D1-10闭区间上连续函数的性质.ppt

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1、11.10 闭区间上连续函数闭区间上连续函数 的性质的性质介值定理介值定理( intermediate value theorem )小结小结 思考题思考题 作业作业最大值最大值(maximum )和和最小值最小值(minimum)定理定理 在在闭区间闭区间上的上的连续函数连续函数有一些重要的性质有一些重要的性质,这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作为理论的根据为理论的根据. . 这些性质的几何意义很明显这些性质的几何意义很明显. .第一章第一章 函数与极限函数与极限2定义定义)()(xff 例例,sgn xy ,),(上上在在 , 2max y;

2、1min y,), 0(上上在在 . 1max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y设设f (x)在区间在区间I上有定义上有定义, I 使得当使得当,时时Ix 恒有恒有若存在点若存在点),()( fxf 为函数为函数f(x)在区间在区间I上的上的)( f最小最小 值值, ,记为记为则称则称)(min)(xffIx ).(max)(xffIx ( (大大) ) miny一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理3在闭区间上连续的在闭区间上连续的,)(baCxf 若若注注 (1) 定理定理1中的条件中的条件“闭区间闭区间”和和“连续性连续性” 定理定理1(1(

3、最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值. .,21ba 则则,bax 使得使得),()(1xff 有有).()(2xff 是不可少的是不可少的.xyO)(xfy ab2 1 4xyO211在在开区间开区间(0,1)内连续内连续, 2xy 在在(0,1)内内又如又如: : 21, 3, 1, 1, 10, 1)(xxxxxxfy在闭区间在闭区间0,2上有上有函数函数f (x)在在0,2上上既没有最大值既没有最大值,如如: 函数函数没有最大值或最小值没有最大值或最小值.也没有最小值也没有最小值.间断点间断点函数函数)(xfy , 1 x2xy 5

4、(2) “闭区间闭区间”和和“连续连续性性”在在开区间开区间xysin )2, 0( 取得最小值取得最小值2 x处处在在23 x函数函数 0, 10,1 , 1,)(xxxxxf处取得最大值处取得最大值 1.而不是必要条件而不是必要条件.如如 函数函数内连续内连续,但它在但它在处取得最大值处取得最大值1;. 1 又如又如在闭区间在闭区间1 , 1 上有上有间断点间断点取得最小值取得最小值但它在但它在处处1 x; 1 仅是定理的仅是定理的充分条件充分条件, 0 x1 , 0 x在在6证证,bax ,)(Mxfm ,max.)(Kxf .,)(上上有有界界在在函函数数baxf由由定理定理1(最值定

5、理最值定理),定理定理2(2(有界性定理有界性定理) )有有| M|,|m取取 K则有则有,)(baCxf 设设.,)(上上有有界界在在则则baxf,)(baCxf 设设7的的零点零点. .,0)(的根的根是方程是方程 xf )(xfy 又称为函数又称为函数定理定理3(3(方程实根的存在定理方程实根的存在定理) ),)(baCxf 设设),(af且且,)(异号异号bf则至少存在一点则至少存在一点),(ba 使得使得, 0)( f).,(ba 零点定理零点定理几何意义几何意义: 如图所示如图所示.二、介值定理二、介值定理xyO)(xfy ba8定理定理4(4(介值定理介值定理) ),)(baCx

6、f 设设),()(bfaf ,)(,)(BbfAaf 且且),(ba 则至少存在一点则至少存在一点使得使得,)(Cf ).,(ba 证证,)()(Cxfx ,)(baCx 则则Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 零点定理零点定理 辅助函数辅助函数,之间的任一数之间的任一数为介于为介于BAC9几何意义几何意义:Cyxfy 与水平直线与水平直线连续曲线弧连续曲线弧)(至少有一个交点至少有一个交点.xyO)(xfy 1 ABCba2 3 1P2P3P10几何意义几何意义:之间的任何值之间的

7、任何值( (不会有任何遗漏不会有任何遗漏).).Mm推论推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值与最小值xyO)(xfy ba1 C2 3 1P2P3P2x1xMm11注注闭区间上连续函数的性质常用于闭区间上连续函数的性质常用于:证明某些等式或不等式证明某些等式或不等式;判断某些方程根的存在性或实根的范围判断某些方程根的存在性或实根的范围.12例例.)1 , 0(0183至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 18)(3 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 06)1( f由由零点定理

8、零点定理,),1 , 0( , 0)( f使使, 0183 即即.)1 , 0(0183 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx13例例,)(上连续上连续在区间在区间设函数设函数baxf证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由由零点定理零点定理,),(ba )()(fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即使使, 0 ,)(aaf 且且.)(bbf .)(),( fba使得使得证明证明 辅助函数辅助函数14,ba 证证),()(bfaf 若若),()(bfaf 设设 )()(bfaf),()(bfaf 显然显然 例例证明证明:.

9、即可即可取取a .),()(可类似证明可类似证明bfaf 令令 介值定理介值定理),(ba ,)( f使使即得即得, 0,)( 上连续上连续在在设设baxf.)()()( bfaff使得使得.)()()( bfaff15注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理再利用零点定理16辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或

10、x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证余下只须验证F(x)在所讨论的区间上在所讨论的区间上连续，连续，再比较再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。在所论闭区间上的最大值与最小值之间。17三、小结三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理

11、.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;181. )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使证明证明上连续，且上连续，且在在设设练习题练习题.)()()()(21nxfxfxffn设 f (x)C ( a, b ), 证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得2.a x1 x2 xn b,191. )()

12、(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使证明证明上连续，且上连续，且在在设设证证:则则记记)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的定义域的定义域即即上连续上连续在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff 若若即为所求即为所求则则0 )()0(aff 若若0)()0( aFF则则由零点定理知由零点定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即总之总之)()(), 0affa 使使20.)()()()(21nxfxfxffn设 f (x)C ( a, b ), 证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得2.a x1 x2 xn b,证故由 ),()( baCxf , )(max)()(min,Mxfxfmxfbaxbax, )()( 1Mnxfxfmn从而由介值定理, 至少存在一点 ( x1 , xn ), 使. )()()(1nxfxffn21作业作业习题习题1-10 (731-10 (73页页) ) 1. 2. 4.