2011届高考数学第一轮总复习经典实用 3-2等差数列学案课件.ppt

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1、基础知识基础知识一、等差数列的基本概念与公式一、等差数列的基本概念与公式1如果数列如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的从第二项起每一项与它的前一项的 等于等于 常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的做等差数列的 即即 d(nN*，且，且n2)或或 d(nN*)或或an 其中其中d为公差为公差差差同一个同一个公差公差anan1an1anan-1+d2若若an是等差数列，则其通项公式是等差数列，则其通项公式an 或或变式为变式为an ，其中，其中m，nN*，则，则d (n1)或或d (nm)an成等差成等差anpnq，其中，其中p ，

2、q ，点，点(n，an)是直线是直线 上的上的 的点的点单调性：单调性：d0时，时，an为为 数列，数列，Sn有最有最 值；值；d0时，时，an为为 数列，数列，Sn有最有最 值；值；d0时，时，an为为 等差中项：若等差中项：若a，b，c是等差数列，则称是等差数列，则称b是是a，c的的 ，且，且b故故a，b，c成等差成等差 . a1(n1)dam(nm)dda1dydx(a1d)一群孤立一群孤立单调递单调递增增小小单调递减单调递减大大常数列常数列2bac等差中项等差中项3求和公式求和公式Sn na1 .其推导方法其推导方法是是 若若n为奇数，则为奇数，则Snn ；求和公式又可变形为；求和公式

3、又可变形为Snpn2qn，其中，其中p ，q .即即an成等差数列成等差数列Sn ； .说明说明是以是以 为首项，为首项， 为公差的等差数列或点为公差的等差数列或点(n，)在直线在直线 上；点上；点(n，Sn)是在抛物线是在抛物线ypx2qx的图象上的一群的图象上的一群 的点的点倒序相加法倒序相加法na中中naa1pn2qna1(n1)a1ya1(x1)孤立孤立4若三数成等差，则可设为若三数成等差，则可设为 或或 ；若四数成等差，则设为；若四数成等差，则设为 ，其公差为，其公差为 .5an成等差，求成等差，求Sn的最值：若的最值：若a10，d0，且满，且满足足 时，时，Sn最大；若最大；若a1

4、0，d0，且满足时，且满足时， Sn最小；或利用最小；或利用 求最值；或利用求最值；或利用求最值求最值a，ad，a2dad，a，ada3d，ad，ad，a3d2d二次函数二次函数导数导数6等差数列的判定方法：等差数列的判定方法：(1)定义法：定义法：an1and(常数常数)(nN*)an是等差数是等差数列；列；(2)中项公式法：中项公式法：2an1anan2(nN*)an是等是等差数列；差数列；( 3 ) 通 项 公 式 法 ：通 项 公 式 法 ： an k n b ( k ， b 是 常是 常数数)(nN*)an是等差数列；是等差数列；(4)前前n项和公式法：项和公式法：SnAn2Bn(A

5、、B是常是常数数)(nN*)an是等差数列是等差数列二、等差数列的性质二、等差数列的性质1aman ，d (m，nN*)2在等差数列中，若在等差数列中，若pqmn，则有，则有apaqam ；若；若2mpq，则有，则有2amapaq，(p，q，m，nN*)3若若an，bn均为等差数列，且公差分别为均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列，则数列pan，anq，anbn也为也为 数列，且公数列，且公差分别为差分别为 ， ， (mn)dan等差等差pd1d1d1 d2(d1d2)4在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即差数列，即an，anm

6、，an2m，为等差数列，公差为为等差数列，公差为 .5等差数列的前等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即项和也构成一个等差数列，即Sn，S2nSn，S3nS2n，为等差数列，公差为为等差数列，公差为 .6若等差数列的项数为若等差数列的项数为2n,nZ,则有则有S偶偶S奇奇 d，.7等差数列的项数为奇数等差数列的项数为奇数2n1，nZ，则，则S2n1S奇奇S偶偶且且a中间项中间项S奇奇S偶偶，mdn2dn8an为等差数列，为等差数列，Sn为前为前n项和，则项和，则S2n1(2n1)an，bn为等差数列，为等差数列，Sn为前为前n项和，则项和，则S2n1(2n1)bn，9通项公式是通项公式是an

