范围是(4,2)C.若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上,则球O的体积为23D.若AB=BC,E是线段PC上一动点,则DE+BE的最小值为6+2213.多选题如图8-1-6,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中

5、AB=22,A1B1=2,AA1=BB1=CC1=DD1=2,则下列说法正确的是()图8-1-6A.该四棱台的高为3B.AA1CC1C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为1614.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123 B.183 C.243 D.54315.在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子.某雕刻师计划在底面边长为2 m,高为4 m的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中雕出一个四棱锥O-ABCD和球M的组合体(如图

6、所示),其中O为正四棱柱的中心,当球的半径r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重kg.(其中3.14,石料的密度=2.4 g/cm3,质量m=V,V为体积)答案与解析1.B设这个球的半径为R，则4R216，得R2，所以这个球的体积VR3故选B2.根据空间几何体的结构特征可知C正确.3.设正四棱锥的高为h,底面正方形的边长为2a,斜高为m,依题意得h2=122am,即h2=am,易知h2+a2=m2,由得m=1+52a,所以m2a=1+52a2a=1+54.故选C.4.正六棱柱的体积为622212(cm3)，圆柱的体积为0522(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积为cm35.A三棱锥A-BCD的表

7、面积S=23+SABD+SACD=23+4sinABD,故当ABBD时,Smax=4+23,如图,过A作BC的垂线,垂足为E,连接ED,易知BC平面AED,则SAED=2,VA-BCD=VB-AED+VC-AED=1322=223,设内切球半径为r,则VA-BCD=13Sr,可得r=22-6.6.设三棱锥P-ABC的内切球的半径为R,过O作ODAC于点D,OEBC于点E,OFAB于点F,则OD=OE=OF=2.连接PD,易证PDAC,因为三棱锥P-ABC的三个侧面与底面所成角都为60,所以PDO=60,则PO=2tan 60=23,PD=2cos60=4.由题意可知三棱锥P-ABC的内切球的球

8、心O在线段PO上,在RtPOD中,sinDPO=ODPD=RPO-R,即24=R23-R,解得R=233.所以该三棱锥的内切球的体积为43R3=43(233)3=32327,故选A.7.D因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EFPB,因为CEF=90,所以EFCE,所以PBCE.取AC的中点D,连接BD,PD,易证AC平面BDP,所以PBAC,又ACCE=C,AC,CE平面PAC,所以PB平面PAC,所以PBPA,PBPC,因为PA=PB=PC,ABC为正三角形, 所以PAPC,即PA,PB,PC两两垂直.将三棱锥P-ABC放在正方体中,如图所示.因为AB=2,所以该正方体的棱长为2,所以

9、该正方体的体对角线长为6,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R=62,所以球O的体积V=43R3=43(62)3=6.8.1解法一设该圆锥的母线长为l,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,其面积为2,所以12l2=2,解得l=2,所以该半圆的弧长为2.设该圆锥的底面半径为R,则2R=2,解得R=1.解法二设该圆锥的底面半径为R,则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2R.因为侧面展开图是一个半圆,设该半圆的半径为r,则r=2R,即r=2R,所以侧面展开图的面积为12r2=2R2=2,解得R=1.9.B不妨设半圆的半径为1,用圆心角为3的小扇形围成的圆锥的底面圆周长为31=3,设其底面圆的半径为r1,则

10、2r1=3,所以r1=16,该圆锥的高h1=1-(16)2=356.用圆心角为23的大扇形围成的圆锥的底面圆周长为231=23,设其底面圆的半径为r2,则2r2=23,所以r2=13,该圆锥的高h2=1-(13)2=223.所以h1h2=708.10.C如图，设O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1EOD于点E在直角梯形ODD1O1中，OD2aa，O1D1aa，DEODO1D1a在RtDED1中，D1Ea，则D1DaS侧3(a2a)aa211.由题意可得，3，所以1，又上下两圆锥是对顶的相同圆锥，所以液体流下去后的液面与下圆锥底面形成一个圆台，其体积等