7、AnB(A0)是一次函数的形式，是一次函数的形式，前前n项和公式项和公式SnAn2Bn(A0)是不含常数项的二次函数是不含常数项的二次函数的形式的形式(注：当注：当anB时，时，SnBn)10若若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组有最大值，可由不等式组 来确定来确定n.若若a10，d0，Sn有最小值，可由不等式组有最小值，可由不等式组来确定来确定n.一、忽视隐含条件失误一、忽视隐含条件失误1首项为首项为24的等差数列，从第的等差数列，从第10项起开始为正项起开始为正数，则公差数，则公差d的取值范围是的取值范围是 .2一个凸一个凸n边形的内角成等差数列，最小角为边形的内角成等差数列，最小角

8、为120，公，公差为差为5，则凸，则凸n边形的边数边形的边数n为为 .93已知：数列已知：数列an中，中，a11，a22,2an12an3(n2，nN*)判断：判断：an是等差数列吗？是等差数列吗？解析：解析：a2a11，a3a2 (2a23)a2 ，an不是等差数列不是等差数列二、忽视讨论失误二、忽视讨论失误4设数列设数列an的通项为的通项为an2n7(nN*)，则，则|a1|a2|a15| .三、盲目套用公式失误三、盲目套用公式失误5数列数列an中，若中，若Sn2n25n3，则数列，则数列an是从是从第第 项起成等差数列项起成等差数列153二二回归教材回归教材1. (2009湖南，湖南，3

9、)设设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和已项和已知知a23，a611，则，则S7等于等于()A13B35C49D63解析：解析：由等差数列的性质得由等差数列的性质得49，故选，故选C.答案：答案：C2记等差数列记等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a1 ，S420，则，则S6()A16B24C36D48答案：答案：D3已知已知an是等差数列，是等差数列，a1a24，a7a828，则，则该数列前该数列前10项和项和S10等于等于()A64B100C110D120答案：答案：B4等差数列等差数列an中，中，a1a2a50200，a51a52a1002700，则，则a1为为()A1

10、2.21B21.5C20.5 D20答案：答案：C解析：解析：由题设有由题设有解得解得d1，a120.5.5(课本课本P1186题改编题改编)已知已知an是等差数列，是等差数列，a25，a514.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)设设an的前的前n项和项和Sn155，求，求n的值的值解析：解析：(1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，则则a1d5，a14d14.解得解得a12，d3.所以数列所以数列an的通项为的通项为ana1(n1)d3n1. (2)数列数列an的前的前n项和为项和为 =155，化简得化简得3n2n3100，即，即(3n31)(n10)0，所以所以n10.

11、【例【例1】在等差数列在等差数列an中，中，(1)已知已知a1533，a45153，求，求a61；(2)已知已知S848，S12168，求，求a1和和d；(3)已知已知a610，S55，求，求a8和和S8.分析分析在等差数列中有五个重要的量，即在等差数列中有五个重要的量，即a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个其中，只要已知任意三个，就可求出其他两个其中a1和和d是两个最重要的量，通常要先求出是两个最重要的量，通常要先求出a1和和d.解答解答(1)方法一：设首项为方法一：设首项为a1，公差为，公差为d，依条件，依条件得得a6123(611)4217. 由由anam(nm)

12、d，得得a61a4516d153164217.(2)Snna1 n(n1)d，(3)a610，S55， 解方程组得解方程组得 a8a62d102316，S8 拓展提升拓展提升(1)等差数列问题的一般求解方法是设出等差数列问题的一般求解方法是设出首项首项a1和公差和公差d，然后由通项公式或前，然后由通项公式或前n项和公式转化条件项和公式转化条件列方程列方程(组组)求解求解(2)等差数列前等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数项和公式有两个，如果已知项数n，首项首项a1和第和第n项项an，则利用，则利用Sn 如果已知项数如果已知项数n，首项，首项a1和公差和公差d，则利用，则利用Snna1 (2

13、009福建，福建，3)等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且S36，a34，则公差，则公差d等于等于()A1B.C2D3答案：答案：C解析：解析：S3 6，而，而a34，a10，d 2. 等差数列等差数列an的前的前n项和记为项和记为Sn，已知，已知a1030，a2050.(1)求通项求通项an；(2)若若Sn242，求，求n.解析：解析：(1)由由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组得方程组解得解得a112，d2.所以所以an2n10. (2)由由Snna1 d，Sn242，得方程得方程12n 2242，解得解得n11或或n22(舍去舍去). 【例【例2】已知

14、数列】已知数列an，anN*，Sn (an2)2.(1)求证：求证：an是等差数列；是等差数列；(2)若若bn an30，求数列，求数列bn的前的前n项和的最小项和的最小值值 分析分析由由Sn求出求出an，进而判断是否满足下列条件之，进而判断是否满足下列条件之一：一：an1and；anknb(k0)；Snan2bn(a0)解答解答(1)an1Sn1Sn (an12)2 (an2)2，8an1(an12)2(an2)2，(an12)2(an2)20，(an1an)(an1an4)0，anN*，an1an0，an1an40，即，即an1an4，数列数列an是等差数列是等差数列(2)由由(1)知：知

15、：a1S1 (a12)2，解得，解得a12，an4n2，则，则bn an302n31.解解nN*，n15，an前前15项为负值，项为负值，S15最最小，可知小，可知b129，d2，S15 总结评述总结评述证明数列证明数列an是等差数列，若利用是等差数列，若利用anan1d(本题本题d4)必须说明必须说明n2，若利用，若利用an1and，则，则只需指出只需指出nN*即可即可bn2n31已是已是n的一次函数的形的一次函数的形式，直接说明即可式，直接说明即可由下列各表达式给出的数列由下列各表达式给出的数列anSna1a2ann2Sna1a2ann21a anan22an1anan2(nN*)其中表示

16、等差数列的是其中表示等差数列的是()A B C D答案：答案：A (2009汕头模拟汕头模拟)已知数列已知数列an中，中，a1 ，数列，数列an2 ，(n2，nN*)，数列，数列bn满足满足bn (nN*)(1)求证数列求证数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列an中的最大项与最小项，并说明理由中的最大项与最小项，并说明理由 解析：解析：(1)bn 而而bn1 ，bnbn1 1(nN*且且n2)，而，而b1 bn是首项为是首项为 ，公差为，公差为1的等差数列的等差数列 (2)由由(1)得得bnn 设函数设函数f(x)1 在区间在区间(， )内内f(x)为减函数为减函数当当x3时，时

17、，f(x)f(3)1；当当x4时，时，f(x)f(4)3，an的最小值为的最小值为a31，最大值为，最大值为a43.【例【例3】等差数列等差数列an的前的前m项和为项和为30，前，前2m项和项和为为100，则它的前，则它的前3m项和为项和为()A130 B170 C210 D260命题意图命题意图本题主要考查等差数列求和公式的运本题主要考查等差数列求和公式的运用，以及等差数列各种性质的灵活运用能力用，以及等差数列各种性质的灵活运用能力解法一：解法一：将将Sm30，S2m100代入代入Snna1 得得 解法二：解法二：S3m3ma1 知，要求知，要求S3m只需求只需求ma1 即可，即可，由已知由

18、已知 两式相减得：两式相减得：ma1 d70，S3m210.解法三：解法三：由等差数列的前由等差数列的前n项和公式知，项和公式知，Sn是关于是关于n的二次函数，即的二次函数，即SnAn2Bn(A0)(A、B是常数是常数)将将Sm30，S2m100代入得代入得解得解得A S3mA(3m)2B3m210.解法四：解法四：S3mS2ma2m1a2m2a3mS2m(a12md)(a22md)(am2md)S2m(a1a2am)m2mdS2mSm2m2d.由解法一知由解法一知d 代入得代入得S3m210.解法五：解法五：根据等差数列性质知：根据等差数列性质知：Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，

19、从而有也成等差数列，从而有2(S2mSm)Sm(S3mS2m)S3m3(S2mSm)210.解法六：解法六：Snna1 上的一串点，由三点上的一串点，由三点(m， 共线易知共线易知S3m3(S2mSm)210.解法七：解法七：令令m1得得S130，S2100，从而，从而a130，a1a2100，得到，得到a130，a270，a370(7030)110，S3a1a2a3210.故选故选C.答案：答案：C总结评述总结评述解法一利用函数思想；解法二设而不求解法一利用函数思想；解法二设而不求整体处理；解法三运用函数思想；解法四利用等差数列任整体处理；解法三运用函数思想；解法四利用等差数列任意两项意两项