11、于液体未流前小圆锥体积，所以未流下前上圆锥中的空圆台与流下后下圆锥液体上方的空圆锥体积相等，所以液体流下后下圆锥中，所以V空的高为，即液面的高度为112.ABD如图,在三棱锥中,根据DP=DC=1,知DB=DA=1,根据勾股定理得PC=PA=PB=2,所以A正确;取AB的中点F,连接PF,DF,则ABPF,设DF=x,则cosPAB=AFAP=1-x22,结合三角形的边长关系可得x(0,1),则cosPAB=1-x22(0,22),结合余弦函数的单调性可知PAB的取值范围是(4,2),所以B正确;根据A可知D到A,B,C,P的距离均为1,所以三棱锥的外接球是以D为球心,1为半径的球,其体积V=

12、43,所以C不正确;当AB=BC时,ABC是等腰直角三角形,AC=2,所以BC=2,所以三角形BPC为等边三角形,将三角形BPC与三角形PDC以PC边展开可以得到图D 8-1-20,连接BD,所以DE+BE的最小值为图中BD的长度,BD=223+22=6+22,所以D正确.所以结论正确的是ABD.13. AD如图,将该四棱台补形为四棱锥S-ABCD,连接AC,BD相交于点O,连接A1C1,B1D1相交于点O1,连接SO,则SO过点O1,且SO平面ABCD,OO1为该四棱台的高.A1B1AB,A1B1AB=SA1SA=222=12,SA=4,SA1=2,由四边形ABCD为正方形且AB=22可得A

13、O=2,则A1O1=1,SO=23,SO1=3,OO1=3,故选项A正确;SA=SC=4,AC=4,ASC=60,故选项B不正确;梯形A1B1BA的高为22-(22-22)2=142,故该四棱台的表面积为22+2222+422+22142=10+67,故选项C不正确;该四棱台的上、下底面都是正方形,因此该四棱台外接球的球心在直线OO1上,连接OB1,在OO1B1中,由OO1=3,O1B1=1可得OB1=2,又OB=2,OB1=OB,该四棱台外接球的球心为O,球的半径r=2,外接球的表面积为4r2=16,故选项D正确.故选AD.14.B如图所示,因为ABC是正三角形,所以该三角形的外接圆(平面A

14、BC截球面所得)的圆心就是三角形的中心M.连接球心O与点M,则OM平面ABC.所以点D到平面ABC的距离最大时,D为射线MO与球面的交点,此时DM平面ABC.由题意知OD=OB=4,SABC=34AB2=93 ,所以AB=6.连接BM并延长交AC于点E,因为点M为ABC的重心,所以BM=23BE=23,则在RtOBM中,OM=OB2-BM2=2,所以DMmax=OD+OM=4+2=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13936=183.故选B.14.B如图D 8-1-8所示,因为ABC是正三角形,所以该三角形的外接圆(平面ABC截球面所得)的圆心就是三角形的中心M.图D 8-1-8连接球心O

15、与点M,则OM平面ABC.所以点D到平面ABC的距离最大时,D为射线MO与球面的交点,此时DM平面ABC.由题意知OD=OB=4,SABC=34AB2=93 ,所以AB=6.连接BM并延长交AC于点E,因为点M为ABC的重心,所以BM=23BE=23,则在RtOBM中,OM=OB2-BM2=2,所以DMmax=OD+OM=4+2=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13936=183.故选B.15.21 952由题意得正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V1=224=16(m3),正四棱锥O-ABCD的体积V2=13222=83(m3),分析知球M的半径r的最大值为1,此时球M的体积V3=43r3=4313=43(m3),故去除石料的体积V=V1-V2-V3=16-83-4327.443(m3).又=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,故需去除的石料的质量m=V2 40027.443=21 952(kg).学科网（北京）股份有限公司