20、am，an具有关系式具有关系式aman(mn)d；解法五利用；解法五利用等差数列依次每等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质；解法六项之和仍然成等差数列的性质；解法六是数形结合思想的运用；解法七利用选择题型的逻辑结是数形结合思想的运用；解法七利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法构，采用赋值法错解剖析错解剖析(1)记错性质，误以为记错性质，误以为Sm，S2m，S3m成等成等差数列，错选差数列，错选B；(2)误以为误以为Sm，S2m，S3m满足满足S3mSmS2m，错选，错选A.(2009宁夏银川一中宁夏银川一中)已知数列已知数列an为等差数列且为等差数列且a1a7a134，则，则tan(a2a

21、12)的值为的值为()答案：答案：D解析：解析：由题意可得：由题意可得：3a74，a7 tan(a2a12)tan(2a7)tan( tan (2009北京宣武北京宣武)在等差数列在等差数列an中，中，a12a8a1596，则，则2a9a10()A24B22C20D8答案：答案：A解析：解析：因为因为a12a8a1596，所以，所以4a896，a824.又因为又因为2a9a10a8，所以，所以2a9a10a824.【例【例4】在等差数列在等差数列an中，中，a125，S9S17，问，问此数列前几项的和最大？此数列前几项的和最大？分析一分析一本题以数列为核心知识，在考查等差数列本题以数列为核心知

22、识，在考查等差数列基本知识的同时，考查了数列求最值的方法基本知识的同时，考查了数列求最值的方法由已知列方程，得出由已知列方程，得出d，从而将，从而将Sn转化为关于转化为关于n的二次的二次函数求最值函数求最值解法一解法一S9S1717a1 将将a125代入可得代入可得d2，从而从而Sn25n(n13)2169，故前故前13项的和最大，最大值为项的和最大，最大值为169. 分析二分析二由由Snna1 利用二次函数图象解决问题利用二次函数图象解决问题 解法二解法二Sn Sn的图象是开口向下的抛物线上一群孤立的点，最的图象是开口向下的抛物线上一群孤立的点，最高点的横坐标为高点的横坐标为 13，即，即S

23、13最大最大分析三分析三对于等差数列，当对于等差数列，当a10且为递减数列时，且为递减数列时，前前n项和项和Sn有最大值，如果数列从第有最大值，如果数列从第n项开始变号，那么项开始变号，那么Sn就在此处取得最值就在此处取得最值解法三解法三由由a125，S9S17，知此数列必递减，且，知此数列必递减，且a10a11a12a170，又由等差数列性质有，又由等差数列性质有a10a17a11a16a12a15a13a14，4(a13a14)0，数列递减，数列递减，a13a14，a130a14，故此数列前故此数列前13项和项和S13最大最大分析四分析四先求出先求出d，然后利用，然后利用an0，an10解

24、解n.解法四解法四同解法一求得同解法一求得d2，由，由an0且且an10且为递减数列时，前且为递减数列时，前n项和项和Sn有最大值；当有最大值；当a10，S130，a1a2a120，即即a12a11a10.以上两式相加得以上两式相加得(a1a12)(a7a11)(a12a1)0，由等差数列性质知，由等差数列性质知，12(a1a12)0，即，即a6a70.同理，由同理，由S130得得a70，a70.以下同方以下同方法二法二方法四：等差数列前方法四：等差数列前n项和可表示为项和可表示为SnAn2Bn(A0)，又由第又由第(1)问可知：问可知：d0，S130，A0，如图所示，设抛物线与，如图所示，设

25、抛物线与x轴交于轴交于x0，则，则x0(12,13)，其对称轴为，其对称轴为x (6,6.5) 因此，当因此，当n (6,6.5)时取最大值，又时取最大值，又nN*，n6时，时，Sn最大最大1如果如果pqrs，则，则apaqaras，一般地，一般地，apaqapq.必须是两项相加，当然可以是必须是两项相加，当然可以是aptapt2ap.2等差数列的通项公式通常是等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非的一次函数，除非公差公差d0.3等差数列的前等差数列的前n项和公式是项和公式是n的二次函数，且常数的二次函数，且常数项为项为0.若某数列的前若某数列的前n项和公式是项和公式是n的常数项不为的常数项不为0的二次的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列列4公差公差d ，同构于由两点坐标求直线斜率，同构于由两点坐标求直线斜率的计算的计算5当当d不为零时，等差数列必为单调数列不为零时，等差数列必为单调数列6从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列的数列仍是等差数列 请同学们认真完成课后强化作业